例析初中数学代数推理的类型及教学启示

何勇

摘要：《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确提出“增加代数推理，加强几何直观”的主张，体现了通过几何建立直观、通过代数予以表达的现代数学的基本特征.2023年全国各地数学中考试题对代数推理的考查全面而充分，厘清代数推理的不同类型，对日常教学具有较强的指导意义.代数推理的类型大致分为代数运算型、结构转化型、代数说理型三种.

关键词：代数推理；代数运算；结构转化；代数说理

1 代数推理的含义

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022版）》）指出“要关注基于代数的逻辑推理；能在比较复杂的情境中，提升学生发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力，以及有逻辑地表达与交流的能力”［1］.代数推理侧重数与代数的运算和变形、数量关系、代数模型（方程、不等式、函数等），比较抽象.它是从条件出发，根据代数定义、代数公式、运算法则和运算律进行的运算，指向特定的目标结构（或关系）的代数变形与转化或进行的一种证明（说理），符合一般推理的特点.代数推理主要应用于数与代数的运算与变形，方程、不等式、函数等代数内容.

2 2023年中考数学试题对代数推理的考查

2023年全国各地数学中考试题的命制较好地贯彻和落实了《课标（2022版）》的要求，对代数推理的考查更是全面而充分.通过对全国各地2023年初中数学中考试题的研究，不难发现代数推理的考查主要集中在数与代数的运算与变形，方程、不等式、函数等代数内容.代数推理的类型大致分为代数运算型、结构转化型、代数说理型三种.

2.1 代数运算型

数学的思维是什么？主要是逻辑推理，这是数学发展所依赖的基本思维形式.逻辑推理分为演绎推理和归纳推理，而数学运算属于演绎推理.

案例1 （2023＼5武汉）皮克定理是格点几何学

中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S＝N＋12L－1，其中N，L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点.已知A（0，30），B（20，10），O（0，0），则△ABO内部的格点个数是（  ）.

A.266

B.270

C.271

D.285

分析：根据公式S＝N＋12L－1，先计算出S和L的值，即可求出N的值.由A（0，30）可知

边OA上有31个格点（含点O，A），因为直线OB的解析式为y＝12x，所以当x为小于或等于20的正偶数时，y也为整数，即OB边上有10个格点（不含端点O，含端点B）；由直线AB的解析式y＝-x+30可知，当0＜x＜20且x为整数时，y均为整数，故边AB上有19个格点（不含端点），所以L＝31＋19＋10＝60.又S△ABO＝12×30×20＝300，故300＝N＋12×60-1，所以N＝271.故选项C正确.

点评：本题考查了学生在复杂的情境中分析、解决问题的能力.代数运算是“童子功”，根据定义、公式、运算法则和运算律进行推理活动，代数推理通过代数运算得以实现，既有推理的特征，也具有运算的特征.

2.2 结构转化型

结构转化型就是将代数式（或关系）变形为特定的目标结构（或关系），目标结构（或关系）就是代数模型.

案例2 （2023·浙江杭州）设二次函数y1＝2x2＋bx＋c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点.若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x－h）2－2（h是常数）的形式，求b＋c的最小值.

分析：由题意，得y1＝2x2－4hx＋2h2－2，又因为y1=2x2+bx+c，所以b＝－4h，c＝2h2－2.于是b＋c＝2h2－4h－2＝2（h－1）2－4，因此当h＝1时，b＋c取得最小值，且最小值是－4.

点评：本题考查了二次函数的两种不同表达式，通过将顶点式y1＝2（x－h）2－2化为一般式y1＝2x2－4hx＋2h2－2后，分别得到b，c关于h的表达式，建立b＋c的数学模型，则b＋c是h的二次函数，即b＋c＝2（h－1）2－4，且该二次函数开口向上，所以当h＝1时，b＋c的最小值是－4.

2.3 代数说理型

案例3 （2023＼5重庆）如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足ab-bc=cd，那么称这个四位数为“递减数”.例如：四位数4 129，∵41-12＝29，∴4 129是“递减数”.又如：四位数5 324，∵53-32＝21≠24，∴5 324不是“递减数”.若一个“递减数”为

a312，则这个数为______.

分析：根据递减数的概念，列方程求a的值.由

题意，可得10a＋3-31＝12，解得a＝4，所以这个数为4 312.

点评：在初中数学中，图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明内容，因此在日常教学过程中，要增强代数推理教学的意识，让学生进一步提升符号意识，形成用数学符号论证问题的习惯，养成有条理做事的习惯.

3 教学启示

3.1 代数推理教学要关注阶段性与合理性

代数推理的教学要求阶段性与合理性相结合.其中，阶段性是指根据学生的思维与认知，逐步提高要求.如：七年级侧重数式或图形，从特殊到一般寻找规律，代数运算的说理；八年级侧重从图形出发或借助图形直观渗透代数推理，结合图象，用代数说理方式研究一次函数、反比例函数的性质；九年级侧重以代数式或关系（方程、不等式、函数）为载体，通过归纳与演绎、分析与综合研究代数推理.合理性是指合理有度，即关注代数推理教学内容、范围和思维要求，不揠苗助长，围绕代数式、方程、不等式、函数性质、基本数式运算和基本数学思想方法设计教学.

在教学过程中，需要关注学生认知发展阶段、教学内容层次划分、推理步骤的合理性、逻辑思维的培养、教学方法的适应性、反馈与评估的及时性以及情感态度的引导等方面，以提高代数推理教学的效果和质量.

3.2 代数推理教学要关注抽象性与直观性

由于代数推理具有抽象性，因此在日常教学中要以现实为背景，借助经验加深对代数推理的理解，借助图形（图象），通过直观寻求代数推理方法，从图形（图象）出发，将图形问题代数化，将代数推理结论借助直观解释，使抽象性与直观性相结合.

如讲授“完全平方公式”时，借助多项式相乘的法则，从特珠到一般归纳推理得到完全平方公式，继续因势利导展开公式的代数推导过程，加强代数推理.同时通过几何背景的构造，加强学生对“完全平方公式”的理解.

通过深入理解抽象概念、引入直观表示、结合图形与符号、应用实际案例、灵活运用教学策略以及保持抽象与直观的平衡，这种平衡的教学方式不仅能降低学习难度，还能培养学生的抽象思维能力和空间想象力.要认识到代数推理的抽象性是其核心特征，但过于抽象的内容容易使学生感到困惑.因此，教师应引导学生从直观感知出发，逐步深入理解代数推理的本质，实现抽象思维与直观感知的有机结合，提升数学素养和综合能力.

3.3 代数推理教学要关注差异性与合理性

代数推理的教学要根据学生认知和思维差异，因材施教，不能“一刀切”；要回归初中数学基本要求，紧扣初中数学教学内容，巩固基础知识和基本技能，提升数学探究、思维和表达能力，渗透数学基本思想方法，实现代数推理的有效教学，不能“为推理而推理”，而应是差异性与合理性相结合.

如讲授“因式分解”时，要关注学生的基础差异和思维差异.由于学生对因式分解的基本概念掌握程度不同，在推理教学时要设计不同维度的练习题，以适应不同学生的需求.不同的学生在解决问题时可能采用不同的思维方式，推理时需引导他们讨论不同方法的优缺点，以培养学生的多元化思维.另外，要关注方法和逻辑的合理性，在因式分解中，存在多种方法，如公式法、分组法等，不同的方法可能适用于不同的多项式.要引导学生理解在因式分解的过程中，每一步都需要有明确的逻辑基础.关注差异性与合理性是代数推理教学的关键所在.只有充分考虑学生的个体差异和实际需求，选择合适的教学内容和方法，注重培养学生的逻辑思维能力和创新能力，才能提高代数推理教学的质量和效果.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022，8.