抛物线中“玃A+kPB”型最值问题的探究与思考

王飞

最值问题长期以来都是初中数学各种考试中常见的题目类型，主要以压轴题的方式对学生进行考查.最值问题所涉及的知识点较多，同时具有较强的灵活性，因此学生对这类问题的求解往往存在一定的困难.其中，抛物线与最值问题有较为密切的联系，以抛物线为载体设置最值问题是近几年常见的一种考查方式.通过对最值问题的研究，可以发现“PA+kPB”型最值问题是初中数学中常见的一种最值问题，所以有效提升学生解决这类问题的能力是提升学生数学水平的关键.

1 “PA+kPB”型最值问题

“PA+kPB”型最值问题是指定点A，B到动点P所形成的线段和的最值问题.如果k=1，则可以将这类问题转化为PA+PB的最值问题；而当k＞0且k≠1时，则需要根据题意来进行相关的构造转化，进而求解.同时在“PA+kPB”型最值问题中，根据点P的运动轨迹可以将其分为“胡不归”问题和“阿氏圆”问题.其中，“胡不归”问题是指点P的运动轨迹为线段，这类问题可以通过构造三角函数的方式来求解；“阿氏圆”问题则是点P的运动轨迹为圆，可以通过构造相似进行转化.

本题是以抛物线为基础构建的“阿氏圆”问题，在解决问题的过程中需要通过构建相似关系对问题进行转化.本题利用线段的比值关系进行相似三角形的构建，从而得到QN=22QB，将22BQ+B′Q转化为NQ+B′Q，实现对问题的求解.通过这个例题可以发现，掌握这类问题的解题模型之后，在解题过程中正确进行相似的构建是非常关键的，如何快速根据题目的相关信息构建相似是最主要的问题.因此，教师在“阿氏圆”问题的教学中不仅要让学生掌握问题模型，还要教会学生如何快速构建相似三角形，进而提升学生的解题能力.

4 教学反思

通过上述两个例题的解题分析可知，抛物线中的“PA+kPB”型最值问题通常可转化为“胡不归”问题或“阿氏圆”问题.解题过程中要

充分利用几何知识与抛物线的相关性质通过数形结合构建对应关系，从而实现问题的解决.因此，教师在教学过程中需要引导学生掌握这类问题的数学模型，将“PA+kPB”问题转化为“PA+PC”型问题，从而实现问题的解决.

同时，通过例2可以发现，在掌握这类问题数学模型的基础上，还需要掌握相似的构建方式，才能快速实现对问题的解决.所以在教学中需要通过典型例题对学生进行这方面能力的培养.通过解题训练，学生能够在解题的过程中掌握构建相似三角形的关键，当然这里的解题训练不能采用题海战术的模式，而是需要通过如例题1～2这样的经典例题进行练习.同时，在练习过程中教师要及时根据学生的实际情况对学生的解题思路进行引导，从而让学生能够掌握“PA+kPB”型问题的构建策略.

综上所述，本文通过“胡不归”问题和“阿氏圆”问题来对抛物线中的“PA+kPB”型最值问题的求解策略进行了说明.通过这两类问题的解题分析可以发现，掌握“PA+kPB”型最值问题的数学模型是解题的基础，而掌握有效的构建策略则是解题的关键.因此，教师在这类问题的教学中需要从以上两个方面入手对学生进行培养，从而使学生的数学核心素养得到有效的提升.