导电矩形薄板的磁弹性超谐-内联合共振

收稿日期：2022-05-07""" 修回日期：2022-11-08

基金项目：河北省自然科学基金资助项目（No.A2020203007）；河北省教育厅科学技术研究项目（No.BJ2019209）；唐山市科技创新团队培养计划项目（No.21130205D）；唐山市人才资助项目（No.A202203031）

通信作者：胡宇达，教授。E-mail： huyuda03@163.com

引用格式：

李晶，胡宇达，高崇一. 导电矩形薄板的磁弹性超谐-内联合共振［J］.应用力学学报，2024，41（3）：673-681.

LI Jing，HU Yuda，GAO Chongyi. The combined resonance of superharmonic resonance and internal resonance of conductive rectangular thin plate［J］.Chinese journal of applied mechanics，2024，41（3）：673-681.

文章编号：1000-4939（2024）03-0673-09

摘" 要：研究横向磁场中矩形薄板在外激励作用下的超谐波共振和1∶3内共振的联合共振问题。针对一边固定三边简支的矩形薄板，利用Galerkin积分法得到两自由度非线性振动微分方程组。采用多尺度法求解，得到前两阶模态的幅频响应方程组。通过算例，得到系统发生超谐-内联合共振时前两阶响应幅值与各参数关系的曲线图，讨论了外激励幅值、磁场强度等参数对系统振动的影响。结果表明，考虑内共振时高阶模态被间接激发，系统存在着能量的交换，调节磁场强度可控制系统的共振。

关键词：磁弹性；矩形薄板；超谐波共振；内共振；多尺度法

中图分类号：O442；O322" 文献标志码：A

DOI：10.11776/j.issn.1000-4939.2024.03.021

The combined resonance of superharmonic resonance and internal

resonance of conductive rectangular thin plate

LI Jing 1，2，HU Yuda 2，GAO Chongyi 1

（1.Key Laboratory of Intelligent Equipment Digital Design and Process Simulation of Hebei Province，

Tangshan University，063000 Tangshan，China；2.Key Laboratory of Mechanical Reliability for Heavy Equipment

and Large Structures of Hebei Province，Yanshan University，066004 Qinhuangdao，China）

Abstract：The combined resonance of superharmonic resonance and 1∶3 internal resonance of a rectangular thin plate in transverse magnetic field is studied.For the rectangular thin plate with one side fixed and three sides simply supported，the two degree of freedom nonlinear vibration differential equations are obtained by the Galerkin method.Then the multiple-scale method is employed to solve equations，and amplitude frequency response equations of the first two modes are obtained.Through calculation examples，the relationship between the first two order response amplitudes and parameters when superharmonic internal resonance occurs in system is obtained，in which the influence of parameters e.g.，external excitation amplitude and magnetic field intensity on the vibration of system is discussed.The results show that the high-order modes are indirectly excited when internal resonance is considered，and there is energy exchange in the system，and the resonance of system can be controlled by changing the magnetic field intensity.

Key words：magneto-elastic；rectangular thin plate；superharmonic resonance；internal resonance；the method of multiple scales

随着航空航天、核工业、磁悬浮运输、机电动力系统及大型水利水电工程等现代科技领域的快速发展，电磁弹性力学理论及其应用的研究被广泛关注。国内外学者对此做了很多研究性工作，取得了一定的成果［1-4］。对于非极化、非磁化的良导体材料在电磁场、机械场等多场耦合条件下的振动问题也得到了很多学者的关注。文献［5］在基尔霍夫假设的基础上，由一般边界条件的奇异积分微分方程的解研究了纵向磁场中导电板的振动问题。文献［6］研究了几何非线性、有限导电、各向同性弹性板条在轴向磁场中的振动行为。文献［7］研究了在均匀磁场中薄板的振动及稳定性问题。文献［8］分析了磁场、温度场作用下圆柱壳的弯曲和自由振动问题。文献［9］对矩形薄板的亚谐波共振及稳定性问题进行了详尽研究。

当矩形板满足一定的尺寸比和特定的边界条件时，其固有频率之间可能存在某种比例关系，此时模态间的内共振可能被激发，导致能量在不同模态间的转换［10］。文献［11］利用多尺度法分别得到了屈曲梁1∶1和1∶3内共振条件下系统发生组合参数共振时关于振幅和相位的调制方程，并对周期解的稳定性进行了分析，得到了不同内共振条件下的动力响应图。文献［12］在1∶1内共振和横向简谐激励情况下，利用多尺度法研究了简支矩形金属板的非线性振动问题。文献［13］对运动柔性梁在3∶1内共振下的非线性动力学行为进行了研究。文献［14］研究了土木工程中索拱组合结构的1∶1 内共振及其参数影响。文献［15］研究了磁场中轴向运动梁的主-内联合共振问题。

现有文献中关于内共振存在系统的非线性振动问题中没有考虑磁场环境的影响，而磁场环境下薄板的非线性振动问题中考虑模态之间内共振影响的也并不多见。故在文献［16-17］的基础上，本研究将进一步对磁场中的矩形薄板的超谐波共振与内共振的联合共振问题进行研究。

1" 横向简谐力作用矩形薄板的振动微分方程

1.1" 振动微分方程

图1所示外加横向磁场B0（0，0，B0z）环境中运动的导电矩形薄板，基于基尔霍夫基本假设，在机械场与电磁场的相互耦合作用下，由虚功原理，仅考虑横向变形并忽略转动惯性力的影响，可得到矩形薄板的非线性磁弹性振动方程［9］，即

2Mxx2+2Myy2+22Mxyxy+xNxwx+Nxywy+

yNywy+Nxywx+mxx+myy+

Fz+Pz

=ρh2wt2（1）

式中：Nx、Ny、Nxy为中面内力；Mx、My、Mxy为弯曲内力；Pz为机械载荷；Fz为电磁力；mx、my为电磁力矩；ρ为材料密度；h为板厚；t为时间变量。

magnetic field

由电动力学理论可以推得横向磁场作用下导电薄板单位面积上所受的电磁力和电磁力矩表达式为［17］

Fz=0（2）

mx=σh312B20z2wtx（3）

my=σh312B20z2wty（4）

式中，w为沿坐标z方向的中面位移分量。

研究横向磁场环境中横向简谐力PZ=F0cosΩ0t（F0为外激励幅值，Ω0为外激励频率）作用的一边固定三边简支的导电矩形薄板，将几何方程、物理方程［17］以及电磁力、电磁力矩的表达式代入振动方程（1）中，忽略u、v的影响，可推得矩形板的非线性振动微分方程为

－DMSymbolQC@4w+DN23wx22wx2+3wy22wy2+

4wxwy2wxy+wy22wx2+wx22wy2+

σh3B20z12t2wx2+2wy2－ρh2wt2+PZ=0（5）

式中：DN=Eh1－ν2为拉伸刚度；DM=Eh312（1－ν2）为弯曲刚度；E为弹性模量；ν为泊松系数；算子SymbolQC@4=4x4+24x2y2+4y4。

1.2" 多尺度法近似求解

对于图1所示一边固定三边简支矩形板，满足边界条件的位移解为［18］

w（x，y，t）=∑2n=1Pn（t）Xn（x）sinπyb（6）

式中， Xn=coshβnx－cosβnx－Cn（sinhβnx－sinβnx），Cn=coshβna+cosβnasinhβna+sinβna，βn=（4n+1）π4a。

将位移函数代入并采用伽辽金法进行积分，可得无量纲化的矩形薄板的横向振动微分方程，即

q··1τ+ω21q1τ

=－g21q2τ+c11q·1τ+c21q·2τ－η11q31τ－

η21q32τ+s11q1τq22τ+s12q21τq2τ+

f1cosΩτ（7）

q··2τ+ω22q2τ

=－g22q1τ+c22q·2τ+c12q·1τ－η22q32τ－

η12q31τ+s22q21τq2τ+

s21q1τq22τ+

f2cosΩτ

（8）

式中，qn=Pnh，k21=DMM11ρhA11－2π2DMC11ρhb2A11+π4DMb4ρh，

k22=DMM22ρhA22－2π2DMC22ρhb2A22+π4DMb4ρh，ωn=k1k2，

ω1=k1/ωn，ω2=k2/ωn，Ω=Ω0/ωn，τ=ωnt，c11=σh2B20z12ρωnC11A11－π2b2，c22=σh2B20z12ρωnC22A22－π2b2，c12=σh2B20zC1212ρA22ωn，c21=σh2B20zC2112ρA11ωn，ai1=π2hDN8ρb2Aiiω2n，

ai2=9hDN8ρb2Aiiω2n，fi=4EiF0πρhAiiω2n，

g21=DM（b4M21－2b2π2C21+π4A21）ρhb4A11ω2n，

g22=DM（b4M12－2b2π2C12+π4A12）ρhb4A22ω2n，

ηni=ai2πb4Hni－ai1（Bni+Dni）－ai2Fni，

si1=ai1（S1i+2K1i）+ai1（S2i+2K2i）+ai2（S3i+

2K3i）－ai2πb4Q1i，

si2=ai1（S4i+2K4i）+ai1（S5i+2K5i）+ai2（S6i+2K6i）－ai2πb4Q2i，系数Ani、Bni、Cni、Dni、Fni、Ei、Hni、Mni、Qni、Sji、Kji（i=1，2；n=1，2；j=1，2，…，6）同文献［17］。

当外激励频率与系统一阶模态的固有频率的1/3近似相等时，系统发生超谐波次共振，若同时存在1∶3内共振，此时系统将发生超谐波与内共振的联合共振现象。

为了研究矩形薄板的超谐波与内共振的联合共振问题即Ω≈13ω1，考虑硬激励情况，引入小参数ε，则式（7）、（8）可以转化为

q··1τ+ω21q1τ

=－εg～21q2τ+εc～11q·1τ+εc～21q·2τ－""""" εη～11q31τ－εη～21q32τ+εs～11q1τq22τ+

εs～12q21τq2τ+f1cosΩτ（9）

q··2τ+ω22q2τ

=－εg～22q1τ+εc～22q·2τ+εc～12q·1τ－

εη～22q32τ－εη～12q31τ+εs～22q21τq2τ+

εs～21q1τq22τ+f2cosΩτ（10）

式中，g～2i=g2iε，c～ij=cijε，η～ij=ηijε，s～ij=sijε，（i=1，2，j=1，2）。

利用多尺度法对微分方程组进行求解，将方程（9）和（10）的近似解表示为

q1=q11T0，T1+εq12T0，T1 （11）

q2=q21T0，T1+εq22T0，T1（12）

式中：T0=τ为慢变时间尺度；T1=ετ为快变时间尺度。

将式（11）、（12）代入到方程（9）、（10）中，展开后令

ε

的同次幂项系数相等，得到各阶近似的线性偏微分方程组，即

ε：D20q11+ω21q11=f1cosΩτ（13）

D20q21+ω22q21=f2cosΩτ（14）

ε1：D20q12+ω21q12

=－2D0D1q11－g～21q21+c～11D0q11+

c～21D0q21+η～11q311+η～21q321+s～11q11q221+

s～12q21q211+f～1cosΩτ（15）

D20q22+ω22q22

=－2D0D1q21－g～22q11+c～22D0q21+

c～12D0q11+η～22q321+η～12q311+s～21q11q221+

s～22q21q211+f2～cosΩτ （16）

设方程（13）和方程（14）的通解为

q11=A1T1expiω1T0+

Λ1expiΩT0+c*（17）

q21=A2T1expiω2T0+Λ2expiΩT0+c*（18）

式中，Λn=12fn（ω2n－Ω2）－1，n=1，2，c*为前面两项的共轭复数。

将零次近似解代入到方程（15）～（16）中，得

D20q12+ω21q12=（－2iω1A′1+c～11iω1A1+3η～11A21A-1+

6η～11A1Λ21+2s～11A1A2A-2+2s～11A1Λ22+

4s～12A1Λ1Λ2）exp（iω1T0）+

s～12A-21A2expiω2－2ω1T0+

η～11Λ31+η～21Λ32+s～11Λ1Λ22+

s～11Λ2Λ21exp（3iΩT0）+NST（19）

D20q22+ω21q22=－2iω2A′2+c～22iω2A2+3η～22A22A-2+

6η～22A2Λ22+4s～21A2Λ1Λ2+2s～22A1A-1A2+

2s～22Λ21A2expiω2T0+

η～12A31exp3iω1T0+NST（20）

式中：A′1、A′2表示A1、A2对T1的导数；NST为与消除久期项无关的省略项。

当外激励频率接近于系统一阶模态固有频率的1/3时，系统将发生超谐波共振，由于内共振的存在，系统会发生超谐波共振与内共振的联合共振。

设前两阶模态的固有频率满足

ω2=3ω1+εσ1（21）

外激励无量纲化的固有频率与一阶模态固有频率满足

3Ω=ω1+εσ2（22）

为了避免出现久期项，A1、A2需要满足以下条件。

－2iω1A′1+c～11iω1A1+3η～11A21A-1+2s～11A1A2A-2+

6η～11A1Λ21+2s～11A1Λ22+4s～12A1Λ1Λ2+

s～12A-21A2exp（iσ1T1）+（η～11Λ31+η～21Λ32+

s～11Λ1Λ22+s～12Λ2Λ21）exp（iσ2T1）=0（23）

－2iω2A′2+c～22iω2A2+3η～22A22A-2+2s～22A1A-1A2+

6η～22A2Λ22+2s～22Λ21A2+4s～21A2Λ1Λ2+

η～12A31exp-iσ1T1=0（24）

由式（23）和（24）可知，A1、A2均不衰减。

将一次近似解写成复数形式，即

Am=12amT1expiθmT1" （m=1，2） （25）

将式（25）代入式（23）及（24）并将实部和虚部分离，得到

8ω1a′1=4ω1c～11a1+s～12a21a2sinγ1+8F1sinγ2（26）

8ω2a′2=4ω2c～22a2－η～12a31sinγ1（27）

8ω1γ′1a1=8ω1σ2+3η～11a21+2s～11a22+8H11a1+

s～12a21a2cosγ1+8F1cosγ2

（28）

8ω2γ′2a2=8ω2a2σ1－3σ2+24ω2a2γ′2－8H22a2－

3η～22a22+2s～22a21a2－η～12a31cosγ1（29）

式中，γ1=θ2－3θ1+σ1T1，γ2=σ2T1－θ1，

F1=8η～11Λ31+s～11Λ1Λ22+s～12Λ21Λ2+η～22Λ32，

H11=3η～11Λ21+2s～12Λ1Λ2+s～11Λ22，

H22=3η～22Λ22+2s～21Λ1Λ2+s～22Λ21。

对于稳态响应， a′1=0、a′2=0、γ′1=0、γ′2=0，可得幅频响应方程组，即

16c～22ω22a22+［8（3σ2－σ1）ω2+8H22+

3η～22a22+2s～22a21］2a22－η～212a61=0（30）

4c～22s～12ω2a22+4c～11η～12ω1a212+

{s～12a22［8（3σ2－σ1）ω2+8H22+3η～22a22+

2s～22a21］－η～12a21（8ω1σ2+8H11+

3η～11a21+2s～11a22）}2－η～212F21a21=0（31）

由此可通过方程组（30）～（31）得到系统超谐-内共振时响应幅值随各参数变化关系。

1.3" 稳定性分析

通过式（27）～（30）分析系统稳态运动下解的稳定性，设

a1=a10+a11，" a2=a20+a21γ1=γ10+γ11，" γ2=γ20+γ21（32）

式中，a10、a20、γ10、γ20为定常解，a11、a21、γ11、γ21为小的摄动量。

将（32）式代入到方程组（26）～（29），按a11、a21、γ11、γ21展开并保留到a11、a21、γ11、γ21的线性项，得

a′11=c～112+s～124ω1a10a20sinγ10a11+

s～128ω1a210sinγ10a21+s～128ω1a210a20cosγ10γ11+

F1ω1cosγ20γ21

（33）

γ′11=9η～11a104ω1+3s～12a208ω1cosγ10－3Fcosγ208ω1a210－

s～22a102ω2－η～12a2104ω2a20a11+3s～11a202ω1+3s～12a108ω1cosγ10－

3η～22a204ω2+η～12a3108ω2a220cosγ10a21+η～12a3108ω2a20sinγ10－

3s～12a10a208ω1sinγ10γ11－3F1ω1a10sinγ20γ21 （34）

a′21=－3η～12a2108ω2sinγ10a11+c～222a21－

η～12a3108ω2cosγ10γ11

（35）

γ′21=3η～11a104ω1+s～12a208ω1cosγ10－F8ω1a210cosγ20a11+

s～11a202ω1+s～12a108ω1cosγ10a21－

s～12a10a208ω1sinγ10γ11－F1ω1a10sinγ20γ21

（36）

稳态解的稳定性由式（33）～（36）右边系数矩阵的特征值来决定。根据Routh-Hurwitz判据可以判定系统稳态解的稳定性，即式（33）～（36）对应的特征方程的特征根都具有负实部时，定常解是稳定的。

2" 算例分析

以处在横向恒定磁场中的铝制矩形薄板为例进行算例分析。给定主要参数：材料电导率σ=3.63×107（Ω·m）－1，密度ρ=2670kg/m3，泊松系数ν=0.34，弹性模量E=71GPa，矩形板尺寸a=0.6m，b=1.2m。在给定参数下，系统前两阶模态无量纲化的固有频率为ω1=0.577，ω2=1.733，ω1/ω2≈1∶3。

2.1" 振幅随调谐参数变化规律

图2与图3为F0=5000N/m2，h=3mm时在不同的磁场强度下，系统前两阶模态幅值随调谐参数变化的幅频响应曲线图。当外激励固有频率与一阶模态固有频率的1/3相接近时，一阶模态直接被外激励激发，幅值急剧增大。由于内共振的存在使得二阶模态也被间接激发，通过对比可以发现，共振发生时，一阶模态幅值明显高于二阶模态的幅值。两阶模态的幅频响应曲线均向右弯曲，呈现出硬特性，且由于曲线的弯曲导致了振幅的多值性，从而产生跳跃性现象，稳态解的个数由1个过渡到3个。在多值区域内，实际的结果与系统的初始条件有关。图中εσ2=0.15时细实线与B0z=0T对应的曲线由上至下交于A1、B1、A2，其中Ai为稳定解，Bi为不稳定解。

磁场强度越小，幅频响应曲线越复杂，当一阶模态的响应幅值变小时，二阶模态的响应幅值相应的变大。随着磁场强度的增加，系统一、二阶共振响应的最大幅值均变小，同时模态响应的共振区域和多值区域也随之变窄，当磁场强度超过一定值时，多值区域将会消失。

图4及图5为磁场强度B0z=0.5T，板厚h=3mm时，不同外激励幅值作用下，系统前两阶模态响应的共振幅值随调谐参数变化规律曲线图。一阶模态和二阶模态的幅频响应曲线仍然呈现多值性和跳跃性。可以看出当磁场强度一定时，随着外激励幅值的增加，共振区域变宽且曲线弯曲程度变大，同一调谐参数对应的响应最大幅值随之减小。由此可见，当外激励幅值增大至一定值后，有效共振区域内均为单值区间。

2.2" 振幅随磁场强度变化规律

图6和图7给出了不同调谐参数下，系统模态幅值随磁场强度变化曲线图（F0=9000N/m2，h=3mm）。

此时，系统的两阶模态均被激发，当磁场方向发生改变时，曲线图关于B0z=0T呈现出对称性。当调谐参数εσ2＜0.16时，模态幅值稳态解的个数只有一个且在磁场强度比较小的范围内模态幅值变化不大，磁场强度超过某一值时，模态幅值突然下降，磁场抑制了振动模态幅值。

随着调谐参数的增大，曲线发生内缩且幅值缓慢增大，当εσ2=0.17543时，曲线内缩至上部呈现出一个封闭椭圆，εσ2＞0.17543时，封闭椭圆从曲线中分离并逐渐升高，曲线出现多值和跳跃现象。图6（a）中细实线与εσ2=0.17对应的曲线由上至下交于A1、B1、A2，其中Ai为稳定解，Bi为不稳定解。

图8和图9为调谐参数εσ2=0.17，h=3mm时，不同外激励幅值下，系统模态幅值随磁场强度变化曲线图。曲线仍以B0z=0T为对称轴呈现出对称性，且随着外激励幅值的增加封闭椭圆逐渐下移与下侧曲线相切，随后变为一条内缩曲线，最终当外激励幅值增大到一定值时，多值区域消失，变为单值曲线。

将图6～9中稳态解个数发生改变的临界点找到，绘制出系统幅值解的区域图，如图10所示。

k1和k2将整个区域分成3个部分，其中Ⅰ、Ⅲ两个区域中幅值解的个数为1个，均为稳定解；Ⅱ区域中系统幅值解的个数为3个，其中2个为稳定解，1个为非稳定解，取决于系统的初始条件。可以看出，调谐参数和外激励幅值变化时，磁场强度的改变会影响系统幅值稳态解的个数。随着调谐参数的增加，系统的多解区域对应的磁场强度减小，多值区域也变窄；而随着外激励幅值的增加，幅值多解所需的磁场强度增加，当外激励幅值增大到一定值时，多值区域消失。

2.3" 振幅随外激励幅值变化规律

图11～12呈现了调谐参数εσ2=0.2，h=3mm时，不同磁场强度下系统前两阶模态响应的幅值随外激励幅值的变化规律。

由于内共振的存在，两阶响应均产生共振，曲线向左弯曲，呈现软特性并伴随多值和跳跃现象。随着磁场强度增大，共振区域右移，多值区域变窄，模态响应幅值降低。一阶模态响应幅值明显大于二阶模态响应幅值，系统振动主要由低阶模态呈现。

2.4" 动态响应曲线

对磁场中受外激励作用的矩形导电薄板无量纲化的振动微分方程（8）和（9）直接进行数值求解。

图13为εσ2=0.02，F0=8000N/m2，B0z=0.2T时系统振动的局部时程图，此时系统为稳定的单倍周期运动。

与主-内联合共振［17］相似，前两阶模态响应呈现此消彼长，始终存在着能量的交换，是内共振使得一阶模态和二阶模态之间相互耦合，且二阶模态响应幅值小于一阶模态响应幅值，二阶模态的振动频率约为一阶模态振动频率的3倍。

3" 结" 论

本研究以横向恒定磁场中一边固定三边简支的矩形导电薄板为例，研究了系统三次超谐波共振和1∶3内共振的联合共振问题。采用多尺度法得到了内、外联合共振时系统幅频响应方程组。得到以下结论。

1）当系统发生超谐-内联合共振时，系统一阶模态被激发，由于内共振的作用二阶模态也被间接激发，一阶模态响应强于二阶模态响应，且系统能量在两阶模态间不断交换。

2）系统的幅频响应曲线出现了单值区间和多值区间，并存在跳跃性的非线性特质，磁场强度、外激励幅值等参数的改变会使系统的共振区域及稳态解的个数发生改变。

3）磁场强度、外激励幅值等参数的变化会影响共振幅值，可以通过调节参数达到控制系统振动的目的。

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（编辑" 张璐）