分析转化变形，化未知为已知

蒋红艳

高中数学教材对“诱导公式”这一章节的具体学习要求是：能够熟练运用诱导公式将任意角的三角函数化归为锐角的三角函数；理解并学会推导诱导公式，会分析诱导公式的特征，总结规律；通过典例的学习，掌握运用诱导公式进行简单三角函数的化简、求值的通性法则.

笔者结合具体实例，针对诱导公式的化简、求值、证明问题的解决思路与方法例析如下，希望给同学们一些参考与帮助.

1 利用诱导公式求值

例1  已知tanα+8π7=m（m≠-1），求代数式sin15π7+α+3cosα-13π7sin20π7-α-cosα+22π7的值.

解：原式

=sinπ+8π7+α+3cos-3π+α+8π7sin4π-8π7+α-cos2π+α+8π7

=-sin8π7+α+3cosπ-α+8π7-sin8π7+α-cosα+8π7

=sin8π7+α+3cosα+8π7sin8π7+α+cosα+8π7

=tan8π7+α+3tan8π7+α+1

=m+3m+1.

思路与方法：本题灵活运用了整体思想，把α+8π7当成一个角，用诱导公式把其他角的三角函数全都化为α+8π7的三角函数值；当然，本题也可以先将tanα+8π7=m化为tanα+π7=m，然后用诱导公式把其他角的三角函数都化为α+π7的三角函数.

2 利用诱导公式化简

例2  化简：sinkπ-2π3coskπ+π6（k∈Z）.

解：（1）当k=2n（n∈Z）时，

原式=sin2nπ-2π3cos2nπ+π6=-sin2π3＼5cosπ6

=-sinπ3cosπ6=-32×32=-34.

（2）当k=2n+1（n∈Z）时，

原式=sin2nπ+π-2π3cos2nπ+π+π6=sinπ3cosπ+π6

=sinπ3-cosπ6=-34.

所以sinkπ-2π3coskπ+π6=-34（k∈Z）.

思路与方法：本题在灵活运用诱导公式化简的过程中，主要体现了转化思想.

3 利用诱导公式证明

例3  证明：sec α-tan α=tanπ4-α2.

法1：sec α-tan α=1cos α-sin αcos α=1-sin αcos α

=sin2α2+cos2α2-2sinα2cosα2cos2α2-sin2α2=cosα2-sinα22cos2α2-sin2α2=cosα2-sinα2cosα2+sinα2

=1-tanα21+tanα2=tanπ4-α2.

法2：sec α-tan α=1-sin αcos α=1-cosπ2-αsinπ2-α=tan12π2-α

=tanπ4-α2.

法3：sec α-tan α

=1-sin αcos α

=2cosπ4+α2sinπ4-α2cos α

=2cosπ4+α2sinπ4-α22sinπ4-α2cosπ4-α2

=tanπ4-α2.

思路与方法：本题的三种证法主要体现了运用诱导公式与三角公式进行恒等变换的技巧；解题的关键是要熟悉诱导公式，会根据解题的需要作适当的变形，还要具有敏锐的观察力与逻辑推导能力.

4 诱导公式的逆用

例4  在△ABC中，若sin C是sin A与sin B的等差中项，证明sin（A-B）=2（sin A-sin B）.

证明：由sin A+sin B=2sin C，得2sinA+B2＼5cosA-B2

=4sinA+B2cosA+B2，则cosA-B2=2cosA+B2，

等式两边同乘2sinA-B2，得

2sinA-B2＼5cosA-B2

=4sinA-B2cosA+B2，即

2 sinA-B2cosA-B2=22sinA-B2＼5cosA+B2.

所以sin（A-B）=2（sin A-sin B）.

思路与方法：本题如果直接证明比较困难，不如先进行分析，sin（A-B）=2（sin A-sin B）2sinA-B2cosA-B2

=4cosA+B2sinA-B2cosA-B2=2cosA+B2；再由条件步步逆推，sin A+sin B=2sin C2sinA+B2cosA-B2=2sin（A+B）

=4sinA+B2cosA+B2cosA-B2=2cosA+B2.这样，顺推与逆推相结合，达到了殊途同归的目的.

5 诱导公式的综合运用

例5  试证明：cos215π+cos415π+cos815π+cos1615π=12.

法1：左边=cos215π+cos815π+cos415π+cos1615π

=2cosπ3cosπ5+2cos2π3cos2π5=cosπ5-2π10

cos25π=2sin3π10sinπ10=2cos2π10sinπ10=2cosπ10sinπ10cos210πcosπ10=sin2π10cos2π10cosπ10

=sin4π102cosπ10=12=右边.

法2：左边=cos215π+cos1415π+cos415π+cos815π

=2cos2π5cos8π15+2cos2π5cos2π15=2cos2π5cos815π+cos215π=4cos2π5cosπ3cosπ5=2cosπ5cos2π5=2sinπ10cosπ5=12=右边.

思路与方法：本题的证法1在证明到“2sin3π10＼5sinπ10”这一步时，接着运用诱导公式将其变形为“2cos2π10sinπ10”，再进一步化简.证法2应用诱导公式将cos1615π化为cos1415π，化积后有公因子出现，即可提取公因式、再化积，从而达到证明的目的.

从近几年的高考试题来看，诱导公式已成为每年高考数学的必考内容之一，且各种题型均有涉及.其中，解答题常与同角三角函数基本关系式、三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等知识点结合起来命题，分值较高，难度较大，也是高考备考的重点内容.因此要指导学生通过典型例题的学习与适量训练，学会和掌握运用诱导公式进行三角函数的化简、求值、证明的方法与技巧，更要能够运用转化思想，通过创设运用诱导公式的条件，综合运用其他相关知识，解决与函数、方程、解三角形等有关的综合问题，不断提高综合解题能力.

参考文献：

［1］邹玲.合理融合交汇，诱导公式应用［J］.数理天地（高中版），2023（21）：8-9.

［2］周文国.诱导公式的学与思［J］.数理天地（高中版），2022（13）：9-12.