深度思考：小学数学深度学习的重要标识

朱佳怡

［摘  要］ 尽管数学思考是内隐性的，但深度思考是体现学生数学学习力的重要标识。在小学数学教学中，教师要用问题驱动学生的深度思考，用操作辅助学生的深度思考，用结构优化学生的深度思考，用互动助推学生的深度思考。有深度的数学思考能有效拓展学生数学学习的宽度与深度，提升学生数学学习的效度。

［关键词］ 小学数学；深度学习；深度思考

郑毓信教授认为，数学教学必须要超越具体的知识、技能层面，要深入学生的思维层面。深度学习的实质是学生“思维深度参与”的学习。在小学数学教学中，教师要引发学生的深度思考。深度思考是指“以数学核心内容为载体，以数学抽象、逻辑推理、问题解决和数学分析为重点的一种思维活动”［１］。尽管数学思考是内隐性的，但深度思考是体现学生数学学习力的重要标识。在小学数学教学中，教师要通过一定的教学手段激发学生深度思考，助推学生深度思考。

一、用问题引发学生深度思考

问题是沟通数学学科知识与学生已有认识的桥梁。在问题场中，学生能产生一种内在的认知冲突。这种认知冲突是学生在把握自我已有知识与新知关系的过程中所产生的一种不适表现。通过认知冲突，学生会产生积极的心理同化与心理顺应的内在需求。在小学数学教学中，教师要精心设计问题，让问题能触及数学知识本质，能引发、驱动学生的深度思考。在教学实践中，笔者发现，许多教师设计的问题往往比较肤浅、琐碎，这样的问题容易制约学生的思维。对此，教师要设计关键性、核心性、主导性的大问题，用大问题驱动学生进行深度思考。

相较于传统的问题，大问题往往能赋予学生更大的思考时空，能开辟更多的思考可能性。比如，复习“2、5的倍数的特征”“3的倍数的特征”这一部分内容之后，笔者先帮助学生复习巩固2、3、5的倍数的特征。在此基础上，引导学生思考：为什么2、5的倍数的特征只需要看个位上的数，而3的倍数的特征则需要看各个数位上数字的和。这是一个牵涉到2、3、5的倍数特征的本质问题，能激发学生超越一个数的倍数特征的浅表性思考的深层次的数学问题。围绕核心问题，学生借助教师提供的直观方块学具进行操作。在操作中，学生逐步理解了一个数原来是由几个一、几个十、几个百等组成的。

一个整十数一定是2、5的倍数。因此，判断一个数是否是2、5的倍数，关键就是看这个数个位上的数是否具备2、5的倍数的特征。同样，对于3的倍数的特征，有的学生借助于直观的方块图进行探索，有的学生将10分成9和1，将100分成99和1。几个十、几个百、几个千等不一定是3的倍数，因此判断一个数是否是3的倍数不能只看个位上的数。学生通过观察、思考发现，9、99等相关的数一定是3的倍数。因此，判断一个数是否是3的倍数，关键是看一个数减去若干个9、99、999等剩下来的数，而这些数正好是各个数位上数字的和。通过引导学生对2、3、5的倍数的特征的追问、比较、思考，学生能深刻地洞察2、3、5的倍数的特征背后相同的数理、算理。问题能够引发学生的深度思考，促进学生的数学思维向数学知识本质更深处漫溯。

问题是驱动学生深度思考的动力引擎，不同的问题能产生不同的教学效果。由点及面地问，能完善学生的认知结构；由浅入深地问，能让学生充分经历数学化的过程；由表及里地问，能让学生感受、体验深度思考的内在的魅力。通过问题引领、问题驱动，实现学生与数学教学内容、教学过程之间的深度契合，能激发学生的创造力，助力学生数学核心素养的发展。

二、用操作助推学生深度思考

教育心理学家皮亚杰认为，“学生的思维是从动作开始的，如果我们切断动作与思维的关联，学生的思维就不能得到充分的发展”［２］。外显的操作能让学生的思维可视化，是学生思维的重要支撑。在小学数学教学中，教师要重视学生的操作，让学生通过“量一量”“摆一摆”“折一折”“画一画”等相关的操作，充分经历知识的数学化诞生过程。在操作过程中，学生能深刻地把握操作对象的特征，进而认识到操作对象的本质、非本质属性。同时，在操作过程中产生的活动经验会沉淀到学生的内心深处，成为学生的一种数学化的能力、素养等。

比如，教学“长方体和正方体的认识”时，很多教师都会提供一个现成的长方体框架，让学生观察，并在学生对长方体的特征形成猜想的基础上引导学生进行验证。这样的借助于学生视觉观察的学习方式，无法让学生形成深刻性的学习体验，难以激发学生的深度思考。笔者在教学时为学生提供了结构性的素材，给学生提供了动手操作的机会，引导学生直面长方体的特征。笔者给学生的主要任务是：选择合适的小棒，动手做一个长方体。在这个过程中，学生积极地思考怎样的小棒才能搭成一个长方体？于是，学生积极地选择相关规格的小棒：有的学生将小棒分为三种不同的规格，其中每一种规格的小棒都是4根；有的学生将小棒分成了4组，每一组都是3根不同规格的小棒等。显然，不同学生思考的路径不同，操作的表征就不同。教师要尊重学生的思考路径，鼓励学生开展多样化操作。在操作的过程中，学生会积极地调适自己的思维，让自己的思维更加严谨、科学、合理。比如，在搭建长方体框架的过程中，有的学生先做一个长方形，然后建构长方体；有的学生先做了几个相交于同一个顶点的三条棱的模型，然后借助小棒中的三通将这些模型拼接成一个长方体等。

学生的数学智慧在指尖跳跃。在小学数学教学中，教师引导学生进行数学操作，能让学生直面数学知识的本质内涵，引导学生充分地经历、感受、体验用小棒搭建长方体的过程。学生积极主动地参与数学操作实践活动，开展有深度的活动体验，能将活动中的体验、经验等提炼、抽象为数学的思想方法。通过这样的提炼、抽象过程，能引导学生从数学的浅层学习向深层学习过度、跃迁。

三、用结构优化学生深度思考

学生对数学知识的深度思考，不仅要求学生通过思考把握数学知识的本质，更要求学生通过思考把握数学知识的关联。在小学数学教学中，教师要引导学生对相关数学知识进行结构化的梳理，用结构优化学生的深度思考。通过联结与融通数学知识，让学生在头脑中将这些知识连点成线、连线成面、勾面成体；通过结构化的深度思考，优化学生的认知结构、思维结构，不断提升学生的数学思考力、探究力、实践力。

在小学数学教学中，教师不仅要关注数学知识的纵向结构，还要关注数学知识的横向结构。关注数学知识的纵向结构，就是要关注数学知识的来龙去脉、前世今生；关注知识的横向结构，就是要关注数学知识之间的联系，引导学生在不同数学知识之间进行转化、迁移。结构能引导学生打破思维的固化格局，打破思维的固定边界，帮助学生形成由此及彼、由表及里、触类旁通地思考问题的能力。

关注数学知识的纵向结构，能打通数学知识的内在脉络；关注数学知识的横向结构，能打通数学知识之间的关节。比如教学“多边形的面积”这一部分内容时，教师不仅要引导学生把握每一个图形面积的推导过程，还要引导学生把握图形面积推导过程之间的逻辑关联，把握图形面积公式表征的关联。比如教学“三角形的面积”这一部分内容时，教师在引导学生将“三角形的面积”转化成“平行四边形的面积”或者“长方形的面积”之后，学生会积极主动地联系“平行四边形面积”的推导过程，并进行深入思考：图形面积的转化有怎样的共同点？如此，学生会主动地对相关图形的面积推导进行比较、抽象、概括，从而提炼出转化思想的精髓——将“陌生图形转化成熟悉图形”，将“未知图形转化成已知图形”。这样的比较、抽象、概括所形成的数学知识结构、方法结构、思想结构，有助于学生数学学习积极的正向迁移。

数学知识的结构化、整体化、系统化、关联化，有助于促进、优化学生的深度思考；反过来，深度思考也有助于学生开展系统化的建构，有助于学生进行数学知识的整体性认知，有助于引领学生走向结构化学习。从这个意义上说，数学知识的结构化与学生的深度思考是相互关联、相互促进的。

四、用互动助推学生深度思考

互动是学生数学学习的一种重要方式。小学数学教学中的互动包括师生互动、生生互动、生本互动等。在小学数学教学中，教师要激发学生的互动需求，优化学生的互动媒介，让不同水平的学生互补、互促，从而促进学生的抱团发展。在师生互动中，学生的互动类型比较丰富，包括依附性的互动、参与性的互动和融洽性的互动。显然，互动的最高境界应当是一种融合性、融洽性的互动。融洽性的互动应当是一种多维性的互动，多维性的互动有助于促进学生的数学深度思考，有助于促进学生的数学认知建构。

只有通过互动，才能有效改变学生的认知方式、思维方式和行动方式。互动不是传统的教师“一言堂”，也不是传统的教师“唱独角戏”，而是师生、生生的一种平等的对话、交往。教师要创设互动的时空，引导学生学会互动，让学生善于互动、乐于互动等。比如，教学“用字母表示数”这一部分内容时，笔者引导学生表示“青蛙”“青蛙的嘴”“青蛙的眼睛”“青蛙的腿”。于是，有的学生用一个具体的数来表示，比如“一只青蛙一张嘴、两只眼睛四条腿”等。采用这样的表示方法，学生之间开展积极的互动。

有的学生说：“这样的表示方法不具有普遍性，只能表示一种情况。”于是，在互动之中，有的学生产生了新的表示方法，比如“a只青蛙a张嘴，a只眼睛a条腿”“a只青蛙b张嘴，c只眼睛d条腿”“a只青蛙a张嘴，2a只眼睛4a条腿”等。采用符号字母表示数量关系的方式，学生之间开展了平等的互动与交流：有的学生认为，青蛙的眼睛、嘴巴、腿的数量不可能相同；有的学生认为，最后一种表示青蛙、嘴巴、眼睛、腿的数量的方式比较合理，不仅具有一种通用性，还可以看出青蛙、青蛙的嘴巴、青蛙的眼睛、青蛙的腿之间的数量关系等。在这个过程中，学生的数学认知、数学思维等相互碰撞，并基于他人的观点不断修正、审视自己的见解、主张等。在不断交流、互动、碰撞、审视、反思的过程中，学生的数学思考走向深度。

在互动中，教师还要适时地引导学生思辨。只有引导学生积极主动地质疑、辨析、反思，才能不断激发学生的数学智慧、灵感，启迪学生的数学创新，让学生真正理解数学知识的来龙去脉、数学知识的本质、关联等。在小学数学教学中，教师用问题驱动学生的深度思考，用操作辅助学生的深度思考，用结构优化学生的深度思考，用互动助推学生的深度思考，能有效拓展学生数学学习的宽度与深度，提升学生数学学习的效度。

参考文献：

［１］ 朱国荣. 实现数学实验育人价值的路径探索［Ｊ］. 小学数学教育，２０１８（０８）：７－８.

［２］ 陆丽萍. 设活“课眼”，掀起数学教学高潮［Ｊ］. 中小学教师培训，２００１（０１）：４０－４２.