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平行线间“百变蝴蝶型”面积问题的思考

2024-06-21张国川任晓红

中学数学·初中版 2024年5期
关键词:中学数学数学课程线段

张国川 任晓红

为体现义务教育数学课程的整体性与发展性,根据学生数学学习的心理特征和认知规律,将九年义务教育数学学习时间划分成四个学段.小学生在一所学校完整地学习完六年一贯制的整体课程,初高中由于升学原因导致中学课程割裂明显.随着国家对拔尖创新人才培养的探索,发现割裂数学学段之间的联系对学生的发展极为不利,因此必须整合中学数学课程,有序推进一体化教学.本文中以一道中考数学压轴题为例,谈谈如何根据一体化教学要求开展解题教学,依据不同学段学生认知水平的差异,给出同一试题的不同解法,引导学生用整体观、统一观正确看待中学数学一体化教学[1].

3 解法提炼

本题在动点E移动的过程中,线段CE,BE的长度比恰好等于△ABE与△CEF的相似比,很自然联想到线段的定比分点,因此得到解法1;运动的两个三角形始终保持CE+BE=4,基于此可设单变量t,并用t表示线段CE,BE的长度,再联立方程得到点F的坐标,从而求出△ABE与△CEF面积之和,得到解法2;本题是三角形面积问题,观察图形发现,求面积选用△ABE与△CEF的对顶角作为夹角比较合适,设∠AEO=θ,则夹角就是π-θ,计算面积时约去未知量θ实现设而不求,这是解法3.

解法1~3用坐标法求面积,将几何问题代数化;解法4利用“共边定理”和相似三角形的性质,是几何直观解法[2];解法5基于《大学先修课程》用行列式计算三角形的面积[3],根据解法1求出的三角形的顶点坐标,用行列式求面积水到渠成.

4 结束语

上述中考压轴题很接地气,非常契合当下高中教学的需要,以函数为载体,以抛物线为背景,设置“蝴蝶型”面积计算问题,充分考查学生分析问题和解决问题的能力.试题为学生进一步学习高中数学打牢基础,避免初高中教学脱钩,实现不同学段教学一体化.

文中给出的解法将高中直线平行的充要条件、基本不等式、三角形的面积等内容适时进行初等化处理,合理等价化归.作为教学探索,笔者希望引导学生自主思考,从不同视角研究问题,聚焦几何直观等关键能力,发展分析问题和解决问题素养,创新性地给出问题解决的方案.

参考文献:

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2022年版)[S].北京:北京师范大学出版社,2022.

[2]任晓红,张国川.高观视角赏胜景 直观教学能致远[J].福建中学数学,2022(4):20-22.

[3]张国川,任晓红.解三角形“圆”来如此精彩[J].福建中学数学,2022(9):38-40.

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