章末复习课怎么上

文卫星 赵甜甜

章末复习课怎么上？现在常规做法是发一、二套题目，这些题目可能是学校老师自己编写，也有可能是买来的成品.这些题目可以覆盖本章知识点，也有一些综合题，难度大小视学生水平而定，仅此而已.这些做法只是使得学生对一些问题更熟练一点而已，没有质的提升.

1 为何要上复习课

章末复习课的功能是要实现“由厚到薄”再到“由薄到厚”，即要把一章中学过的、但相对离散的知识点有机串联起来，强化重要的思想方法，巩固基本技能的落实.所谓“有机”就是通过若干题目展示知识的内在思维过程，在此基础上形成知识网络，熟练运用相关知识解答本章的常见问题，甚至有一定难度的试题.

复习课要使学生在原有认知基础上构建本章完整的知识结构、把握本章的重点难点、灵活运用数学思想方法思考问题、熟练掌握基本的解题技能.

2 复习课上什么

章末复习课如何实现“由厚到薄”？关键是选题以及怎么利用所选题目来达到既定目的.“平面直角坐标系中的直线”这一章复习课要通过有限的题目，复习直线的斜率与倾斜角、直线的各种方程、夹角公式、点到直线的距离公式，以及由此延伸出的直线的位置关系、对称性、最值等问题.

其中，对于斜率和倾斜角，已知一个范围求另一个范围相对比较困难；曲线关于直线的对称性虽然教材没有要求，但是在后续学习有时有用，此处做好铺垫会给后续学习带来方便；最值问题也是常见问题，尤其是含参数的最值问题.

基于上述原因，武老师在本课例1中以一条动直线和两个定点为题干，第（1）题设置5个小问题，从斜率和倾斜角起逐步过渡到各种形式的直线方程，这是本章最基本的“底层逻辑”，在此基础上衍生出直线的位置关系、夹角、距离以及对称性、最值等应用问题.可以用思维导图（图1）表示如下：

直线的斜率、倾斜角

各种形式的直线方程

直线的位置关系、夹角、距离

应用：对称性、最值等

这样就搭起了这一章的逻辑框架，以下教学活动都是建立在这个基础上的.

第（2）题本质上是已知斜率范围求倾斜角的范围，但设置了一个新的背景考查数形结合思想，且结论可以推广到一般情况.这是一个难点，因为倾斜角的范围是［0，π），在π2两侧，斜率一个“天上”一个“地下”，学生极易搞错，借助正切函数图象可以有效突破难点，同时还可以对学生进行意志品质教育：倾斜角在从0到π的增加过程中，斜率从0一直增加到正无穷，过了π2从正无穷跌到负无穷，可谓“从天堂到地狱”，但斜率还是以“百折不挠”的精神再“爬起来”.如果老师能加一句“顶天立地莫为难，起起伏伏趋无限.人生波折时常有，想到正切向前看”，则就把育人无痕地融入课堂教学中了.

第（3）题是一条直线关于已知直线的对称性问题，属于直线位置关系问题，有不同解法，结论可以推广到对称轴斜率为±1的情况.第（4）题是平行线间距离和直线夹角的解答综合题，考查数形结合思想与等价转化能力.

例1通过一个题干提出多个问题，每个问题都复习相关知识点，几个小题结束就能把这一章的重要知识脉络理清楚，形成有机的知识网络，相关的思想方法也得以应用，使斜率和倾斜角这棵大树根深叶茂.通过例1达到“由厚到薄”的目的.

例2的关键是要发现隐含条件“含参数的直线l1和l3恒过定点A（-1，0），直线l1和l2互相垂直”才能得到简单解法，否则求交点坐标运算量大，在求最值时要考虑参数m的正负.例3是常规问题，但要解两次方程组，难度不大，运算要求高.对于变式1中求点A关于角B平分线的对称点，由于例1中第（3）题已经把结论推广到一般情况，作为解答题列出方程组答案就出来了.这说明在日常教学中对“最近发展区”问题要做适当推广，这样可以减少计算量.作为解答题，方程组一定要列出，否则就不规范，如果是选填题则可直接给出结论.例2、例3虽然绝对难度不大，但思想方法齐备，比较适合普通中学学生的实际情况.

整体来说，本课选题很好地照顾到学生的实际情况和数学知识的覆盖面以及思想方法的灵活性.例2、例3检验“由薄到厚”达成度.

3 复习课怎么上

俗话说一年之计在于春，一日之计在于晨，课堂教学也是如此.

现在一般的章末复习课是先把一章的知识点整理出来，然后再讲题做题，或者是发一两套试卷给学生做，学生做完老师讲完就算复习结束.而武老师则是先让学生做一个题干下有若干小题的例1，重在覆盖知识点和思想方法，运算难度要小，再通过对学生所做题目的讲评“顺便”复习知识点，使知识形成网络.两相比较会发现：前者学生是被动学习，后者是主动学习；前者对大部分学生来说是浪费时间（尤其是重点中学，学生都知道，复习这些知识点根本不能调动他们的学习兴趣），后者则是上课伊始就充分调动学生的积极性和主动性（“是骡是马”拉出来遛遛）；前者学生即使会做题目也不一定就表示其掌握了相关知识和技能，有时会掩盖存在的问题，后者会做题目则表示学生基本掌握了相关知识和技能，不会做的题目刚好暴露学生存在的问题，达到诊断问题的目的.所以，复习课的例1（开始的一组题目）要格外认真准备.

由此看出，复习课首先要做的是：复习知识点，构建知识网络.但不是一上来就把相关知识直接给学生，而是通过精心设置的一组题目，在做题中检验学生基础知识掌握没有，掌握到什么程度？再通过师生互动的讲评，实时构建知识网络，在学生的脑海里形成完善的知识结构.这样一举多得：一是检验学生的知识水平，二是形成完善的知识网络，三是提高教学效率，四是为后续教学提供知识基础和思想方法支持.这就是尊重知识的发生、发展规律.

接下来，例题、练习数量的多少，综合程度的高低，难度的大小都要根据所教班级学生实际水平而定.在出示题目后一定要先留时间给学生思考、发言，鼓励学生一题多解，老师再选择一种常规方法规范书写.对特殊巧妙方法鼓励部分学生去研讨，但课堂不要过分追求，因为不一定适合大部分学生.这就是尊重学生的认知规律.

老师备复习课时还有一项重要工作是准备课后作业.作业要针对课堂所讲内容和学生暴露的问题来组织，这样针对性强，效果会更好.

武老师教态亲切，课堂气氛活跃.出示问题首先问学生怎么想，指出几何问题几何先行——让学生先画图，再结合已知条件找到解题思路.“平面直角坐标系中的直线”这一章的重要内容之一是求直线方程，可归结为求方程中系数的值，就需要得到若干方程组成的方程组.这种基本量思想贯穿整节课始终，对培养学生逻辑思维能力很有帮助.本课注意一题多解，不仅优化了学生思维，减少了计算量，提高了解题正确率，也把求真、求美、求简这一数学本质落到实处，有一定的育人作用.

4 改进建议

武老师确定的教学目标的第1条“确定直线点与向，方程各异本一样”比较准确，但表述还可以更精练，第2条有些表面化，还可以深入一些.建议修改为：（1）经历由斜率、倾斜角概念延伸出直线方程，把零散的知识整合成系统的知识网络；（2）学会运用类比、联想等方法归纳总结，深刻理解相关知识；（3）通过先练习后讲评或生生互评的方式，培养独立思考能力和批判精神.

运用教育技术可以提高教学密度.例1的总结老师可以不用板书，而用PPT呈现.因为每小题后面都有总结，拼起来就是完整的知识框架（或说思维导图），学生可以做到，课堂不必再花时间.

对变式1中求点A关于角B平分线的对称点，第一个学生答错了，这说明例1第（3）题的推广不到位.这个结论可以仿照第（3）问的方法求得，但是准确应用需要向学生说明：把已知点的横坐标代入对称轴方程可得对称点的纵坐标，把已知点的纵坐标代入对称轴方程可得对称点的横坐标，掌握这一点才能既快又准.表明教学时应该以学生为中心，不是因为老师讲得好学生就能掌握.

在小结中用打油诗总结一节课的内容是很好的教学方式，前两句“确定直线点和向，方程各异本一样”准确地总结了直线方程源于直线所过的点和方向，如果是过两点则这两点就确定了直线的方向，如果是一点就还需要方向.直线方程不过是斜率公式的各种不同变形而已.后两句“根据特点慎选择，掌握方向把好航”则是双关语，表面意思是解题时要根据条件选择恰当的直线方程，以减少计算量，隐喻则是同学们以后做事也要根据自身特点，把握人生发展方向.隐喻需要老师向学生解释才能发挥更大作用.如果朗诵和解释时能饱含激情，感染力会更强，“精气神”会更足，数学文化的含量会更高！