指向核心素养的高中数学“生”动教学设计

蔡海涛　陈智雄　曾月迪

[摘要]高中数学教学以培育学生的核心素养为目标，以学生为主体，关注学生的思维活动，构建“生”动教学．教师可从“情境与问题”“知识与技能”“思维与表达”“交流与反思”等四个方面启发学生“动”起来．发展学生的数学学科核心素养．

[关键词]高中数学；“生”动教学；数学学科核心素养

问题提出

《普通高中数学课程标准（2017年版2020修订）》明确指出：高中数学课程以学生发展为本．落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养．

课堂教学是提升学科核心素养的主阵地．而这个阵地的主角是学生.

章建跃博士指出：发展核心素养是把以人为本的教育理念落到实处．所以，指向核心素养的高中数学教学是以学生为主体的教学——“生”动教学．其中．“生”代表“学生”；“动”代表学生动脑、动手、动口等，“‘生动教学”是通过教师的引导，学生参与系列化的数学活动．掌握“四基”．提高“四能”．发展数学学科核心素养．而反映数学学科核心素养在于四个方面，分别是情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思．笔者从这四个方面谈谈教师引导学生“动”起来的策略．以期与同行交流．

核心素养下的“生”动教学

1．问题在情境中驱动

案例1 探究平面向量基本定理．

师生活动：问题导入，探究定理．

问题1 设向量e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，你能作向量a，使得向量a=2e1+3e2吗？

问题2 设向量e1，e2是同一平面内两个共线的向量．你能作向量a，使得向量a=2e1+3e2吗？

问题3 我们知道，由向量共线的充要条件可得出：位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的非零向量表示．类比这个结论，平面内任意向量是否可以由同一平面内的两个向量表示？

师：通过上节课的学习，同学们知道了向量的线性运算λe1+λe2的结果是一个向量．反之．平面内任一向量是否可以由同一平面内两个不共线的向量表示呢？我们知道，已知两个力可以求出它们的合力；反过来．一个力可以分解为两个力．这种分解通常不是唯一的，事实上．这种力的分解．就反映出平面向量的关系，这节课我们从力的分解出发，研究刻画平面向量之间的关系.

追问1：受力的分解的启发，我们能不能作平行四边形，将向量a分解为两个向量．使向量a是这两个向量的和呢？（探究分解的存在性，体会向量a的任意性．）

设e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量．a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量，在平面内任取一点O，作OA=e1，OB=e2，OC=a．将a按e1，e2的方向分解，你有什么发现？

追问2：如果向量a是这一平面内与e1，e2中的某一个向量共线的非零向量，你能用e1，e2表示a吗？a是零向量呢？

师生总结得结论（存在性）：当e1，e2不共线时，平面内任一向量a都能用向量λ1e1+λ2e2表示．

问题4（探究分解的唯一性）给定向量a都能用向量λ1e1+λ2e2表示，这种表示形式是唯一的吗？

学生经历以上探究得到平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使向量a=λ1e1+λ2e2．

设计意图 问题解决是数学教学的核心．教师以学生熟悉的物理知识为起点引入向量分解．再让学生自主探究向量表示的存在性与唯一性．激发学生学习的主动性，教师依托情境设计问题，由问题驱动、激发学生观察、思考、探究，让学生思维一直处于“动”的状态，从问题中抽象出研究的对象．完成“观察一猜想一证明”定理的过程．在教师的引导下．学生学会用数学的眼光观察世界．发展了数学抽象、直观想象和逻辑推理等核心素养．

2．技能在知识中舞动

案例2 探究指数函数、对数函数、一次函数增长的差异．

探究1 选取适当的指数函数与一次函数．探究它们在区间[0，+∞）内的增长差异．你能描述一下指数函数增长的特点吗？

师生活动：学生自主探究，提出疑问．小组交流分析问题．解决问题．学生交流的问题大致如下：

①为什么探究的区间是[0，+∞）？

②以什么路径进行探究？

③以函数y=2x和y=2x为例，利用信息技术列表画图，如何观察数表和图象？

④借助几何画板画出函数y=2x和y=2x的图象后．如何探究这两个函数增长的差异？

⑤如何用数学符号语言准确表述函数y=ax（a>1）和y=kx（k>0）在区间[0，+∞）内的增长差异？

教师给予学生鼓励和肯定后，整理学生探究的结论．

①从“数”的角度比较两个函数增长方式以及变化速度的差异．“运算”是代数的一般观念．在一般观念的指导下，补充变化率△y/△x=y2-y1/x2-x1在教材中的表4.4-3的基础上再列一表（表1），让学生更清楚地观察它们的变化趋势.

②从“形”的角度比较两个函数增长方式以及变化速度的差异．借助几何画板画图（如图1所示）．引导学生观察自变量的增加量相同时．只需要看函数值的增量△y即可.

教师播放微视频让学生进一步理解“指数爆炸”，指出指数函数的“爆炸”增长源自指数运算的性质．

师生活动：举例说明“指数爆炸”与生活有广泛联系.

①“1.01365≈37.78，0.gg365≈0.3”揭示“积跬步以至千里．积怠惰以至深渊”；

②“1.02365≈1377.41.1.01365≈37.78”揭示“多百分之一的努力．得千份收获”；

③“1.01219×0.98146≈0.46”揭示“三天打鱼两天晒网．终将一无所获”．

探究2 选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间（0，+∞）内的增长差异，并描述一下对数函数增长的特点．

探究3 类比探究1的过程，①画出函数y=2x，y=lgx，y=2x的图象，并比较它们的增长差异；②比较函数y=kx（k>0），y=logax（a>1），y=bx（b>1）的增长差异；③讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.

师生活动：学生类比“探究1”，自主探究．提出疑问，小组交流分析问题．然后概括表达．进而解决问题．教师及时给予肯定与鼓励．

设计意图 “不同函数增长的差异”处于人教A版必修第一册（2019年版）教材中的“第四章指数函数与对数函数”的“指数函数、对数函数的图象和性质”内容之后．“函数的应用”内容之前．学生利用一次函数、指数函数、对数函数的概念、图象和性质等知识，通过自主探究理解不同函数增长的差异，提升了抽象概括、推理论证和运算求解等能力.

学生在教师的引导下自主完成“探究1”，充分经历规划研究思路（从特殊到一般），思考函数的选择、图象的绘制、函数的调整、信息技术的应用等，积累“如何研究”的活动经验；在“探究1”的基础上完成“探究2”和“探究3”，进一步提炼研究方法；通过作图、观察、实践，在“探索一质疑一反思”的过程中归纳认识几种不同函数图象的基本特征，训练观察、分析、归纳的能力，感悟函数与方程、特殊到一般和数形结合等数学思想．

数学探究活动是数学内容的主线之一．这条主线能帮助学生更好地掌握知识技能．更能帮助学生学会数学的思考与实践．是学生发展学科素养的有效载体．三个探究活动是在学生掌握一次函数、指数函数、对数函数的概念、图象和性质等陈述性知识的基础上．通过实际操作．获得活动经验．理解并掌握程序性知识与技能（不同函数增长的差异）．在探究的过程中可以让学生充分暴露自己的困惑，以自主探究、小组讨论、师生讨论等形式对疑难问题进行解答．在教学中，教师关注学生思维发生和发展的过程．引导学生学会用数学的思维思考世界，提升学生的数学建模、直观想象和数学运算等核心素养．

3．思维在表达中跳动

案例3 复数的三角表示式．

本案例是人教A版必修第二册（2019年版）教材的新增内容，属于选学范畴．高考不作要求．教学中首先让学生自主阅读教材；接着由第1组和第2组学生设计“概念引入”问题．第3组和第4组学生设计“概念厘清”问题．第5组和第6组学生设计“概念应用”问题，第7组和第8组学生设计“概念深化”问题；然后把各小组提出的问题分享全班学生讨论．教师做总结点评．

活动1 概念引入．

问题串1：复数的概念及其几何意义是什么？

①复数z=a+bi（a，b∈R）与复平面的点Z（a，b）和向量OZ=（a，b）三者是如何对应的？

②你能在复平面内用平面向量表示复数z=a+bi（a，b∈R）吗？

问题串2：向量可以由大小和方向唯一确定．能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数？如何表示？

①向量的大小可以用复数的模来刻画，向量的方向呢？

②若角θ的顶点在坐标原点，始边在实轴非负半轴上．如何表示角θ终边上一点的坐标？

③你能用向量的模r和角θ表示复数z吗？

④以上研究的角θ的终边均在第一象限，得到z=r（cosθ+isinθ）．这个式子是否具有一般性？当角θ的终边在其他象限或者实轴、虚轴上时，这个式子还成立吗？

活动2 概念厘清．

问题串3：阅读教材中的复数三角形式的概念．

①如何理解定义“任何一个复数z=a+bi都可以表示成z=r（cosθ+isinθ）的形式”中的“任何”“都”？

②复数三角形式中的r表示什么？范围为多少？

③复数的辐角θ是如何引入的？范围为多少？

④复数i的辐角θ是多少？复数θ的辐角θ是多少？

⑤表示复数i的辐角之间有什么关系？

⑥由于复数的辐角有无限多个值，因此应用不方便，为了使任一非零复数有唯一的辐角．有必要规定辐角的范围，取多少合适？

⑦复数i的辐角的主值是多少？

问题串4：复数-1／2（sinπ／3+cosπ／3）的表示是三角形式吗？

①观察复数的三角形式，试分析其结构特点.

②复数-1、2（sinπ／3+icosπ／3）如何转化成三角形式？

③复数的非三角形式转化成复数的三角形式的关键是什么？

活动3 概念应用．

问题串5：你能在复平面中画出复数1／2、根号下3／2i对应的向量并转化成三角形式吗？

①你能指出复数cosπ+isinπ的模和一个辐角吗？画出该复数对应的向量并转化成代数形式．

②你能指出复数6cos11、6π+isin11/6π的模和一个辐角吗？画出该复数对应的向量并转化成代数形式．

③归纳总结复数的代数形式和三角形式的互化方法．

④两个用代数形式表示的复数相等的条件是什么？两个用三角形式表示的复数相等的条件是什么？

活动4 概念深化.

问题串6：回顾复数的三角形式的研究过程．并说说研究方法.

①复数的三角形式的结构特征是什么？辐角和辐角主值的概念和特点是什么？

②复数的代数形式与三角形式的区别与联系是什么？

③你在知识、能力、思想上有怎样的收获？

设计意图本节课教师提供了研究数学概念的四个流程：概念引入、概念厘清、概念应用、概念深化，引导学生自主学习，完成四个学习活动，让学生真正“动”起来，成为课堂的主人.

在学习活动中，学生自主探究，小组内合作交流提炼问题．小组间分享学习经验．生生互动的形式多样且深入，教师关注学生用数学语言表达．学生表达的方式丰富多样．有小组内讨论的口头表达．有回答问题时的书面表达，有表示复数时的图形表达．多种表达方式展示了对抽象概念的理解．呈现了个人的思维观点和情感．

表达过程也是学生思维跳动的过程，概念的研究体现了思维的逻辑性．概念的厘清体现了思维的批判性．概念的应用和深化体现了思维的客观性．据此．学生对所学知识的加工、判断、质疑、建构．达到了对知识的深层认知.

表达是一种外显呈现，思维促进理解内化．教师引导学生有条理地表达．学会用数学的语言表达世界．从而发展数学学科核心素养．

4．反思在交流中触动

案例4如何得到敏感性问题的诚实反应．

本案例是人教A版必修第二册（2019年版）教材中的“阅读与思考”栏目的内容．教师布置学生课外完成．并对学生提出了如下要求.

①成立项目小组，确定研讨目标；

②小组成员查阅有关资料，进行讨论交流；

③分工合作，明确责任；

④撰写报告，讨论交流，可以用编试题、写小论文、做PPT等方式展示获得的成果．

根据上述要求．每一个小组要完成以下工作.

①确定主题．如：设计一份敏感性问题的调查问卷；命制一道以“敏感性问题的诚实反应”为知识载体的试题等．

②开题报告．小组成员先查阅一些资料．然后小组成员线下交流或利用网上资源线上交流．制成一份开题报告，各小组在课堂上组织开题交流，让每一个小组派一名代表进行陈述．教师和学生可以提出疑问．

如有的小组拟设计一份敏感性问题的调查问卷，教师和同学追问：如何理解教材中某地区的公共卫生部门调查本地区中学生的吸烟情况的调查问卷设计的两个问题？这两个问题的巧妙之处在哪里．可以用其他问题替换吗？调查过程中可能产生误差的原因有哪些？

还有的小组拟命制一道以“敏感性问题的诚实反应”为知识载体的试题，网上查询到的材料有：

（莆田市2017-2018学年下学期高一质检第16题）2018年足球世界杯赛在俄罗斯举行．某校为了解该校学生熬夜看球赛的情况．对随机抽出的400名学生进行调查．调查中使用了两个问题．问题1：你的座号是否为奇数？问题2：在世界杯期间你是否熬夜看球赛？要求被调查者投掷一枚硬币，如果正面朝上，就回答问题1．否则就回答问题2．且只需回答“是”或“否”．由于被调查者回答哪个问题是别人不知道的．所以被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．结果被调查的400人中有108人回答了“是”．估计该校学生中有熬夜看球赛的人数的百分比为__________.（注：该试题是笔者命制的，答案为4%.）

教师追问：在这道试题基础上如何改编，是否可以更改试题背景或更改考查结论？

③研究过程，各小组在交流后，完善开题报告再进行研究．做到研究任务有分工、合作，责任到人，在研究过程中．教师进行了跟踪．对“研究方法”“网上资源的利用”“论文和命题表述的规范性”等方面作了一定的指导，对那些态度认真、合作默契、方法恰当的小组和个人给予了充分的肯定和鼓励.

④结题展示．当各个小组都完成“结题报告”后．教师安排一次交流讲评活动，由教师进行点评．对各个小组的报告进行小组互评．促进学生深度交流．如交流研究过程的严谨性、研究方法的多样性、研究成果的创新性等．交流讲评是本次活动最为重要的环节．可以让学生在这一过程中相互借鉴，有效反思．共同提升.

设计意图“阅读与思考”栏目是“以学生为主体，自主学习，数学交流，深度反思”的有效载体，教师引导学生带着研究的主题自主阅读材料，让学生明确“我要做什么．要解决的问题是什么”，在此基础上．查阅一些文献资料，通过师生交流、生生交流、人机交流等方式思考“如何解决问题”．在课题成果展示环节，通过生生互评、教师点评的交流活动深度反思“我的收获是什么”．

通过经历小组小课题的研究过程．学生加深了对敏感性问题的诚实反应问卷设计原理的理解与方法的掌握，能够充分利用统计概率的有关知识解决实际问题，感受数学的应用价值．

思之则活，思活则深，思深则透，思透则新．思新则进．学生在研究过程的交流反思中．积累了提出问题和解决问题的经验，培养了问题意识、创新意识、应用意识，发展了数学抽象、逻辑推理等核心素养．

写在最后

苏霍姆林斯基在《给教师的建议一书》中指出：在学生的脑力劳动中，摆在首位的是让学生本人进行思考．进行生动的创造．

“生”动教学旨在促进学生生动的创造．教学活动的主体是学生．教师通过问题驱动、知识探究、交流互动、反思触动等方式，引领学生思考，促进学生思维不断优化．培养和发展学生的数学学科核心素养．

基金项目：应用数学福建省高校重点实验室（莆田学院）开放课题（SX202301）．