高三复习课对新课标推理与证明要求的落实

杜瑛

摘要：数学课堂是由逻辑推理构建起来的，概念的抽象、模型的建立、性质的推导、公式的论证以及问题的演绎，均需逻辑推理素养的支撑.本文中从核心素养和推理与证明的关系、新教材中对推理与证明的教学要求以及新课标高考试题三个角度阐述了新课标对推理与证明的要求，并通过几个实际教学中的例子，对高三复习课中推理与证明的教学提出了一些建议.

关键词：推理与证明；高三复习课

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“标准”）的课程内容中去掉了“推理与证明”一章，但“标准”对培养学生推理与证明能力的要求没有降低.从2021年开始，新课标Ⅰ、Ⅱ卷的六道大题中均有不少于三题涉及到了证明.由此可见，我们要特别关注高三复习课中的推理与证明教学及其思想的渗透.

1 推理与证明的要求没有降低

1.1 数学核心素养和推理与证明的关系

逻辑推理主要表现为：掌握推理的基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流［1］.培养逻辑推理素养是发展推理与证明能力的重要途径.同时，其他五个核心素养的主要表现均与推理能力有关.由此可见，“标准”对推理与证明的要求没有降低，而是渗透到了核心素养的内涵之中.

1.2 新教材中对推理与证明教学的要求

摘录新教材（普通高中教科书数学必修第一册人教A版）中的三个环节以示例：

（1）（第18页）思考：例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”.这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？

（2）（第46页）探究：类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？

（3）（第122页）请你利用对数与指数间的关系证明loga1=0，logaa=1.

新教材围绕概念、性质和公式的生成设置了“思考”“探究”等活动，这些活动有些需要数学抽象，有些需要逻辑推理，还有些需要论证.它们均指向了推理与证明能力的培养.由此可见，新教材进一步提高了对推理与证明的要求.

1.3 新课标高考卷中的推理与证明问题

摘录新课标高考考题以示例：

（1）（2022年新课标Ⅰ卷＼520节选）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据（见表1）：

表1

组别

卫生习惯

不够良好

良好

病例组

40

60

对照组

10

90

从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示“选到的人患有该疾病”.P（B|A）P（B-|A）与P（B|A-）P（B-|A-）的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.求证：R=P（A|B）P（A-|B）＼5P（A-|B-）P（A|B-）.

（2）（2023年新课标Ⅱ卷＼518节选）已知{an}为等差数列，bn=an－6，n为奇数，

2an，n为偶数.记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4=32，T3=16.证明：当n>5时，Tn>Sn.

新高考卷中的推理与证明结合概率、数列、解析几何、函数与导数等问题，以数学公式推导、数学概念应用、数学结论探究为出发点，综合考查学生的逻辑推理、数学建构、探索与表述能力.由此可见，新课标高考试题进一步提高了对推理与证明的要求.

2 推理与证明教学的三个关注点

2.1 关注推理与证明意识的培养

数学课堂是由逻辑推理构建起来的，概念的抽象、模型的建立、性质的推导、公式的论证以及问题的演绎，均需逻辑推理素养的支撑.教学中要培养学生有意识地进行推理的能力，如表述“曲线的方程”的概念，论述“f′（x）>0与f（x）单调递增”之间的关系，推导“不等式的性质”，等等.在解决问题的过程中，让学生感受定义是严谨的、逆命题的真假需要验证、公式与性质需要证明，进而发展学生的自主推理与论证意识.

2.2 关注充要条件的论证意识

数学定义是充要的，判定定理是充分的，性质定理是必要的.一个真命题的逆命题不一定为真.充要性的研究是培养逻辑推理能力的一个好途径.课堂中，对数学结论充要性的判断和有意识的论证，有利于培养学生思维的辩证性和严谨性.

2.3 关注推理与证明书写的规范性

笛卡儿说：“要想获得真理和知识，惟有两件武器，那就是清晰的直觉和严格的演绎.”将逻辑推理过程完整地书写出来，就是用数学的语言表达客观世界.数学表述要严谨，推理要有严格的依据，前后逻辑关系要清晰.教学中要培养学生书写的规范性，在书写的过程中厘清思维的逻辑关系，也是培养推理与证明能力的一个好途径.

3 高三复习课中培养推理与证明能力的建议

结合上述分析和实际教学经验，笔者提出高三复习课中培养推理与证明能力的三点建议.

3.1 培养学生口头论证能力

例1  （2022年天津）“x为整数”是“2x+1为整数”的（  ）.

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

遇到充要条件的判断问题时，要求学生进行口头论证，及时纠正论述过程中的不规范处，以帮助学生从正逆两个方向感受完整的逻辑思维过程，并有逻辑地表达与交流.同时，也有利于培养学生的主动论证意识.

3.2 重视数学公式的推导与证明

例2  在对人体的脂肪含量和年龄之间的关系的研究中，科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据（xi，yi）（i=1，2，……，20，25

参考公式：r=∑ni=1（xi－x-）（yi－y-）  ∑ni=1（xi－x-）2  ∑ni=1（yi－y-）2，

=∑ni=1（xi－x-）（yi－y-）∑ni=1（xi－x-）2，=y-－x-.

计算r与分别有两个公式，两公式之间能够相互推导.例2中给出的数据与公式不是对应的，需要推导出另一个公式，才能代入数据计算，这就要求我们在课堂中要关注数学公式的推导教学.例如：点到直线距离公式的推导、运用指数的运算性质推导对数的运算性质等.一轮复习课要舍得花时间对重要的公式和结论进行推演，这样既可加深学生对公式的认识，也能培养学生的推理证明能力.

3.3 重视证明题的教学

例3  （2023年新课标Ⅰ卷＼519）已知函数f（x）=a（ex+a）－x.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）证明：当a>0时，f（x）>2ln a+32.

本题综合考查逻辑推理和数学运算能力、分类讨论和化归思想.第（2）问的解题突破口是结合第（1）问的结论，利用化归思想，将问题转化为求证“当a>0时，f（x）min>2ln a+32”，再利用作差比较法求证.证明题对逻辑的严密性、思维的统整性和书写的规范性要求较高，是学生的学习难点，也是考查逻辑推理能力的重要载体.证明能力的培养不是一蹴而就的，需要在教学中逐渐渗透.在高三复习课中，遇到证明问题不能舍弃，要关注逻辑推理的思维教学，关注证明问题的基本思想、方法以及书写规范的教学.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］.北京：人民教育出版社，2020.