从高考题到课本习题的回归与推广

吴小凤

摘要：解析几何问题是高考中考查学生思维与运算能力的主要载体.本文中从一道高考试题的解法入手，回归教材习题，分析学生解答时常见的错误，从特殊到一般对习题进行探究，得到双曲线中点弦的一般性结论.

关键词：高考数学；回归教材；双曲线；中点弦

1 试题呈现

（2023年全国乙卷理科数学第11题）设A，B为双曲线x2-y29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（  ）.

A.（1，1）

B.（-1，2）

C.（1，3）

D.（-1，-4）

1.1 试题解析

这道高考试题是典型的双曲线中点弦问题，常用点差法去解决，若M是线段AB的中点，就等价于过点M的直线l交双曲线于A，B两点.解决这个问题，应联立直线与双曲线的方程，用判别式Δ的值是否大于0来对选项进行排除.

1.2 试题解答

设A（x1，y1），B（x2，y2），M是线段AB的中点，M（x0，y0）.

将A，B两点坐标分别代入双曲线方程，两式作差，得x21-x22-y21-y229=0.

记kAB=y1-y2x1-x2，k=y0x0=y1+y2x1+x2，则

kAB·k=y21-y22x21-x22=9.

对于选项A，因为k=1，kAB=9，则直线AB的方程是y=9x-8，与双曲线方程联立并消去y，得72x2-2×72x+73=0，计算得Δ=-288<0，所以直线AB与双曲线无公共点，故选项A错误.

同理，对于选项B，判别式Δ=-2 880<0，所以直线AB与双曲线无公共点，故选项B错误.

对于选项C，求出直线AB的方程为y=-3x，而双曲线的渐近线方程为y=±3x，所以直线AB与双曲线无公共点，故选项C错误.

对于选项D，经计算判别式Δ=64 512>0，所以直线AB与双曲线有两个公共点，故正确答案为选项D.

2 教材原型

人教A版数学选择性必修（第一册）第128页第13题：已知双曲线x2-y22=1，过点P（1，1）的直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？

先看一下学生常见的解答过程：

设A（x1，y1），B（x2，y2），则

x21-y212=1，x22-y222=1.

显然x1≠x2，两式作差，得

（x2-x1）（x2+x1）-（y2-y1）（y2+y1）2=0.

又x1+x2=2，y1+y2=2，所以可得

kAB=y2-y1x2-x1=2（x2+x1）y2+y1=2.

故直线AB的方程是y-1=2（x-1），即y=2x-1.

这是一个中点弦问题，以上解法运用了“点差法”，减少了运算量，但忽略了直线与曲线相交于两点的大前提，从而产生错误.因此，在求出直线方程后还应判断所求直线与曲线是否相交，即应在前面解答的基础上加以检验：将直线AB的方程y=2x-1代入双曲线方程x2-y22=1中消去y，得2x2-4x+3=0，其判别式Δ=16-24=-8<0，故直线与双曲线无交点，所以，过点P（1，1）不能作出符合题意的直线l.

3 试题推广

如何才能避免错误的发生？通过以上解答过程可以发现，中点弦是否存在与弦中点的位置有关，那么，能否通过判断弦中点的位置来确定中点弦是否存在？推广到一般情况：已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），若过点P（x0，y0）的直线l与双曲线交于A，B两点，P是线段AB的中点，此时点P有何特征？

设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），分别代入双曲线方程，

两式作差，得

（x2-x1）（x2+x1）a2-（y2-y1）（y2+y1）b2=0.

当y0≠0时，kAB=y2-y1x2-x1=b2（x2+x1）a2（y2+y1）=b2x0a2y0.

所以，直线AB的方程是

y-y0=b2x0a2y0（x-x0）.①

将①式与双曲线方程联立消去y并化简整理，得

b2（a2y20-b2x20）x2-2b2x0（a2y20-b2x20）x-（a2y20-b2x20）2-a4b2y20=0.

过点P（x0，y0）的中点弦存在等价于

Δ=4b4x20（a2y20-b2x20）2+4b2（a2y20-b2x20）＼5［（a2y20-b2x20）2+a4b2y20］>0，

即a2b2y20（a2y20-b2x20）（a2y20-b2x20+a2b2）>0.

所以a2y20-b2x20>0，或a2y20-b2x20<-a2b2，

也即

x20a2-y20b2<0，②

或者

x20a2-y20b2>1.③

当y0=0，x0≠0时，点P（x0，y0）在x轴上，若x0>a或x0<-a，则过点P（x0，y0）的中点弦存在，直线方程为x=x0.此时点P（x0，y0）满足③式.

当y0=0，x0=0时，点P（x0，y0）与坐标原点重合，过点P（x0，y0）的中点弦有无数条.

综上所述，当点P（x0，y0）满足x20a2-y20b2<0或x20a2-y20b2>1或与原点重合时，过点P（x0，y0）的中点弦存在.所以点P（x0，y0）位于阴影部分区域（如图1）时（包含原点，不包含边界），过点P（x0，y0）的中点弦存在.

在上题（教材第13题）中，点P（1，1）不在阴影部分区域，所以被点P（1，1）平分的中点弦不存在.双曲线的中点弦存在性问题，运用上述结论，既可以避免错误的发生，又能使问题得以迅速解决.

4 高考试题秒杀

将上述高考试题中A，B，C，D四个选项的点（x，y）代入x2-y29中，计算出四个值分别为89，59，0，-79，只有选项D符合x2-y29＜0，故选：D.

5 变式与拓展

已知双曲线x2-y23=1上存在关于直线y=kx+4的对称点，求k的取值范围.

解：易知k≠0，设对称点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），将两点坐标分别代入双曲线方程，作差，得

（x2-x1）（x2+x1）-（y2-y1）（y2+y1）3=0，x1≠x2.

设线段AB中点为P（x0，y0），得

x0+y03k=0.④

因为线段AB的中点在直线y=kx+4上，所以

y0=kx0+4.⑤

由④⑤，解得x0=-1k，y0=3.

双曲线上存在关于直线y=kx+4的对称点等价于过点P（x0，y0）的中点弦存在，所以

x20-y203<0或x20-y203>1，

即1k2-3<0或1k2-3>1.

解得k的取值范围为-∞，-33∪-12，0∪0，12∪33，+∞.

6 感悟与反思

通过高考试题的研究可以发现，高考试题很多都可以在教材中找到原型，这也提示教师要重视教材的使用.高三复习时虽常常强调回归教材，但常见的做法是把课后有难度的题目重新刷一遍，而忽视了对数学问题本质的理解，对学生数学思维水平的提高是无效的.教师应带领学生挖掘题目本质，引导学生进行拓展与延伸，潜移默化地培养学生的数学核心素养.