数列的创新与综合应用

许琼

在“三新”背景下，数列模块作为“主力”知识，是创新意识与创新应用的一个重要载体，能够更加合理有效地考查考生数列知识的“三基”和数学关键能力，充分体现高考的选拔性与区分度.本文中结合2024届最新的模拟题，就数列模块中的创新综合应用，通过几类典型的特色问题加以合理剖析，抛砖引玉.

1 创新变换

创新变换对数列推递关系式的变形与转化起到至关重要的作用，特别是涉及数列不等式、数列通项与数列求和等相关问题中的变换与应用等.

例1  （2024届合肥市高三第二次质检数学试卷·8）已知数列{an}的前n项和为Sn，且1an=4+4an-1+n2an-1（n≥2且n∈N*），若a1=1，则（  ）.

A.S2 024∈1，32

B.S2 024∈32，2

C.S2 024∈2，52

D.S2 024∈52，3

解析：依题可得1an=4+4an-1+n2an-1≥4+4an-1+1an-1=1an-1+22>0，故1an≥1an-1+2，

则有1an-1≥1an-2+2，1an-2≥1an-3+2，……，1a2≥1a1+2，

将以上（n-1）个不等式同向相加，整理可得1an≥1a1+2（n-1）=2n-1.

所以an≤1（2n-1）2，n∈N*.

又an≤1（2n-1）2<14n2-4n=141n-1-1n，

所以S2 024<1+141-12+1412-13+……+141n-1-1n=1+141-1n<1+14<32.

又an>0，所以S2 024>a1=1，则有S2 024∈1，32，故选：A.

2 创新分析

创新分析对于含参的数列不等式、数列递推关系式等问题的解决有奇效，合理借助参数值的取值情况，联系数列自身的特色加以分析与处理.

例2  （2024届江苏省百校联考高三第二次考试数学试卷·8）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+an=1，记bm为数列{an}中能使an≥12m+1（m∈N*）成立的最小项，则数列{bm}的前2 023项和为（  ）.

A.2 023×2 024

B.22 024-1

C.6-327

D.112-328

解析：当n=1时，由题意可得a1=12.

又由Sn+an=1，可得Sn+1+an+1=1，两式相减可得2an+1-an=0，即an+1=12an，则{an}是以首项a1=12，公比为q=12的等比数列，故an=12n.

令an=12n≥12m+1，可得2n≤2m+1.

若m=1，则n≤1，此时b1=a1=12；若2≤m≤3，则n≤2，此时bm=a2=14；若4≤m≤7，则n≤3，此时bm=a3=18；若8≤m≤15，则n≤4，此时bm=a4=116；……；若1 024≤m≤2 047，则n≤11，此时bm=a11=1211.

设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1=b1=12，T3=b1+（b2+b3）=1，T7=b1+（b2+b3）+（b4+b5+b6+b7）=32，……，T2 047=b1+（b2+b3）+……+（b1 024+b1 025+……+b2 047）=11×12=112.所以T2 023=112-24211=112-328，故选择：D.

3 创新场景

创新场景往往是依托一些现实生活中的应用场景，结合一些典型的数列模型加以设置，进而从应用场景中归纳并总结相应的数列递推关系式，为问题的进一步分析与求解提供条件.

例3  〔2024届高三第一次学业质量评价（T8联考）数学试题·8〕一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图1），例如：从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂……以此类推，用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数，则a2 022a2 024-a22 023=（  ）.

A.1

B.-1

C.2    D.-2

解析：由题意可得a1=1，a2=2，a3=3，a4=5，归纳可知，an+1=an+an-1（n∈N*，n≥2），

所以当n≥2时，anan+2-a2n+1=an（an+1+an）-a2n+1=anan+1+a2n-a2n+1=a2n+an+1（an-an+1）=a2n-an+1an-1=-（an-1an+1-a2n），

而a1a3-a22=-1，所以数列{anan+2-a2n+1}是以a1a3-a22=-1为首项，公比为-1的等比数列.

所以a2 022a2 024-a22 023=-1×（-1）2 021=1.故选：A.

4 创新定义

创新定义成为数列中最为常见的一类创新应用问题，或创新定义数列模型，或创新定义与数列的通项、求和等公式有关的问题等，依托创新定义加以综合，结合数列的基础知识进行分析与求解.

例4  〔2024届高三第一次学业质量评价（T8联考）数学试题·21〕已知数列{an}为等差数列，公差d>0，等比数列{bn}满足：b1=2a1=2，b2=a1+a3，b1b3=5a3+1.

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）若将数列{an}中的所有项按原顺序依次插入数列{bn}中，组成一个新数列：b1，a1，b2，a2，a3，b3，a4，a5，a6，a7，b4，……，在bk与bk+1之间插入2k-1项{an}中的项，新数列中bn+1之前（不包括bn+1）所有项的和记为Tn，若dn=a2nan+12n-1Tn+2+2，求使得［d1］+［d2］+［d3］+……+［dn］≤2 023成立的最大正整数n的值.（其中符号［x］表示不超过x的最大整数.）

解析：（1）设等比数列{bn}的公比为q（q≠0），依题意可以得到a1=1，b1=2，

则有2q=1+1+2d，2×2q2=5（1+2d）+1，解得d=1，q=2，或d=-12，q=12（舍去），

所以an=n，bn=2n.

（2）新数列中bn+1之前的所有项中，含有{an}中的项共有20+21+22+……+2n-1=2n-1项，

所以Tn=（1+2n-1）（2n-1）2+2（1-2n）1-2=22n-1+3·2n-1-2，

所以dn=a2nan+12n-1Tn+2+2=n2（n+1）（2n+3）+2n2n+1=n2（n+1）（2n+3）+2n+1+2（n-1）=n2+2（2n+3）（n+1）（2n+3）+2（n-1）.

下证当n≥2时，0

由于（n+1）（2n+3）-n2-2（2n+3）=（n-1）2n-n2+3n-3，

而结合二项式定理有2n=C0n+C1n+C2n+……+Cnn，则当n≥2时，2n≥n+2，

所以（n-1）2n-n2+3n-3≥（n-1）（n+2）-n2+3n-3=4n-5>0，

所以当n≥2时，0

所以［d1］+［d2］+［d3］+……+［dn］=1+2［1+2+……+（n-1）］=n2-n+1≤2 023，即n2-n=n（n-1）≤2 022，则满足不等式的最大正整数n=45.

涉及数列模块知识中的创新综合问题，往往依托数列的基本概念、基本类型、基本公式以及基本性质等，融入相应的创新元素与创新场景，成为每年高考中考查学生的创新意识与创新应用的一个重要载体.此类创新综合问题，以数列基础知识为问题背景，融入各种相应的创新元素与创新意识，使得数学应用、综合应用、创新应用在数学基础、数学思维、技巧方法等层面得以真正发酵、发生、反映等，引导学生合理关注现实生活中无处不在的数学与应用.