高中数学课堂环境建设 涵育逻辑推理素养

贲维维

课题信息：南通市教育科学“十四五”规划课题“指向逻辑推理素养涵育的高中数学教学实践研究”，课题编号为GH2021111.

1 课堂环境要素分析，涵育逻辑推理素养

1.1 教师的教学行为

教师在课堂上的表现会对课堂环境产生重要影响，如教师的授课方式、语言提示、情绪控制等.

1.2 学生的态度

学生的态度包括学生对数学学科的学习态度，兴趣，学生的参与度，以及师生、生生之间的互动反馈与交流.而在这一点上学生的参与度普遍不高，也许这与紧张的学业负担、学生的思维发展层次有关.

1.3 课堂评价体制

教师对学生在课堂上的学习情况的评价和反馈，它包括评价的标准、评价的内容、评价的形式和评价的时间等方面.传统的课堂评价体制主要依靠考试、作业、测验等形式来评价学生的学习成绩和能力，注重量化的结果和结果的比较.而现代的课堂评价体制则更加注重学生素养的培养，强调过程性和发展性评价，注重评价的个性化和多样性.

2 涵育逻辑推理素养的课堂环境建设措施

（1）在学生思维的最近发展区启发引导，进行有效的思维训练.

作为教师，我们都有这样的感受：一道题讲了不下三遍，可学生还是掌握得不好.是学生上课根本没有听懂吗？那倒不是.人脑在大部分情况下，过一段时间学过的新东西如果不巩固就会遗忘.我们教师所能做的就是让学生学会推理，运用已掌握的知识从某个题眼出发进行分析，加深每个个体处理问题的印象.鼓励学生提出自己的想法，并给予适时恰当的肯定.

例如，下面这道试题，教师在讲解时可以从不同的角度对题目进行引导和剖析，学生便会产生不同的解题方法，获得成功的体验.

题目  △ABC中，AB=4，AC=2，∠A=2π3，D为边BC上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.

题眼1：由AD⊥AC联想建立坐标系（如图1），关键是求点D的坐标.

由C，B，D三点共线，

可知CB∥CD.设D（0，t）.

又CB=（-4，23），CD=（-2，t），所以可得

t=3.

故S△ABD=12×3×4×sin 30°=3.

题眼2：通过解三角形求AD的长度.

在△ABC中，先由余弦定理求出BC=27，再由正弦定理求出sin C=217，在Rt△ADC中可以进一步算出AD的长度.

题眼3：D为边BC上一点，考虑到AD将△ABC进行了分割，从面积比的角度可得

S△ABDS△ACD=BDCD=12AB×AD×sin 30°12AC×AD=1.

所以D为BC中点.

故S△ABD=12S△ABC=3.

题眼4：D为边BC上一点，S△ABD相对于S△ABC而言，本质上是求D为BC的几等分点，如图2，从几何作图的角度可想到过B点向AC作垂线（垂足为H），易得A为HC的中点，故D为BC的中点.

教师在一题多解和一题多变的基础上让学生思考问题解决的通性通法，学会优选，培养学生的逻辑推理素养.

（2）教师在推理的教学过程中注重数学模块知识与方法的归纳、整合与优化，从逻辑关系上构建知识框架，从知识的本源进行再创造.

例如，高三一轮复习中对直线的平行与垂直进行知识建构时，教师可以参考苏教版选择性必修一教材中的链接内容，将直线的法向量、求轨迹方程的基本方法进行有效整合，设计出既简洁又蕴含重要方法的问题链.设直线l的法向量为n=（A，B），l上的定点Q（x0，y0），任意一点P（x，y），则由n＼5PQ=0，得A（x-x0）+B（y-y0）=0，

即Ax+By+C=0.

若l1⊥l2，n1=（A1，B1），n2=（A2，B2），则n1·n2=A1A2+B1B2=0.

类似地，当l1∥l2时，你能得到什么结论？

借助直线的法向量的这种关系，还可以推出圆的直径式方程，你会推导吗？

应用：若点P在圆C上，求在点P处圆的切线方程.（利用向量的垂直关系即可推导.）

思考：若P（x0，y0）在圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2外，过点P作圆C的切线，切点分别为M，N，求切点弦MN所在直线的方程.

思维一：切点M，N在以CP为直径的隐圆上，又在圆C上，所以可以用两圆方程相减得公共弦MN所在直线方程，这里求隐圆的过程直接用向量解决.

思维二：由应用知在M（x1，y1）处的切线方程为

（x1-a）（x-a）+（y1-b）（y-b）=0;①

在N（x2，y2）处的切线方程为

（x2-a）（x-a）+（y2-b）（y-b）=0.②

因两条切线均过点P（x0，y0），故点P既满足①式，也满足②式，所以切点弦MN所在的直线方程为

（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=0.

这样不仅用向量的知识从平行、垂直关系上梳理了一条逻辑主线，而且能让学生在亲身体验推演的过程中学会更多的思想方法，锻炼了思维的深刻性.

（3）鼓励学生对所学知识进行质疑和思考，对自己所犯的每个错误点进行反思和改进，培养他们批判性思维和分析问题的能力.

要鼓励学生自主思考，站在多个角度思考问题，并运用逻辑推理的方法进行思考和分析.教学中不仅讲究解题策略，更要强化逆向思维、等价转化思想、反证法的应用，注重概念教学的生成和辨析，尤其要利用好充分必要条件、充分不必要条件等概念说明前后逻辑之间的关系.

在一次模拟考试中，有一道多选题：

设a，b是两个非零向量，且|a+b|<|a|+|b|，则下列结论中正确的是（  ）.

A.|a-b|≤|a|+|b|

B.|a-b|<|a+b|

C.a，b的夹角为钝角

D.若a=λb成立，则λ<0

本题答案是“AD”，但有一半的学生未选A，原因是没有厘清条件和结论之间的逻辑关系.条件是向量夹角θ∈（0，π］，而A的结论为θ∈［0，π］，很多同学误认为二者不等价时就是错误的，并未理解真命题的含义（条件结论，即由小可推大）.

（4）强化推理证明教学，营造合作、民主、互动交流的学习氛围.

教师运用目标分析教学法引导学生进行推理证明，让学生深入思考数学定理和公式背后的原理.对于难题，可以利用合作、探究的方式让学生进行集体思考和合作解决，促进彼此之间的互动和交流.鼓励学生分享自己的思考过程和解题思路，互相学习和借鉴，在碰撞中产生思维的火花.同时配以锻炼学生推理能力的开放性练习，培养学生数学思维和解题能力.

（5）创设多元化的情境教学，让学生产生探究欲.

以生动活泼、寓教于乐的方式，唤起学生的兴趣，激发学生的求知欲.可以运用故事、画图象、举实例等方式，让抽象的逻辑推理问题更加具体和可感知.此外，教师还应将现代教育信息技术融入课堂，通过合作、讨论、探究等方式，赋予学生多维度的数学经验，以增强学生学习数学的自信心，弥补以往过程性教学中的学生数学经验方面的不足.

（6）建立教师评价与学生小组评价相结合的课堂表现评价体制.

教师要了解班上的每一位学生，对于内敛型的学生要多鼓励，多肯定他们在课堂上提出的每个想法，鼓励他们参与到小组合作和交流中去；对于外向懒散型的学生，上课多给他们表现的机会，让他们找到自己的不足，针对每次的学习成果多去总结和制订下一阶段的目标.教师通过与学生的交流也会发现自己教学中的不足，改进教学.在课堂的开始环节，教师的有效调动，才能使学生产生好奇心从而更快地进入学习状态；在课堂上对于学生的创新性想法教师要给予及时的肯定，以培育他们深度思维的习惯；课堂的结尾部分，让学生学会归纳总结本节课的知识点和思想方法，这样他们会有满满的成就感.在一节课结束之前，教师可以对学生的参与度进行点评，在情绪上加以激励等.

教师是课堂的组织者，学生是课堂的参与者，课堂评价体制的建立可以促进学与教的有机融合.教师在课前的精心设计，课中的适时鼓励，学生在课末的反思和质疑，都与涵育逻辑推理素养的课堂环境分不开，一个数学课堂是否高效，主要取决于学生的思维参与度.

因此，教师不仅要深入钻研自己的学科教学，更要掌握科学的推理思维方式用于指导学生深度思考，以学情为基础，以培养兴趣为契机，通过数学课堂主阵地培养学生的思维能力和创造性思维，提高他们的逻辑推理素养.