数学建模教学的实践与思考

何红清

新课改对初中数学教学提出了新的要求，更加重视对学生学习能力，以及灵活利用所学知识解决实际问题的能力的培养.由于初中阶段数学的学习内容更加丰富、多元，学习难度加大，为了让学生解决实际问题的能力得到提升，有必要引入数学建模，使学生具备更好的数学模型意识，有利于激发学生学习数学的兴趣和主动性，同时通过学生对知识的灵活运用，实现创新能力与学习能力的提升.

1 初中数学建模教学的意义

数学建模教学可以使学生学到有用的数学，提高对生活中的数学的理解和运用.大多时候我们的数学教学注重的是学生知识与思维的练习，而忽略了对学生运用数学解决实际问题的能力的培养，从而导致学生花大量的时间学习数学知识及方法，但在生活中不会加以运用或根本用不上.

数学模型思想是数学学科的重要思想，是提高学生分析和解决实际问题，强化应用意识的重要的、有效的思想方法［1］.数学思想方法的渗透应该始终与课堂教学紧密结合起来.

建模教学可以培养学生多方面的能力.（1）表达能力.把实际问题用数学语言表达出来转化为数学问题，对学生的表达能力是一种锻炼和提高.（2）运用数学的能力.体现在用所学的数学知识解决实际问题.（3）合作交流的能力.对于一些较为复杂的实际问题，往往需要以小组合作的方式进行，需要小组成员分工合作、相互交流、密切配合.这种合作交流的精神与团队意识也是社会生活中所必须的.

数学模型就是对实际问题的一种数学描述.数学模型就是通过抽象、简化、假设变量等数学方法，把实际问题的主要变量关系用适当的数学工具描述出来.建立数学模型的过程称为数学建模.它主要有以下三个步骤：（1）根据实际问题建立相应的数学模型；（2）对数学模型进行数学上的推理、运算，求出结果；（3）把结果反馈到实际问题中，检验结果是否符合实际意义.

2 数学建模教学的实践

数学模型思想的建立是学生认识和体会数学与实际生活关系的重要桥梁，也为解决现实问题提供了重要的理论依据.实际上是对学生数学应用能力的培养.在初中数学教学活动中，教师应采取有效措施，加强数学模型思想的渗透，激发学生的学习兴趣，培养学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力.下面就几个主要的数学模型在教学中的应用来举例说明，以作探讨.

2.1 方程模型

方程是含有未知数的等式，是描述现实生活中等量关系的重要模型.解决方程问题的关键是找到等量关系，然后设定适当的未知数，最后检验解的合理性.

例1 有一列数，按一定的规律排列：1，-2，4，-8，16，……其中三个相邻数的和为48，问这三个数分别是多少？这三个相邻数的和是否可以是-768？说明理由.

分析：对于第一个问题可以通过列举法把三个数16，-32，64找出来，但对于第二个问题则行不通.此时要分析这一列数的规律.

根据后面一个数是前一位数的-2倍，可设第一个数为x，则后面两个数分别为-2x，4x.由三个数的和为48或-768，建立方程模型x-2x+4x=48或x-2x+4x=-768，解得x=16或x=-256.

验证结果发现，16在数列中，所以16，-32，64的和为48；而-256在数列中不存在，所以数列中任何三个相邻数的和都不可能是-768.

根据实际情况提出问题，引导学生建立方程求解，并说明所构建方程模型的合理性和必要性.

例2 一艘小船在河里航行，小明坐在船头看风景.一不小心，食物袋从船头滑落水中，3分钟后，小明才发现食物袋滑落水中，于是开船返回去追.试问小明需要几分钟才可能追上落水的食物袋？

分析：要解决这个问题，就要把它放在一个理想化的情形下——（1）水的流速、船速是均匀的.（2）食物袋没有沉入水中，且食物袋在水面上与水的流速一致.分析船与食物袋之间的数量关系，利用路程=速度×时间，构造方程模型.

设追上食物袋的时间为t min，船的速度为a m/min，水的流速为b m/min.

（1）假设开始时船是顺流航行，则船向前航行路程为3（a+b）m，食物袋向前航行路程为3b m，二者相距3a m，相对速度为a m/min，所以3a=at，t=3.

（2）假设开始时船是逆流航行，则船向前航行路程为3（a-b）m，食物袋向后漂流路程为3b m，二者相距3a m，相对速度为a m/min，所以3a=at，t=3.

所以小明需要3 min才可能追上落水的食物袋.

2.2 不等式模型

不等式是表达现实世界中不等关系的一种有效的数学模型.不等式模型可以有效解决现实生活中不需要精确值只需要大致范围的决策问题.

例3 某平价商店经销某种商品，商品进价为120元，售价为200元.为了促销，商家决定打折销售，为了使利润不低于25%，问最多打几折进行销售？

分析：需要分析几个量的数量关系.利润=卖价-进价.不低于、至多、至少、不高于等等表示的是一种不等关系，所以此题应用不等式模型来求解.

设打x折，则200×x/10-120≥120×25%，解得x≥7.5，所以至多打7.5折.

对于这一类不等关系的问题，一般解题步骤是：先正确理解问题情境，分析其中的不等关系，然后设定未知数，列不等式（组）求解.

2.3 函数模型

函数是一种具有普遍意义的数学模型，是研究运动变化规律的数学模型.函数思维可以拓展学生对运动变化事物的研究空间，还可以发展与完善学生的认知结构，让学生认识和体会现实世界中运动变化的普遍性和规律性.

例4 某商场将进货单价为30元的小商品，按每件40元售出时，每天可以卖200件.如果每件涨价1元，日销售量就要减少10件.那么该小商品如何定价，可以使每天获得最大利润？每天的最大利润是多少？

分析：商品涨价后每件小商品利润增加了，但销售量减少了.售价和销售量这两个变量有某种内在的联系.而总利润与这两个变量之间的关系构成了函数关系，因而建立二次函数模型.

设每件小商品的售价为x元，利润为w元，则

w=（x-30）［200-10（x-40）］.

化简，得w=-10（x-45）2+2 250.

当x=45时，w有最大值，且最大值为2 250.

所以，售价定为45元时，每天的最大利润是2 250元.

运用函数模型分析变量之间的对应关系和变化规律，通过函数图象和性质确定函数的变化规律和变化趋势，是应用函数模型解决问题的重要方法.

2.4 概率统计模型

随着信息技术的发展，数据已经成为人们日常生活中非常重要的一部分，在作决策时比以前更加依赖来自外界的信息.因此，统计与概率的知识和方法对大数据时代的人们而言是十分重要的.

例5 甲、乙、丙三位球迷争夺一张球票.三人决定用抓阄的方式来决定：用三张一样大小的纸，一张写上“票”字，另外两张空白，然后捏成一样大小的纸团.谁抓到票字的纸团，谁得球票.谁先抓？先抓是不是机会更大些？

分析：可以假设一人先抓，把各种可能性都列举出来，再分析谁的机会大.

画树状图，如图1所示.

一共有6种可能性，甲、乙、丙的胜出的概率相同，所以不管谁先抓，机会一样大.

中学阶段，统计与概率模型的研究有助于学生理解和表达事件发展的规律，感知数据分析的重要性.目的在于培养学生感悟数据中蕴含的事物特征，将数据作为判断和预测的依据，形成数据意识与数据观念.

3 教学反思

数学学科是义务教育阶段的重要科目之一，通过有效教学，可以提升学生的数学思维，培养学生的理性逻辑能力.而在数学教学中，运用数学模型思想，有利于帮助学生构建数学知识网络，促使学生运用模型思想解决问题，从而全面提升学习能力［2］.

教师在渗透数学建模思想的过程中，要根据学生的实际情况，采取适当策略.

（1）充分利用教材资源，应用数学建模思想.义务教育阶段教材中的许多知识情景问题和数学活动问题都是很好的教学资源，这些问题需要结合数学思想和方法来教学.

（2）根据知识点，列举生活中应用数学建模思想的问题.大多数学生往往对枯燥的数字或数学问题兴趣不大，但对一些生活实例比较感兴趣，在解决实际问题的过程中体会到学以致用的快乐和成就感，提高学习数学的兴趣.

（3）通过创设问题情境，激发学生学习的兴趣.教师可以充分利用教材内容，将一些枯燥的数学问题改编成适合学生的生活实例，在调动学生积极性的同时，渗透数学建模思想.

（4）注重跨学科的联系.初中数学中有部分题目与物理、化学有联系.如自由落体，入射角、反射角，浓度等问题，学生理解有困难，需要教师及时讲解.

总之，教师在教学过程中应积极渗透数学建模思想和培养学生的模型意识.这样既可以调动学生的积极性和主动性，提高学习兴趣，也可以培养学生分析问题和解决问题的能力，对培养学生的逻辑思维、创造性思维大有益处的.

参考文献：

［1］李海波.初中数学“模型建构”的实践与思考［J］.数学教学通讯，2022（5）：28-29.

［2］赵方欣.教学环节中数学模型思想的巧妙渗透［J］.新课程教学（电子版），2021（5）：29-30.