把握本质 精心设计 发展素养

钱冯良

数学本质，就是数学本身的根本属性.如何在教学中凸显数学本质，如何把握数学本质来设计教学都是值得我们深思的问题.笔者认为，数学本质藏匿于知识形成和问题解决过程的数学思想和数学精神之中，是学科育人应体现的理性精神.那么，教师该如何切实理解和把握数学本质，精心设计教学过程来发展学生数学核心素养，彰显数学的理性精神呢？笔者在“二次函数”的单元复习教学中进行了尝试，与同行交流.

1 教学过程

1.1 环节1：以预学促感知

自主学习单：

（1）通过观看微课视频回顾二次函数的相关内容——概念、图象及性质.

（2）表1是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分对应值.

①试着画出该二次函数的图象，并求出其解析式.

②进一步观察图象，有何收获？

③试着阐述二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质.

（3）预学课本内容，试着提炼二次函数的知识框架.

1.2 环节2：以交流促内化

探究活动：自主汇报和交流课前学习成果，并延伸思考.

交流1：你能用多少种方法求二次函数解析式？

交流2：观察课件呈现的抛物线y=－x2－2x+3（如图1），提炼结论.

交流3：尝试通过思维导图归纳二次函数的图象及性质.

交流4：如图2，同一坐标系中的抛物线y1和坐标轴分别相交于点A，B和C，且A，C在直线y2上，根据函数图象分别求出使得y1=y2，y1y2的x值；思考二次函数和一元二次方程、一元二次不等式间是否存在某种联系？

1.3 环节3：以探究揭本质

问题1 如图1，将抛物线向下平移1个单位长度后再向右平移2个单位长度，你能写出相应的解析式吗？

师生活动：以“几何画板”呈现平移的全程，使学生从视觉上感知顶点位置的改变，从而很快写出平移后的解析式，并切实明晰平移的本质.

问题2 试着分别求出图1中抛物线关于y轴和x轴对称的图象所对应的函数解析式.

师生活动：首先探索关于y轴对称，在教师的点拨和启发下，学生很快画出如图3所示的草图，并分析变换后的顶点坐标.由于抛物线开口大小和方向均未变化，仅仅是位置上的变化，因此a值相同，顶点坐标变为（1，4），继而根据顶点式得出函数解析式y=－（x－1）2+4.进一步探索关于x轴对称，同样画出如图4所示的草图，并分析变换后的顶点坐标.由于抛物线形状不变而开口方向与位置均发生了变化，因此a值互为相反数，顶点坐标变为（－1，－4），继而根据顶点式得出函数解析式y=（x+1）2－4.当然，此处的探索中，也有思维敏捷的学生能从两个抛物线与x轴的交点不变着手，基于交点式直接写出抛物线的解析式y=（x+3）（x－1）.

1.4 环节4：以合作助领悟

问题3 如图5，已知抛物线y=－（x+1）2+4交坐标轴于点A，B和C，顶点为D，请判断△ACD的形状，并以小组为单位相互说一说理由.

学生活动：从条件出发很容易得到A，B和C三点的坐标，即A（－3，0），B（1，0）和C（0，3），据此得到AC=32，AD=25，CD=2，则AC2+CD2=AD2，进而判断△ACD是直角三角形.

问题4 如图6，已知抛物线

y=－（x+1）2+4的对称轴上有一点P，

使得△BCP周长最小，你能求出点P的坐标吗？

学生活动：沟通“将军饮马”问题模型.想要△BCP的周长最小，也就是（BP+PC）最短，因此P应为直线AC和对称轴x=－1的交点，求得△BCP的周长的最小值是AC+BC=32+10.

问题5 试问在抛物线y=－（x+1）2+4上存在一点M，使得S△ABM=S△ABC吗？若存在，求点M坐标；若不存在，阐明原因.

学生活动：若使得S△ABM=S△ABC，可以从“同底等高”思路引领学生作出图7，即直线y=3和y=－3，从而得出所求的点M，进一步解方程－x2－2x+3=3，－x2－2x+3=－3，即可求得点M的坐标是（－2，3），（－1+7，－3）及（－1－7，－3）.

1.5 环节5：以拓展促思维

问题6 如图8，已知抛物线y=－x2－2x+3，将其平移后使得顶点落在直线AC上，其中A（-3，0），C（0，3），你能求出平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标的最大值吗？

学生活动：通过待定系数法不难求出直线AC的解析式为y=x+3，进一步得出以下两种解决方法.

方法一：设平移后的解析式为y=－x2+px+q，由于顶点（p2，p24+q）在y=x+3上，则有p2+3=p24+q，从而有q=－14（p－1）2+134.所以，当p=1时，该抛物线和y轴交点纵坐标的最大值是134.

方法二：设平移后的解析式为y=－（x－h）2+k，由于顶点（h，k）在y=x+3上，从而有k=h+3.令x=0，可得－h2+k=－h2+h+3=－h－122+134.所以，当h=12时，该抛物线和y轴交点纵坐标的最大值是134.

1.6 环节6：以归纳促构建

问题7 你觉得研究函数的一般方法是什么？

问题8 在研究函数的过程中体现的数学思想方法有哪些？

2 教学启示

2.1 厘清知识来龙去脉，促进本质把握

数学知识拥有发生和发展的经历，倘若教师在教学前对知识本身有一个系统而深刻的理解，则可以充分挖掘其背后的本质，就能将数学知识完美呈现，从而引领学生无痕构建知识网络.本节复习课的教学，教师课前作足功课，通过反复推敲和尝试设计出高立意的教学过程，让学生基于导学案自主学习，基于探究活动和问题深度思考、探究和合作，完成知识结构的建立和认知结构的完善，从而使数学复习更深入、更高效.

2.2 无痕渗透数学思想，实现高效建构

传统教学中，学生一味模仿教师解题，整个学习过程看似流畅，学生仿佛“学会”，实则并未真正理解问题本质及其中蕴含的数学思想.教学中如何无痕渗透数学思想，促进学生的高效构建呢？倘若我们能从知识的最近发展区设计匹配的问题，则可以培养学生深邃的数学思维，促使学生理解并掌握蕴含其中的数学思想方法.在本课教学中，教师用思想方法厚实了数学本质的底蕴，通过数形结合思想的反复渗透，使得学生将二次函数的相关知识融入原有知识体系中，并在整合和重组中形成了新的知识网络，促进知识的自然迁移.

2.3 凸显学生主体地位，发展数学素养

凸显学生主体地位的课堂，往往是通过内涵丰富的“高层次”问题，引导学生经历一个个深刻而完美的问题解决过程，无痕发展数学素养.本课中，教师在学生的最近发展区巧妙设问，并为学生营造自主探究和合作学习的平台，使学生在个性化学习中形成知识体系，发展数学素养.

总之，教师只有厘清知识的来龙去脉，无痕渗透数学思想，凸显学生主体地位，真正把握数学本质，才能在教学过程中彰显知识的育人价值，激发学生深度探究的兴趣和意识，实现高效建构，发展数学素养.