经历抽象过程，发展形象思维

王燕萍

［摘  要］ 动手操作是解决学科抽象性与思维形象性之间矛盾的重要手段。文章结合动手操作的内涵和意义，阐述其在教学中的运用策略：让学生在多样方法中直观感受数学内涵，在多次尝试中解决实际问题，在动手实践中发展思维品质。

［关键词］ 动手操作；形象思维；抽象；探索

随着课堂教学改革的深化，动手操作在课堂教学中得到了广泛运用。什么是“动手操作”？笔者认为动手操作是指在教师的数学思想和理论指导下，学生通过制作数学实物模型、操作数学学具等活动，来锻炼手、口、眼、鼻、脑等多种感官协调能力的数学探索活动。动手操作活动旨在让学生在亲身经历中提高感性认识，直观感知动态过程，把外部显性活动转化为内部隐性语言，为学生感悟数学的抽象内涵和提升思维能力打下坚实的基础。

皮亚杰认为，传统教学的缺点在于教师注重用口头讲解，不注重实际操作。动手操作可以解决传统教学中存在的问题，改变学生被动听课的弊端，使传统课堂转向以激励学生发挥潜在能力、调动多种感官的自主探究，把抽象的数学知识转化为直观的、具体的内容，实现理论和实践的有机结合。同时，动手操作还可以培养学生的抽象概括能力、分析问题和解决问题的能力、应用意识及创新意识，帮助学生更好地理解抽象的数学概念、法则和公式，感受数学所蕴藏的奥秘。

小学生的数学形象思维具有间接性、概括性、形象性、逻辑性、层次性和创造性的特点。动手操作可以培养学生的数学形象思维能力，让学生在操作中直观感受数学概念、数学法则和数学公式的形成过程，发现不同层次的数学方法并感受其优劣。

“数学动手操作能力”［１］是《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称新课标）提出的要求：学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。课程内容不仅包括数学的结果，还包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思维方法。课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生的体验和理解、思考和探索。教师在课堂上注重学生的动手操作能够使其经历解决问题和数学概念形成的过程，认识蕴含其中的数学思维方法，帮助其更好地积累数学活动经验和发展数学思维能力。

一、从“被动”走向“主动”，让学生在多样方法中直观感受数学内涵

美国学者大卫·库伯在《体验学习——让体验成为学习与发展源泉》中说，学习是体验、感知、认知和行为四个方面整合统一的过程。教师在教学过程中只是告知学生抽象的数学概念和规律，忽略了探索和体验概念或规律产生的过程与原因，导致教学过程脱离学生生活实际，这样不利于学生真正理解概念和培养形象思维。相较于简单“被动”地告知学生结论，教师创设有趣的问题情境更能激励学生进行自主思考、动手操作，让学生在积极尝试中找到规律、得出结论，进而理解和掌握概念，并在其他情境中灵活运用。

在概念教学中，笔者常常发现：部分学生对概念的本质属性理解不透彻，对概念内涵“似懂非懂”，只是机械记忆概念或公式。这表明学生还没有真正理解概念，只是被动地记忆概念和规律，这需要教师在课堂上给予学生足够的时间和空间，引导学生主动参与、动手尝试、自主探索、发现规律，让学生通过动手操作形成形象思维，在观察、记录、比较、思考、交流中发现数学现象的本质和规律，形成完整的认知结构。

比如，在“圆周长”的教学中，如图1，教师设计了探究圆周长与直径关系的数学实验。

测量圆的周长

1. 量一量：用你喜欢的方法量一量塑料圆片的周长与直径。

2. 算一算：算出周长除以直径的商，填在“探究单”的表格中。（可使用计算器，结果保留两位小数）

3. 说一说：观察计算结果，说说你的发现。

通过这一操作探索，学生直观地感受到圆不同于正方形、三角形，是曲线图形，无法用直尺直接测量出周长。在动手操作中，有的学生把圆剪下来，沿着直尺的一边，紧紧贴合着直尺滚动一周测量出圆的周长；有的学生用绳子紧紧绕着圆围一圈，在绳子上做好标记，量出绳子的长度测量出圆的周长。与教师直接出示动态的演示课件相比，这样的动手操作设计更能引导学生感受π的大小和内涵，既能培养学生的团队分工、合作的意识，又能培养学生的探究意识和动手操作能力。

通过动手操作，学生想到用“滚圆法”和“绕圆法”来测量圆的周长，教师适时地渗透“化曲为直”的思想，让学生初步理解转化的思想；通过动手操作，学生在多种方法中发现圆的周长是直径的三倍多一点，更直观、形象地感受了π的大小。

二、从“直觉”走向“本质”，让学生在多次尝试中解决实际问题

英国学者斯宾塞说：“天生的能力必须借助于系统的知识。直觉能做的事很多，但是做不了一切。只有天才和科学结了婚才能得到最好的结果。”在新授课时，笔者发现，在面对简单或熟悉的问题时，学生常常靠着直觉动手操作能够快速发现规律和得出结论；然而面对稍复杂的问题时，学生很难一下子得出结果和感受本质，这需要教师巧妙地引导学生进行多次尝试，带着辩证的态度去思考。

比如，在感悟转化策略时，很多学生靠直觉把复杂的问题转化成简单的问题。然而对于什么是转化策略、何时运用转化策略、如何灵活运用转化策略，这需要学生在更多的问题情境中通过动手操作来深化理解。在转化策略的运用环节，教师应重点呈现仅凭直觉容易出错的问题，引导学生思考这种操作方式的不足之处，进而调整自己的思维方式。学生只有经历“操作—出错—纠正—再操作”的过程，才能加深对策略的理解与感悟，从而提高分析问题和解决问题的能力。

比如，在“解决问题的策略——转化”的练习中，教师对题目稍做改变，可以提高学生对转化策略的运用能力，如图2。

明明和东东在同样大小的长方形纸上分别画了一个图案（图中直条的宽度都相等且每个图中的阴影部分互相垂直）。这三个图案的面积相等吗？为什么？

借助直觉，大多数学生通过平移得出第一个、第二个长方形中阴影部分面积相等的结论；通过分割、平移第三个长方形里的图案，凭借直觉得出与前两个图案面积不相等的结论。此时，教师要及时引导，指出题目的关键信息“直条的宽度都相等且每个图形阴影部分互相垂直”。学生结合教师的引导和以前所学知识，发现平行四边形直条的底和长方形直条的宽一样长，平行四边形直条的高和长方形直条的长相等；然后利用“等底等高”的知识把平行四边形直条的面积转化成长方形直条的面积，通过分割、平移得出三个长方形中阴影部分的面积都相等。

问题：如图3，用分数表示图中的涂色部分。

部分学生凭借直觉把涂色部分的正方形旋转成3×3的正方形，得出的答案。当其他学生提出疑问时，教师为学生提供透明的方格纸，引导学生动手操作。通过转一转、比一比、想一想的方式，学生会发现涂色部分的正方形要比3×3的正方形大一点，因此之前所得结论是错误的。

教师引导学生动手操作，把正方形进行分割，涂色部分的正方形可以分割成4个直角三角形和1个小正方形。此时学生想到了运用转化的策略，把不满整格的4个直角三角形拼起来，变成满格的2个大长方形，如图4。学生用数格子或者运用面积计算公式得出结论，真正体会转化的价值和掌握转化的本质。

学生在动手操作的过程中进行了更深层次的思考，不断感悟转化的策略，提高了自我检查、自我纠错的能力。

三、从“此岸”走向“彼岸”，让学生在动手实践中发展思维品质

学以致用是教学的最高目标。课堂上，教师常常只在新授课阶段引导学生动手操作，忽视了在巩固练习阶段设计让学生通过动手操作来解决的问题。如果学生只学会知识而不应用知识来实践，这不利于其深入了解和巩固知识。

比如，在“分数的意义”一课中，如图5，笔者设计了动手操作的练习题。

在新授课时，学生已经认识了单位“1”，能够根据具体情境表示相应的分数或说明分数的具体意义。教师通过这道开放性的练习，放手让学生利用素材创造一个分数，引导学生经历“学习—感悟—运用—创新”的过程。学生通过动手操作自主创造了分数，并分享创造的分数的具体含义，感受同一个分数在不同的情境中表示的含义不同，同一个素材可以表示不同的分数。通过练习，学生能够形象地认识和理解分数的意义与价值，培养了观察、比较、综合和抽象、概括的思维能力及灵活运用知识的能力。

高斯曾说，数学中的一些魅力一定具有这样的特效：它们极易从事实中归纳、概括出来，但证实隐藏得极深。在数学教学中，教师要重视动手操作教学，创设贴近学生生活的教学情境，给予学生丰富的教具和充足的时间，引导学生在动手操作中提高思维能力。

参考文献：

［１］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（２０２２年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，２０２２.