多视角解题反思，促运算素养发展

陈尔明

课题信息：福建省教育科学“十四五”规划课题“新课标背景下高中数学反思性解题教学研究”，课题编号为Fjxczx22-030.

解题教学是高中数学教学的重要组成部分，尤其是高三数学复习课大部分是解题教学．高中数学教学中，学生需要解大量的题目，多数学生常因为陷入题海，缺少反思意识或无暇实施反思过程导致数学学习陷入困境．在新课程标准和评价方式下，从会解题转型到会解决问题，对学生知识体系建构是否完整、探究问题是否深刻、素养能力是否提升等方面提出了更具发展性的一般要求．那么，教师如何在解题教学中引导学生进行反思性解题，充分挖掘题目的内在价值，思考题目蕴含的概念、原理、思想方法，提高课堂教学效率，提升学生的解题能力，发展学生数学运算素养？本文中以一道圆锥曲线压轴题为例，多视角探讨解题反思．

1 试题及解答

（2023年福建省高三质检考试第21题）已知圆A1：（x+1）2+y2=16，直线l1过点A2（1，0）且与圆A1交于点B，C，BC中点为D，过A2C的中点E且平行于A1D的直线交A1C于点P，记P的轨迹为Γ．

（1）求Γ的方程；

（2）坐标原点O关于A1，A2的对称点分别为B1，B2，点A1，A2关于直线y=x的对称点分别为C1，C2，过A1的直线l2与Γ交于点M，N，直线B1M，B2N相交于点Q．请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明．

①△QB1C1的面积是定值；②△QB1B2的面积是定值；③△QC1C2的面积是定值．

这是一道以极点、极线为背景的综合性圆锥曲线压轴题，主要考查圆、椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的运算求解能力、逻辑推理能力、直观想象能力和创新能力，考查数形结合、函数与方程、化归与转化等多种思想，同时对学生的直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养提出了很高要求．第（1）问难度不大，利用定义法求轨迹方程，但对学生的作图能力提出了较高的要求；第（2）问大部分学生未能预判点Q的轨迹，进而无法确定哪一个三角形的面积为定值，导致思路受阻，后续不能选择合理的方法也导致运算变得繁琐，本问实测结果得分率较低．

解法1：（1）x24+y23=1（x≠±2）（过程略）．

（2）结论③正确．下面证明：△QC1C2的面积是定值．

依题意可得，B1（－2，0），B2（2，0），C1（0，－1），C2（0，1），直线l2的斜率不为0，如图1．

（ⅰ）当直线l2垂直于x轴时，l2：x=－1.

联立x24+y23=1，x=－1，得x=－1，y=－32或x=－1，y=32.

不妨设M－1，32，N－1，－32，则直线B1M的方程为y=32（x+2），直线B2N的方程为y=12（x－2）.

由y=32（x+2），y=12（x－2），得x=－4，y=－3，所以Q（－4，－3）.

故点Q到直线C1C2的距离d=4，此时S△QC1C2=12|C1C2|·d=4.

（ⅱ）当直线l2不垂直于x轴时，设直线l2：y=k（x+1），M（x1，y1），N（x2，y2），且x1≠±2，x2≠±2．

由x24+y23=1，y=k（x+1），得（4k2+3）x2+8k2x+4k2－12=0，所以x1+x2=－8k24k2+3，x1x2=4k2－124k2+3．

直线B1M的方程为y=y1x1+2（x+2），

直线B2N的方程为y=y2x2－2（x－2）.

由y=y1x1+2（x+2），y=y2x2－2（x－2），可得

x=2y2（x1+2）+y1（x2－2）y2（x1+2）－y1（x2－2）

=2k（x2+1）（x1+2）+k（x1+1）（x2－2）k（x2+1）（x1+2）－k（x1+1）（x2－2）

=4x1x2－2x1+6x23x1+x2+4．

下面证明：4x1x2－2x1+6x23x1+x2+4=－4．即证2x1x2+5（x1+x2）+8=0，即证8k2－244k2+3+5－8k24k2+3+8=0.

而上式显然成立，则点Q在直线x=－4上，故点Q到C1C2的距离d=4，此时S△QC1C2=12|C1C2|·d=4.

由（ⅰ）（ⅱ）可知，△QC1C2的面积是定值．

2 对解题过程的反思

罗增儒教授说过，问题一旦获解，就立刻产生感情上的满足，从而导致心理封闭，忽视解题后的再思考，恰好错过了提高的机会，无异于“入宝山而空返”．本题实测得分率不高，为了发挥试题的最大作用，培养学生对问题拓展研究的反思习惯，提升学生的解题能力，因此在讲评试题时引导学生对解题过程进行多视角反思．

2.1 对审题的反思

审题是解题过程的重要组成部分，仔细审题是解题的前提和依据，是正确解题的根本保证．多数学生审题带有习惯性和经验主义思维，看到题目信息，没有对题目进行周密的揣摩、审查以及深入的思考，最后习惯性地按照以往的解题经验答题，导致失分．本题第（1）问属于常规题，但实测数据显示大部分学生未能得满分，究其原因是审题不到位．学生根据题目所给的条件作出一般性的图形，结合椭圆的定义得到点P的轨迹为椭圆，由于未能考虑到图形的特殊性，造成失分．实际上，当直线l1与x轴重合时，点A1与点D重合，此时与题干“平行于A1D”的条件相矛盾，故而点P的轨迹为除去左右顶点的椭圆．这其实不是真正的马虎、粗心，而是一种学习力的问题，是审题思维浅表层凸显出来的问题．审题能力是一种获取信息、分析信息、处理信息的能力，这种能力的获得需要一个学习、积累、反思、巩固、发展的过程.因此，平时教学中需注重培养学生的审题能力，防止因为刷题出现经验主义审题．

2.2 对设线形式的反思

解题教学中，要注重提升学生的运算素养水平，使学生能针对运算问题，合理选择运算方法、设计运算程序解决问题．圆锥曲线解答题的运算量庞大，有思路而解不出是较为常见的现象，合理运算、优化解法是快速解题的关键.细节决定成败，对细节的处理尤为重要．题中直线l2过点A1（－1，0），解法1对直线l2的斜率是否存在进行分类，相对繁琐，后续运算量也较大，如果设直线l2：x=my－1.可避免分类，整体运算量也会小很多．一般来说，直线过x轴上的定点（n，0）时，直线方程设为x=my+n；直线过y轴上的定点（0，b）时，直线方程设为y=kx+b.合理选择直线方程形式，可以减少分类，降低运算量．

解法2：（2）结论③正确．下面证明△QC1C2的面积是定值．

依题意得，B1（－2，0），B2（2，0），C1（0，－1），C2（0，1），且直线l2的斜率不为0．

设直线l2：x=my－1，M（x1，y1），N（x2，y2），且x1≠±2，x2≠±2．

由x24+y23=1，x=my－1，得（3m2+4）y2－6my－9=0，所以y1+y2=6m3m2+4，y1y2=－93m2+4.

所以2my1y2=－3（y1+y2）．

直线B1M的方程为y=y1x1+2（x+2），直线B2N的方程为y=y2x2－2（x－2）.

由y=y1x1+2（x+2），y=y2x2－2（x－2），得

x=2y2（x1+2）+y1（x2－2）y2（x1+2）－y1（x2－2）

=2y2（my1+1）+y1（my2－3）y2（my1+1）－y1（my2－3）

=22my1y2+y2－3y1y2+3y1

=2－3（y1+y2）+y2－3y1y2+3y1

=－4．

所以点Q在直线x=－4上.故点Q到C1C2的距离d=4，此时S△QC1C2=12|C1C2|·d=4为定值．

2.3 对整体处理的反思

解题教学中，引导学生在深入理解和分析运算对象的基础上形成优化的运算思路，是提升学生运算素养水平的关键．学生在解题过程中不难发现，联立直线B1M，B2N的方程组，求出x的表达式的运算量颇大.转换思维角度，要求x的值，可以通过方程组先求出x+2x－2的值，这样“欲擒故纵”的整体处理方式可以大大减少计算量，起到四两拨千斤的作用．

解法3：（2）上同解法1，由y=y1x1+2（x+2），y=y2x2－2（x－2），得x+2x－2=y2（x1+2）y1（x2－2）=y2（my1+1）y1（my2－3）=my2y1+y2my1y2－3y1

=－32y1+y2+y2－32y1+y2－3y1=13，解得x=－4.

所以可得S△QC1C2=12|C1C2|·d=4为定值．

2.4 对非对称结构问题的反思

充分理解问题的解决思路，才能掌握解决一类问题的通性通法．本题不同解法的解答过程中均出现了非对称韦达式结构问题，无法直接利用韦达定理代入化简.非对称问题是圆锥曲线的一大难点，平时教学中可以以微专题的形式讲透其特征以及常见处理方法.解决非对称问题的关键是将非对称结构转化为对称结构，处理策略与思路较多．比如解法1，对于非对称韦达式4x1x2－2x1+6x23x1+x2+4，利用特殊到一般的思想进行处理，将证明4x1x2－2x1+6x23x1+x2+4=－4转化为对称韦达式2x1x2+5（x1+x2）+8=0的证明；再如解法2的2my1y2+y2－3y1y2+3y1、解法3的my2y1+y2my1y2－3y1非对称表达式，利用两根之和与两根之积存在的倍数关系式2my1y2=－3（y1+y2）代入化简．本题也可以利用曲线方程转化斜率来求解．

解法4：（2）上同解法2.因为x224+y223=1，所以y2x2－2=－34x2+2y2.

故直线直线B2N的方程为

y=－34x2+2y2（x－2）．

由y=y1x1+2（x+2），y=－34x2+2y2（x－2），得

x－2x+2=－4y1y23（x1+2）（x2+2）

=－4y1y23（my1+1）（my2+1）

=－43y1y2m2y1y2+m（y1+y2）+1

=－43－9－9m2+6m2+（3m2+4）

=3，

解得x=－4.

所以可得S△QC1C2=12|C1C2|·d=4为定值．

2.5 对极点极线拓展知识的反思

波利亚说过，观察可能导致发现，观察将揭示某种规则、模式或定律．几何直观在探索解决问题的思路上发挥着重要作用.通过几何直观能把几何情境问题转化为运算问题，借助运算得到几何的结果．本题第（2）问为结构不良问题，给出三个三角形，需确定哪一个面积为定值，如果无法确定是哪个三角形会导致思路受阻，后续的解题思路也会不明朗.细心的同学通过观察会发现这是一道以极点极线为背景的问题．事实上，直线B1B2与直线MN交于点A1，利用极点极线知识可知A1为极点，所以直线B1M与直线B2N的交点Q在对应的极线x=－4上，顺理成章地判断△QC1C2的面积是定值．近几年高考常涉及极点极线为背景的考题，高三复习时可安排极点极线的微专题讲清楚概念与常见模型，特别是优生要掌握极点极线基本模型与解决策略．

3 反思解题过程，提升运算素养

3.1 注重通性通法，夯实运算功底

数学教学中要引导学生理解基础知识，掌握基本技能，感悟数学基本思想，积累数学基本活动经验，促进数学学科核心素养的不断提升．对于数学概念、定理、法则，教师除了强调其应用，还应重视其生成过程，达到夯实运算基础的目的．在解题教学中，应注重通性通法，淡化运算技巧．比如在解析几何运算中，关注零元设线，合理设直线方程，降低运算量．对于非对称问题的多种解题策略，应让学生反思体会最优方法，从一题多解中领悟通性通法，打牢运算功底．

3.2 重视简化运算，提升解题能力

简化运算是针对运算问题，通过对照不同算理，选择简便的方法进行逻辑推理运算．在解题教学中，对于不同的方法教师要能从学生的思维角度去考量、对比各种方法的优劣，引导学生感悟更简便的算法．比如弦长问题的本质是两点间的距离，如果直接采用两点间的距离公式势必造成运算量加大，可以通过公式变形得到弦长|AB|=1+k2|x1－x2|，进一步利用一元二次方程根与系数的关系处理|x1－x2|，可以起到简化运算求解的目的，优化解题．再如（kx1+m－1）＼5（kx2+m－1）+（x1－3n+1）＼5（x2－3n+1）的化简整理，如果告诉学生去括号整理，绝大部分学生是无法完成的，教学中让学生反思解题过程，并提出目标运算的算法，只需要填写x1x2，x1+x2的系数，便可以完成式子的整理，实现解题效率最大化．