巧用图示建构模型

李继红 王好

《怎样通知最快》是人教版数学五年级下册“综合与实践”领域的教学内容，旨在引导学生进一步体会数学与生活的密切联系和优化思想在生活中的应用，以提高运用数学知识解决实际问题的能力。教学中，教师如何利用学生熟悉的生活情境，通过画图、填表等方式引导学生发现事物隐含的规律，找到打电话通知的最优方法？如何渗透数形结合思想，培养学生借助图形解决问题的意识？如何设计实践探究过程，引导学生感受数量呈几何倍数增长的情况，对“怎样通知最快”作出合理推断和解释？本期，我们讨论如何更好地教学《怎样通知最快》。

《怎样通知最快》主要探讨“倍增问题”，是继“烙饼问题”“沏茶问题”之后又一次向学生渗透运用统筹思想解决实际问题的内容，旨在培养学生解决问题的综合能力，加深学生对优化思想的体悟。

一、多样图示，用数学眼光辨识信息

用数学视角发现关键信息，思考问题与已知信息之间的联系，有助于我们发现问题背后的数学本质。教师可以引导学生用图示表征思考过程，让思维可视化助力学生理解问题情境。

课始，笔者创设以下问题情境：“一个应急小队接到紧急任务，队长需要尽快将任务通知到3名队员。任务必须一对一进行传达，每分钟通知1人，请你帮助队长设计一个最快的通知方案。”笔者要求学生自主探究，并用图示把通知方案表示出来。全班交流、展示环节，笔者呈现学生设计的如下3种方案（如图1）。

笔者引导：方案2与方案1和方案3相比，节省了1分钟，这1分钟省在哪里？学生发现第2分钟处有变化：方案1和方案3在第2分钟只通知了1个人，而方案2通知了2个人。笔者顺势追问：为什么方案2在第2分钟能通知2个人呢？学生讨论后得出：一个一个地通知，会有人空闲，浪费了时间；只有每分钟每个人都不空闲，才能节省时间。

以上教学，笔者通过多样的图示呈现不一样的思维成果，达到化繁为简的教学效果，让学生初步认识优化思想。

二、多阶联系，用数学思维串联模型

课堂上，教师要关注学生建构数学模型的过程，引导学生在沟通与联系中逐步建构模型。这种连贯而有梯度的思考有利于学生深度学习。本节课，笔者紧扣问题的核心设计了以下三个活动，引导学生有层次地感悟“倍增”的本质。

活动一：图形联系算式，感知数学符号的魅力

课堂上，笔者引导：像方案2这样打电话，队长和队员都不空闲，3分钟能通知几个人呢？请用图示的方法表示出打电话的过程。学生独立画示意图（如图2）。

笔者结合上图追问学生：第3分钟是怎样通知的？第3分钟新接到通知的有几人？为什么是4人，而不是5人或6人？知道消息的总人数是几人？一系列的问题驱动学生深入思考“倍增”的过程。接着，笔者引导学生思考能否用一个算式表示这3分钟通知到的总人数。一名学生回答：第1分钟接到电话的有1人，第2分钟接到电话的有2人，第3分钟接到电话的有4人，所以用“1+2+4=7”得出3分钟通知7人。另一名学生用“2×2×2-1=7”得出同样的答案，并说明减去的1人是队长。

基于以上经验，笔者提出进阶问题：第4、第5分钟能通知几个人？在图中怎样表示？学生回答：第4分钟的时候可在图2的外面再画一圈，正好是8个人（如图3）。学生列出不同算式：1+2+4+8=15（人）；2×2×2×2-1=15（人）；4×4-1=15（人）。对于第5分钟接到电话的人数，学生画图时发现人数又翻了一倍。

活动二：平面联系三维，体会数学模型“生长”的规律

笔者再次引导：你们有没有在图中表示出第5分钟接到电话人数的好方法？经过思考、讨论，学生的思维有了突破，他们猜想可以在图3的基础上再加一层，形成一个长方体样态的图示。此时，笔者出示图4。

学生受到启发后很快发现，第6分钟的人数可以在这个长方体图示上再加一层。此时，笔者出示长方体累加模型。依此类推，学生发现以后的每一分钟都可以在前一分钟的基础上加上一层相同的立体图示。后续，通过回顾模型建构的过程，学生的数学思维逐步进阶，模型逐步成型。

活动三：模型联系表格，发现数学规律生成的过程

有了模型做支架，笔者引导学生试着填如下表格，依次记录第1～第5分钟新接到通知的队员数和接到通知的队员总数，并让学生说一说有什么发现，按照这个规律，第6分钟新接到通知的有几人，为什么？怎样列式计算？第6分钟接到通知的总人数是多少？（1+2+4+8+16+32=63人）

借助表格，模型中数据倍增的规律通过数学符号有序呈现出来，让学生对“几何级数的增长”有了初步体验。

三、多维优化，用数学语言解释本质

得出结论之后，笔者问学生能否看懂教材上的三种打电话方案。学生发现：第一种是队长一个人打电话，第二种是队长调动组长打电话，第三种则是调动每个人打电话。笔者又问学生能否为三种方案分别取一个合适的名称。学生想到了“队长打”“分组打”“人人打”三种名称。笔者让学生比较这三种打电话方案，思考为什么通知时间会变短。学生思考后明确：从一个人打电话到少数人打电话，再到全员打电话，时间当然会缩短；只有当打电话的权力不再集中在一个人或少数人的手中，每个人都打电话，才是最优策略。

笔者有意识地通过“打电话”问题的教学，渗透民主、平等的思想，并引导学生思考相似的生活实例。学生思维敏捷，举出了很多生活中的例子，如浮萍的生长、细胞的分裂、病毒的传播、核裂变反应、谚语“一传十，十传百”等。这些例子都与本课的核心思想契合，学生由此更加深刻地感受到数学与生活的密切联系，提升了用优化的数学眼光看待问题的素养。

（作者单位：武汉经济技术开发区三角湖小学）

责任编辑  张敏