基于核心素养的高中概率统计的教学感悟

李菲菲

课题信息：南京市第十二期个人课题“基于核心素养的高中概率统计的教学研究”，课题编号为Ec317.

在“概率与统计”实际教学中，教师应重视学生数据分析、数学处理、数据建模等能力的培养，让学生经历数据处理的过程，掌握数据分析的方法.笔者结合“概率与统计”中的几个典型案例，谈谈对“概率与统计”教学的感悟.

1 明晰概率模型

概率主要是研究随机现象规律的学科，其在生活中随处可见，有着重要的应用价值，它是统计的思想基础，也是重要的工具.概率的模型众多，如高中阶段的概率初步模型中有几何概型、古典概型、互斥事件概率、条件概率等，随机变量模型中包括几何分布、正态分布、二项分布等.因其模型众多，为此理解并掌握这些概率模型成为了概率与统计的重点、难点和关键点.纵观历届高考容易发现，造成失分的主要原因就是很多学生对这些概率模型理解不深，在解题时常常张冠李戴.为此，在教学中教师要充分利用好教材资源，挖掘各种概率模型之间的区别和联系，揭示概率模型的本质特征，进而便于学生在解题时可以准确选择模型，顺利求解.

例1  现将号码各不相同的100张卡片放在抽奖箱中，从中任意抽取1张记录后，将其重新放回抽奖箱，重复20次.证明：p<91019<1e2（其中p表示抽得的20个号码互不相同的概率）.

证法1：由已知可知这100张号码各不相同，这样若从中任意抽取1张则有100种结果，另外因为抽取并记录后又将其放回，为此连续抽取20次就有10020种结果，其中20个号码互不相同的有A20100种结果，每个结果都是等可能的，因此由古典概型的计算公式可得p=A2010010020，于是证明A2010010020<91019<1e2（不等式证明略）.

证法2：因为抽取的20张卡片各不相同，为此在计算时可以分步进行.第1次抽取是在100张各不相同的卡片中抽取，则任抽1张的概率为100100；第2次同样有100张卡片，但因为第1次已经抽取了一张，则第2次抽出互不相同卡片的概率为99100；依次类推，第20次抽取时，卡片的总数依旧为100张，然前面已抽取了19次，则抽出互不相同卡片的概率为81100.由条件概率的计算公式得p=100100×99100×98100×……×81100，不等式证明略.

从学生解题的反馈来看，大多数学生从已知条件出发，根据题设信息判断其符合有限性、等可能性两大特点，所以选择应用古典概型来解决问题.不过在具体实施过程中，部分学生对结果是否有序理解不清，给出的答案为p=C2010010020，显然整体事件中包括了同一种号码排列顺序不同的情况，所以其正解不是p=C2010010020，而是p=A2010010020；也有的学生认为每次抽出后又放回，这样每次抽出已知号码概率均为1100，所以选择利用二项分布解决问题，但是从二项分布事件发生的次数为0，1，2……显然不适合二项分布.

为了让学生能够准确识别并应用各种概率模型，在完成例1的讲解后，笔者给出了如下变式题目进行强化练习.

变式1  现有10张编号由1到10的卡片，从中任取3张，求恰好有2张号码能被3整除的概率.

变式2  现有10张编号由1到10的卡片，从中任意抽取1张，记录号码后放回，重复3次，则随机抽取的3张卡片中，有2张恰好被3整除的概率是多少？

可见，概率问题是非常灵活多变的，稍加修改其解题思路就会完全不同，另外即使同一问题也可能蕴含着不同的概率模型.

为此，若想顺利求解，必须要掌握各个模型的本质特征，从而准确地识模用模.

2 熟识统计图表

图表可以直观呈现数据，为此在统计分析时自然离不开图表.识图用图也是高中数学教学的一项重要内容，对于识图，要具备能够从不同图表中提取重要信息的能力；对于用图，学生要明晰图表的功能，以便结合实际问题选择合适的图表，将使杂乱无章的数据转化为可视化的图表，进而使问题变得更加直观明了.

例2  某加工厂计划购买2台新机器，该机器的使用寿命为3年.机器上有一个零件极易破损，为此在购买新机器时可以同时购买一些易破损零件备用.若在购买新机器时同时购买，该零件每个只需200元，否则每个500元.为了寻求最佳的购买方案，该厂搜集并整理了100台同样型号机器3年内更换零件个数（如图1）.

以100台机器更换该零件的频率代替1台机器更换该零件的概率，记X表示2台机器3年内共更换该零件的个数，n表示购买2台机器时购买该零件的个数.

（1）求X的分布列；

（2）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值.

解析：由图1可知，1台机器在3年内更换的易损零件数分别为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2.令x1表示第一台机器3年内更换易损零件个数，x2表示第二台机器3年内更换易损零件个数，则两台计机器3年更换该零件个数如表1所示：

表1

x1

x2

891011

8（8，8）（8，9）（8，10）（8，11）

9（9，8）（9，9（9，10）（9，11）

10（10，8）（10，9（10，10）（10，11）

11（11，8）（11，9（11，10）（11，11）

这样结合表1，可得7种不同的结果.根据频数易得P（X=16）=P（x1=8）P（x2=8）=0.2×0.2=0.04；P（X=17）=P（x1=9）P（x2=8）+P（x1=8）＼5P（x2=9）=2×0.2×0.4=0.16.同理可得

P（X=18）=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;

P（X=19）=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;

P（X=20）=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;

P（X=21）=2×0.2×0.2=0.08;

P（X=22）=0.2×0.2=0.04.

于是，可得X分布列如表2所示：

表2

X16171817202122

P0.040.160.240.240.20.080.04

（2）由表2可知，P（X≤18）=0.44，P（X≤19）=0.68，故满足P（X≤n）≥0.5的n的最小值为19.

由此可见，例2的两个问题主要考查了学生识图和用图的能力，利用图表逐渐将问题向简单化和直观化转化，大大提升了解题效率.

3 分解复杂事件

解决复杂事件时，一般先将事件字母化，即用字母A，B，C，Ai，Bj，Ck等表示所涉事件；然后将事件简单化，即将所求事件转化成彼此互斥的事件的和或先求对立事件的概念，再运用公式求解.这样将问题逐渐简单化，体现了转化思想在数学中的重要应用.

例3  质检部针对某批出口产品制订如下检测方案：优质品的件数记作n.

先从这批产品中任取4件进行检验，这4件中符合以下两种情况可以通过检测.第一种情况：若n=4，再从这批产品中任意一件，若为优质品，则通过检测；第二种情况：若n=3，再从这批产品中任抽4件进行检测，若都为优质品，则通过检测.假设这批产品的优质率为50%，求这批产品通过检测的概率.

解析：首先将事件字母化.

A1=“第一次任取4件产品中，n=3”；

B1=“第一次任取4件产品中，n=4”；

B2=“第二次任取的4件产品都为优质品”；

C2=“第二次任取1件为优质品”；

D=“通过检测”.

易得D=（A1B2）∪（B1C2），A1B2与B1C2互斥，A1与B2，B1与C2相互独立，任取4件产品中的优质品件数服从二项分布.分析至此，问题可以迎刃而解.

在解题时不要急于求成，要根据已知条件进行逐层解读，逐层分析，进而将复杂事件逐渐向简单事件转化，这样可以应用计算公式轻松求解问题.

另外，数据处理也是学好概率与统计所必备的关键能力，其一般要经过收集、整理、提取、建模等过程，综合性更强，然限于篇幅，对于数学处理就不再详细阐述.总之，基于核心素养的概率统计教学，有助于帮助学生走出教考困境，有助于培养学生的核心竞争力，有助于学生综合学力的全面提升.