EPDM非线性力学行为及其拉伸速率特性研究

收稿日期：2021-11-01""" 修回日期：2022-12-06

基金项目：国家自然科学基金资助项目（No.51805347）；山西省基础研究计划资助项目（No.20210302124444）；中国博士后科学基金资助项目（No.2019M661058）；山西省高等学校科技创新项目（No.2019L0635）

通信作者：

张正。E-mail：598717937@qq.com

引用格式：

李占龙，任国祥，王瑶，等.EPDM非线性力学行为及其拉伸速率特性研究［J］.应用力学学报，2024，41（3）：666-672.

LI Zhanlong，REN Guoxiang，WANG Yao，et al.Study on EPDM nonlinear mechanical behavior and tensile rate characteristic［J］.Chinese journal of applied mechanics，2024，41（3）：666-672.

文章编号：1000-4939（2024）03-0666-07

摘" 要：为研究三元乙丙（ethylene propylene diene monomer，EPDM）力学行为的拉伸速率依赖性，分别开展了拉伸速率为3、30、300、500mm/min下EPDM的单轴拉伸实验，分析了EPDM非线性力学行为规律及其拉伸速率特性。基于分数阶Kelvin-Vogit模型、ZWT模型和OGDEN模型，对应变160%时不同拉伸速率的实验曲线进行了拟合，对比研究了模型的表征能力。结果表明，EPDM全程加载曲线呈典型“S”型，具有显著的非线性迟滞特性，且拉伸速率越大迟滞环面积越大，阻尼损耗能力越强；在应变大于68%阶段，EPDM力学行为的拉伸速率特性显著，并呈现硬化现象。分数阶Kelvin-Vogit模型和OGDEN模型适用于EPDM在低拉伸速率下、应变低于68%阶段黏弹性材料的力学行为的表征；ZWT模型适用于EPDM在高拉伸速率下应变高于100%阶段黏弹性材料的力学行为的表征，且ZWT模型在低拉伸速率下也具有较好的拟合效果。研究结果可为EPDM制品的性能评估及优化提供有益参考。

关键词：EPDM；黏弹性；拉伸速率；迟滞

中图分类号：TB324" 文献标志码：A

DOI：10.11776/j.issn.1000-4939.2024.03.020

Study on EPDM nonlinear mechanical behavior and tensile rate characteristic

LI Zhanlong，REN Guoxiang，WANG Yao，QIN Yuan，ZHANG Zheng

（Mechanical Engineering College，Taiyuan University of Science and Technology，030024 Taiyuan，China）

Abstract：In order to study the tensile rate dependence of EPDM mechanical behavior，uniaxial tensile tests of EPDM at 3mm/min，30mm/min，300mm/min and 500mm/min were carried out，respectively.The nonlinear mechanical behavior laws and tensile rate characteristics of EPDM were analyzed.Based on the fractional-order Kelvin-Vogit，ZWT and OGDEN models，the experimental curves of different tensile rates at 160% strain were fitted，and the characterization ability of the models was compared and studied.The results show that the whole loading curve of EPDM presents a typical “S” shape，and has significant nonlinear hysteresis characteristics.The larger the tensile rate，the larger the area of hysteresis loop，and the stronger the damping loss capacity.When the strain is greater than 68%，the tensile rate has a significant effect on the mechanical properties of EPDM，and hardening occurs.The fractional Kelvin-Vogit and OGDEN models are suitable for the characterization of mechanical behavior of viscoelastic materials of EPDM when the strain is less than 68% at a low tensile rate，while the ZWT model is suitable for the characterization of mechanical behavior of viscoelastic materials of EPDM when the strain is more than 100% at a high tensile rate.The ZWT model also has a good fitting effect at low tensile rate.The results can provide a useful reference for the performance evaluation and optimization of EPDM products.

Key words：EPDM；viscoelasticity；uniaxial stretching；hysteresis

三元乙丙（ethylene propylene diene monomer，EPDM）具有密度小、耐老化、耐热以及相容性好等特点，广泛应用于航空火箭、电子电器和汽车工业领域［1-2］，尤其是在固体火箭发动机中，常用来作为保护发动机的绝热包覆层。EPDM的力学行为特性非常复杂，应力不仅与温度、加载速率、应变存在非线性关系，还与变形过程相关［3］。因此，需要在不同的工况下来对其力学行为进行分析，其中材料的力学行为特性的准确描述是设计及优化相关制品的关键。

EPDM是典型的黏弹性材料，其力学性能介于纯弹性材料和纯黏性流体之间，其材料的力学行为特性体现出典型的非线性迟滞特性。一些学者基于分数阶微积分理论，得出了分数阶导数模型，使用分数阶导数模型可以对黏弹性材料的力学行为进行准确地描述。YIN等［4］对分数阶Zener模型进行了修正，使用该模型在不同温度下研究炭黑填充橡胶的影响，取得了较好的结果。MENG等［5］建立能够准确预测黏弹性材料变形的分数阶导数模型，并使用模型预测材料在恒定应变速率下的黏弹性行为。李占龙等［6］基于时温等效模型与分数阶Kelvin-Voigt模型构造了一种适用于宽温宽频的动态力学材料模型，并通过分数阶导数模型对参考温度的主曲线进行了验证，得到了较好结果。

DOMAN等［7］使用聚合物SHPB杆进行了橡胶材料高应变率单轴压缩实验，分析了一种修正准线性黏弹性模型和一种非线性黏弹性模型分别描述低、高应变率下的橡胶本构。朱兆祥和胡时胜等［8-9］为预测高分子材料的冲击应变率效应，提出了朱王唐（ZWT）非线性黏弹性本构模型，认为材料的动态响应可由两个松弛时间描述，分别反映材料慢变与快变特性。雷经发等［10］针对原始ZWT非线性黏弹性本构模型在描述聚氯乙烯弹性体各应变率下模型参数值不恒定的问题，依据聚氯乙烯弹性体低应变率和高应变率下的力学特性修正了原始ZWT非线性黏弹性本构模型，修正后的本构模型能够较好地描述聚氯乙烯弹性体的力学行为，并提高了该模型的应用效率。OGDEN模型是一种以主伸长量为变量的应变能密度函数，由OGDEN［11］发展而来，已被广泛应用于确定橡胶、聚合物和生物组织［12］等超弹性材料的大范围应变硬化特性。许腾飞等［13］采用了三阶OGDEN模型对橡胶试件进行有限元分析，并通过试验验证了仿真分析的正确性。综上所述，分数阶Kelvin-Voigt模型多用于研究橡胶动态变温变频时的力学性能；ZWT模型多用于研究橡胶在冲击条件下高应变率时的力学性能；OGDEN模型多用于研究橡胶动静态力学性能，相关学者还将其作为有限元分析建模的核函数［14］。虽然现有研究利用上述经典模型对某些黏弹性材料的力学行为性能进行了精确建模和验证，但其对EPDM材料的力学行为特性及其拉伸速率相关性研究鲜见报道，其适用性尚未清楚。

本研究对EPDM材料的非线性力学行为及其拉伸速率特性进行了实验研究，对比研究上述经典模型在不同应变范围内对EPDM材料的力学行为的表征精度，为EPDM制品的性能评估及优化提供有益参考。

1" 黏弹性材料本构模型

1.1" 分数阶Kelvin-Voigt模型

纯弹性材料的应力-应变关系符合胡克定律，即应变的导数为0；纯黏性流体的应力应变关系符合牛顿定律，即应变的导数为1；而黏弹性材料的力学性能介于纯弹性材料和纯黏性流体之间，即应变的导数介于0与1之间，这种模型称为Abel体［15］。

分数阶Kelvin-Voigt模型由一个胡克体元件与Abel体并联组成，如图1（a）所示。

BAGLEY和TORVIK［16］最早基于分数阶导数提出了描述黏弹性材料应力-应变关系的广义分数阶导数模型，如式（1）所示。

σ+∑Mm=1bmDαmσ=E1ε+∑Nn=1ηnDαnσ（1）

式中：σ为应力；ε为应变；E1为模量；M、N为自然数；bm、ηn为常数；αm、αn为分子分母互质的实数；Dα为Riemann-Liouville分数阶导数算子［17］，其表达式为

Dαf=m∑k=0f（k）（α）（t－α）－α+kΓ（－α+k+1）+1Γ（－α+m+1）∫t0fm+1（T）（t－T）α－mdT（2）

式中：Γ为Gamma函数；α为导数阶数，且m≤α＜m+1，m为实数。

由前述分析，α应是介于0～1之间。故令m=0，则式（2）化简为

Dαε=1Γ1－αddt∫t0εt－TαdT（3）

Γ（z）=∫SymboleB@0tz－1e－tdt，Re（z）gt;0（4）

当M=0，N=1时，式（1）转化为基于分数阶导数的Kelvin-Voigt模型［17］，即

σ=q0ε+q1Dαε（5）

式中： 0≤α≤1；q0为弹性系数，MPa；q1为黏弹性系数，MPa·s。

1.2" ZWT模型

ZWT模型由3部分构成，即1个非线性的弹簧单元和2个Maxwell单元，如图1（b）所示。其中，非线性弹簧部分描述材料静态的弹性力学响应，而两个Maxwell单元分别描述较低应变率和高应变率条件下材料的黏性力学响应。

ZWT本构方程形式为［18］

σ=C0ε+αε2+βε3+C1∫t0ε·（τ）exp－t－τθ1dτ+

C2∫t0ε·（τ）exp－t－τθ2dτ（6）

式中：C0为非线性单元的弹性常数，MPa；α为非线性单元的弹性常数，MPa；β为非线性单元的弹性常数，MPa；C1为材料在低应变率下的弹性常数，MPa；θ1为材料在低应变率下的松弛时间，μs；C2为材料在高应变率下的弹性常数，MPa；θ2为材料在高应变率下的松弛时间，μs。

在低应变率条件下，第二个Maxwell单元完全松弛。此时，本构模型可进一步简化为

σ=C0ε+αε2+βε3+C1θ1ε·1－exp－εθ1ε·（7）

由于黏弹性EPDM材料的力学行为特性与应变率有关，ZWT模型适合描述黏弹性类材料在低应变率和高应变率范围内力学行为。本研究属于低应变率范围，所以在这里使用式（7）。

1.3" OGDEN模型

OGDEN［11］模型是以主伸长量为变量的应变能密度函数，其表达式为

W=∑μnαnλαn1+λαn2+λαn3－3（8）

式中：μn，αn（n=1，2，3，…）为OGDEN模型的材料参数；μn均为正值，MPa；αn可在整个实数范围内取值。

OGDEN模型的阶数可取1～6阶，并且该理论与单轴拉伸实验数据具有良好的一致性。

TSCHOEGL等［19］讨论了应变能密度函数中项数对描述橡胶材料应力-应变曲线准确性的影响，提出为更加准确地拟合曲线“上升”段，即“S”型的应力-应变曲线，应变能函数需含有三项以上的展开式。一般情况下，三阶的OGDEN模型能够拟合更高应变范围内的应力应变，但其包含较多的未知参数，获取精确的本构模型参数，耗时比较长。有研究表明，三阶OGDEN模型与拉伸实验结果吻合较好，可真实描述出橡胶材料力学性能［13］。

2" 实" 验

采用M350-20kN Testometric力学实验机对EPDM进行单轴拉伸实验，从而获得EPDM在不同拉伸速率下的应力-应变曲线。实验依据国家标准GB/T 528—2009，选择哑铃状Ⅰ型试样（l×b×h=25mm×6mm×2mm，图2），室温为25 ℃，湿度为30%。为研究该材料在不同拉伸速率下的力学行为，设置拉伸速率分别为3、30、300、500mm/min，恢复速率均为50mm/min。测试前对试样进行预拉伸，将预拉伸过的试件安装夹具上开始测试。

实验结束后，得到EPDM的力学行为特性曲线。以3mm/min拉伸速率的实验结果为例，在该速率下依次拉伸到应变30%、50%、70%、100%、120%、160%和180%，其加载-卸载应力应变曲线如图3所示。

从图3可看出，EPDM的加载-卸载应力应变曲线呈典型的迟滞特性，且卸载曲线位于加载曲线下。原因分别是：①卸载时被拉伸的EPDM分子链有自发恢复蜷曲的趋势，但由于EPDM内摩擦阻力的原因，在卸载时不能恢复到原有状态，从而形成迟滞环；②在拉伸过程中EPDM出现了明显的Mullins效应，虽然在实验前对试样进行了预拉伸，仍难以完全消除影响；③随着拉伸次数增加，EPDM内部少量橡胶分子发生破坏，使相同应变下的应力略微下降；④应力卸载为0时，仍存在部分残余形变，且增大循环往复拉伸过程中的应变时，最大应力下降幅度和残余形变明显增加。

为进一步研究EPDM在不同拉伸速率下的力学行为特性，对应变为160%时的应力-应变曲线进行分析，如图4所示。

从图4上观察不同拉伸速率下的加载-卸载应力-应变曲线发现，全程加载曲线呈典型“S”型。在应变低于68%阶段，曲线斜率较小且近似线性；而在应变高于100%阶段，曲线斜率明显增大且具有非线性；同一应变时，拉伸速率越大，曲线斜率越大。在应变低于30%阶段，图中4条曲线应力值变化不明显，说明在应变小于30%时，拉伸速率对EPDM力学行为的影响很微弱；而在高于应变30%阶段，不同拉伸速率下的应力值变化逐渐明显，说明应变大于30%时，EPDM力学行为的拉伸速率相关性越来越显著。此外，卸载段速率均为50mm/min，4条卸载段曲线轨迹基本一致，说明经过不同拉伸速率后，EPDM的卸载力学性能变化不明显。

为进一步分析拉伸速率对EPDM材料力学性能的影响，在图4的基础上对应变为20%、30%、68%、136%和160%时的应力值随拉伸速率的变化进行分析，如图5所示。

under different strain

在应变20%、30%和68%时，拉伸时材料的分子链运动受拉伸速率影响较小，小变形阶段大部分分子链的运动能够抵消掉拉伸产生的应力；在应变136%和160%时，大变形阶段只有小部分分子链的运动能够抵消掉拉伸产生的应力，并且受拉伸速率影响，拉伸速率越快，材料内部的分子链反应速度越慢，从而表现出明显的拉伸速率依赖性。

3" 结果与讨论

EPDM材料在高应变（160%）条件下，拉伸速率为3、30、300、500mm/min时的实验曲线与分数阶Kelvin-Vogit模型、ZWT模型和OGDEN模型的拟合对比曲线见图6，其拟合参数见表1。

从图6中比较不同拉伸速率下的4条分数阶Kelvin-Voigt模型的拟合曲线可知，中低应变

（＜68%）阶段的应力值差异不明显，而高应变（＞100%）阶段，应力值差异明显；OGDEN模型和ZWT模型拟合曲线也具有同样的规律。观察不同拉伸速率下3种本构模型的拟合曲线，发现每组拉伸速率下ZWT模型和OGDEN模型的整条拟合曲线跟实验曲线吻合度较高；分数阶Kelvin-Vogit模型的拟合曲线在中低应变（lt;68%）阶段，能与实验曲线高度吻合，在高应变（＞100%）阶段，拟合曲线位于实验曲线下方。为进一步分析3种模型对EPDM的力学行为的表征效果，在图6基础上，利用式（9）分别计算了每一条曲线在应变40%、60%、80%、100%、160%范围内的拟合误差。

eavg=1n∑nj=1aj－pjaj（9）

式中：eavg为平均相对误差；aj和pj分别为第j个实验值和拟合值；n为拟合个数。得到3种模型拟合误差结果，如图7所示。

通过比较图7（a）～（e），由图7（a）可知，当应变为160%时，ZWT模型拟合误差在1%～4%，OGDEN模型拟合误差在3%～7%，而分数阶Kelvin-Vogit模型的拟合误差在

10%～15%；从图7（c）可知，当应变为80%时，ZWT模型拟合误差在2%～7%，拟合误差在拉伸速率为300mm/min时最大，且最大误差为6.87%，OGDEN模型拟合误差在6%～15%，拟合误差在拉伸速率为3mm/min时最大，且最大误差为14.53%，而分数阶Kelvin-Vogit模型的拟合误差在1.5%～10%，拟合误差在拉伸速率为30mm/min时最小，误差为1.53%，拟合误差在拉伸速率为300mm/min时最大，且最大误差为9.1%。

由上述分析并结合图7（a）～（e）可知，当应变为160%时，ZWT模型和OGDEN模型能够较好地描述EPDM在该应变时材料的力学行为；当应变为80%时，ZWT模型和分数阶Kelvin-Vogit模型都可以很好地描述EPDM在该应变时材料的力学行为；当应变为40%时，ZWT模型和分数阶Kelvin-Vogit模型都可以很好地描述EPDM在该应变时材料的力学行为。但是ZWT模型和OGDEN模型这两个模型中的参数较多，结果受参数变化影响明显。ZWT模型由于简化了方程，可通过MATLAB拟合出5个参数，拟合结果与实验结果吻合较好，但拟合过程复杂；OGDEN模型中包含6个参数，参数拟合过程十分繁琐，耗时较长；而分数阶Kelvin-Vogit模型仅有3个参数，参数拟合过程简单。

此外，为分析不同拉伸速率应变范围内的最优模型，对同一速率下3种模型的拟合误差进行分析，将每种拉伸速率下每个应变范围的误差最小值进行比较，选取同一速率同一应变下模型拟合的最小值，如图8所示。结果表明，分数阶Kelvin-Vogit模型在拉伸速率30mm/min且应变为80%、60%与40%时拟合误差最小，即图8投影中A所在的区域；OGDEN模型在拉伸速率300mm/min且应变为100%、80%与60%时拟合误差最小，即图8投影中B所在的区域；而ZWT模型在其他速率及应变下拟合误差均最小，即图8投影中C所在的区域（XY平面中A、B区域除外的区域），可很好地描述EPDM黏弹性材料的力学行为。

4" 结" 论

本研究以EPDM为研究对象，开展了4种不同拉伸速率下的单轴拉伸实验，研究了3种模型对其材料的力学行为的影响。主要结论如下。

1）拉伸速率对EPDM力学性能有一定影响。随着应变增大，拉伸速率对EPDM力学行为的影响越来越显著；在应变小于30%时，4组拉伸速率下的应力-应变曲线基本重合，拉伸速率对EPDM力学行为的影响很微弱；应变大于30%、小于68%，影响逐渐显著；应变大于68%时，EPDM力学行为的拉伸速率特性显著。

2）研究3种模型在应变160%时的力学行为，结果表明，ZWT模型和OGDEN模型在该应变时拟合结果均与实验结果高度吻合，且拟合误差在8%以下，但模型参数均较多，拟合过程较复杂。当拉伸速率为300mm/min时，3种本构模型均有很好的拟合效果。

3）对应变100%范围内3种模型进行误差分析，在该范围内，分数阶Kelvin-Vogit模型对黏弹性材料的力学行为的表征具有较好的综合优势，即精度高、参数少、拟合过程简单。

参考文献：

［1］" PARK S J，CHOI S H，LEE S W，et al.Study on the improvement of adhesion strength between composite solid propellant，liner，and heat-resistant material［J］.Propellants explosives pyrotechnics，2020，45（8）：1227-1233.

［2］" 李志农，曾文钧，闻庆松，等.静载拉伸和低周疲劳下Q235钢磁声发射特性［J］.兵工学报，2021，42（1）：185-191.

LI Zhinong，ZENG Wenjun，WEN Qingsong，et al.Magnetoacoustic emission characteristics of Q235 steel under static load tension and low cycle fatigue［J］.Acta armamentarii，2021，42（1）：185-191（in Chinese）.

［3］" 黄竣皓，王琳，刘小品，等.Ti-6321钛合金力学性能和抗弹性能［J］.兵工学报，2021，42（1）：124-132.

HUANG Junhao，WANG Lin，LIU Xiaopin，et al.Mechanical properties and ballistic performance of Ti-6321 alloy［J］.Acta armamentarii，2021，42（1）：124-132（in Chinese）.

［4］" YIN B Y，HU X L，LUO W B，et al.Application of fractional calculus methods to asymmetric dynamical response of CB-Filled rubber［J］.Polymer testing，2017，61：416-420.

［5］" MENG R F，YIN D S，DRAPACA C S.A variable order fractional constitutive model of the viscoelastic behavior of polymers［J］.International journal of non-linear mechanics，2019，113：171-177.

［6］" 李占龙，宋勇，孙大刚，等.黏弹性材料动态力学性能的分数阶时温等效模型与验证［J］.农业工程学报，2017，33（8）：90-96.

LI Zhanlong，SONG Yong，SUN Dagang，et al.Fractional time-temperature superposition model and its validation for dynamic mechanical properties of viscoelastic material［J］.Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering，2017，33（8）：90-96（in Chinese）.

［7］" DOMAN D A，CRONIN D S，SALISBURY C P.Characterization of polyurethane rubber at high deformation rates［J］.Experimental mechanics，2006，46（3）：367-376.

［8］" 朱兆祥，徐大本，王礼立.环氧树脂在高应变率下的热黏弹性本构方程和时温等效性［J］.宁波大学学报，1988，1（1）：58-68.

ZHU Zhaoxiang，XU Daben，WANG Lili.Thermoviscoelastic constitutive equation and time-temperature equivalence of epoxy resin at high strain rates［J］.Journal of Ningbo University，1988，1（1）：58-68（in Chinese）.

［9］" 胡时胜，王正道，赵立中.泡沫硅橡胶动态力学性能的实验研究［J］.高分子材料科学与工程，1999，15（2）：113-115.

HU Shisheng，WANG Zhengdao，ZHAO Lizhong.Experimental study of dynamic mechanical behaviors of silicone rubber foam［J］.Polymer materials science amp; engineering，1999，15（2）：113-115（in Chinese）.

［10］雷经发，许孟，刘涛，等.聚氯乙烯弹性体静动态力学性能及本构模型［J］.爆炸与冲击，2020，40（10）：63-70.

LEI Jingfa，XU Meng，LIU Tao，et al.Static/dynamic mechanical properties and a constitutive model of a polyvinyl chloride elastomer［J］.Explosion and shock waves，2020，40（10）：63-70（in Chinese）.

［11］OGDEN R W.Large deformation isotropic elasticity—on the correlation of theory and experiment for incompressible rubberlike solids［J］.Proceedings of the Royal Society of London.A.Mathematical and physical sciences，1972，326（1567）：565-584.

［12］NIE X，CHENG J I，CHEN W W，et al.Dynamic tensile response of porcine muscle［J］.Journal of applied mechanics，2010，78（2）：021009.

［13］许腾飞，王新峰，郭树祥.高弹性橡胶夹层结构封严板分析方法［J］.南京航空航天大学学报，2020，52（3）：394-400.

XU Tengfei，WANG Xinfeng，GUO Shuxiang.Analytical method of sealed plate with hyperelastic rubber sandwich structure［J］.Journal of Nanjing University of Aeronautics amp; Astronautics，2020，52（3）：394-400（in Chinese）.

［14］程哲，张正艺，宋杨，等.橡胶材料超弹性本构模型的简化标定方法［J］.固体力学学报，2010，31（增刊1）：50-53.

CHENG Zhe，ZHANG Zhengyi，SONG Yang，et al.A simplified method to calibrate the hyperelastic constitutive models for rubber materials［J］.Chinese journal of solid mechanics，2010，31（S1）：50-53（in Chinese）.

［15］KEMPFLE S，SCHFER I，BEYER H.Fractional calculus via functional calculus：theory and applications［J］.Nonlinear dynamics，2002，29（1）：99-127.

［16］BAGLEY R L，TORVIK P J.A theoretical basis for the application of fractional calculus to viscoelasticity［J］.Journal of rheology，1983，27（3）：201-210.

［17］KOELLER R C.Applications of fractional calculus to the theory of

viscoelasticity［J］.Journal of applied mechanics，1984，51（2）：299-307.

［18］王礼立.应力波基础［M］.2版.北京：国防工业出版社，2005.

［19］TSCHOEGL N W.Constitutive equations for elastomers［J］.Journal of polymer science part a-1：polymer chemistry，1971，9（7）：1959-1970.

（编辑" 张璐）