平行线间“百变蝴蝶型”面积问题的思考

张国川 任晓红

为体现义务教育数学课程的整体性与发展性，根据学生数学学习的心理特征和认知规律，将九年义务教育数学学习时间划分成四个学段.小学生在一所学校完整地学习完六年一贯制的整体课程，初高中由于升学原因导致中学课程割裂明显.随着国家对拔尖创新人才培养的探索，发现割裂数学学段之间的联系对学生的发展极为不利，因此必须整合中学数学课程，有序推进一体化教学.本文中以一道中考数学压轴题为例，谈谈如何根据一体化教学要求开展解题教学，依据不同学段学生认知水平的差异，给出同一试题的不同解法，引导学生用整体观、统一观正确看待中学数学一体化教学［1］.

3 解法提炼

本题在动点E移动的过程中，线段CE，BE的长度比恰好等于△ABE与△CEF的相似比，很自然联想到线段的定比分点，因此得到解法1；运动的两个三角形始终保持CE+BE=4，基于此可设单变量t，并用t表示线段CE，BE的长度，再联立方程得到点F的坐标，从而求出△ABE与△CEF面积之和，得到解法2；本题是三角形面积问题，观察图形发现，求面积选用△ABE与△CEF的对顶角作为夹角比较合适，设∠AEO=θ，则夹角就是π－θ，计算面积时约去未知量θ实现设而不求，这是解法3.

解法1～3用坐标法求面积，将几何问题代数化；解法4利用“共边定理”和相似三角形的性质，是几何直观解法［2］；解法5基于《大学先修课程》用行列式计算三角形的面积［3］，根据解法1求出的三角形的顶点坐标，用行列式求面积水到渠成.

4 结束语

上述中考压轴题很接地气，非常契合当下高中教学的需要，以函数为载体，以抛物线为背景，设置“蝴蝶型”面积计算问题，充分考查学生分析问题和解决问题的能力.试题为学生进一步学习高中数学打牢基础，避免初高中教学脱钩，实现不同学段教学一体化.

文中给出的解法将高中直线平行的充要条件、基本不等式、三角形的面积等内容适时进行初等化处理，合理等价化归.作为教学探索，笔者希望引导学生自主思考，从不同视角研究问题，聚焦几何直观等关键能力，发展分析问题和解决问题素养，创新性地给出问题解决的方案.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］任晓红，张国川.高观视角赏胜景 直观教学能致远［J］.福建中学数学，2022（4）：20-22.

［3］张国川，任晓红.解三角形“圆”来如此精彩［J］.福建中学数学，2022（9）：38-40.