初中数学几何问题解题技巧研究

张玉峰

【摘要】随着教育事业的高质量发展，新课标与素质教育落实均愈发深入，这对初中数学教学提出更高质量要求，其中，几何是初中数学的重点，也是学生学习的难点.基于此，为强化学生解题能力，培养他们的解题思维，文章探究、总结了初中数学几何问题的解题技巧，结合具体几何问题梳理各种解题技巧下的思路与方法，具体包括辅助线法、平移法、代数法、逆向思维法、建系法等，梳理技巧应用要点，总结解题关键，旨在为教师传授学生解题技巧、提高学生解题能力提供帮助.

【关键词】几何问题；解题技巧；初中数学

引 言

初中数学几何问题具有逻辑性强、知识面广等特点，对学生解题思维和能力提出了较高要求.几何类问题的解题技巧相对较多，不同的题型，解题期间灵活使用不同的解题技巧可以让解题速度加倍.为有效提高学生的几何解题能力，研究技巧应用要点是必要的.

一、辅助线法

在初中数学中，常用的解题技巧是添加辅助线，几何问题作为初中数学的重要题型，辅助线法应用极为常见，应用此方法的目的在于通过辅助线细化整体大问题，或是将零散的问题条件整合到一处，从而快速敏捷地疏通思路，最终成功解决问题.但是，辅助线的使用并非随意、盲目的，需要根据几何条件和几何基础知识，让辅助线的使用具有一定合理性.例如，在非直角三角形的几何问题中，若是在该三角形中出现特殊角，那么可下意识尝试作垂线作为辅助线，构建直角三角形辅助解题；在圆形的几何问题中，可下意识尝试作能够构造出90°圆周角的辅助线；在涉及梯形的几何问题中，如果题中存在关于梯形的腰的中点，那么可尝试作能够构造出梯形中位线的辅助线，或是连接一个顶点和腰的中点，然后进行相应的延长从而构造出全等三角形的方式作辅助线.初中数学几何问题难度适中，通过适当总结辅助线法的作图规律与技巧，能够在短时间内快速找到解决几何问题的突破口，开拓学生的解题思路，提升他们的空间思维能力.

根据图1可知，无法在这种形式下直接求出AD和BD的值，在应用辅助线法的情况下，解题思路应该是尽量将求取的两条线段转化至一条线段中，即：作辅助线DE，使其与AB垂直，垂足为点E.通过作这条辅助线，可有效降低解题难度，简化解题逻辑，从而求出最小值的大小.

二、平移法

解决数学几何问题的平移法，主要通过平移某些图形的方式构建新的图形，从而简化解题步骤.该解题技巧应用的重点在于找出能用平移来求解的图形，具体思路为：根据已知条件平移图形———替换所求图形———求出结果.一般情况下，平移对象较多，可以是圆、直线、角、线段，甚至是整个图形，该解题技巧只会带来图形位置的变化，不会对图形大小、形状造成影响.在初中数学几何问题中应用平移法时，几种情况较为关键：平移前后的线段平行；对应角两边分别平行且方向一致；对应点连线所得线段相等且平行.一旦掌握这一解题技巧，学生遇到相似题型，将会快速掌握习题考点与解题思路，挖掘隐藏的数学要素，实现快速解题.

例2 如图2（a）所示，图中的A，B代表着两个农庄，l1和l2为河的两岸，现在农庄主人想垂直于河流修一座桥，借此缩短农庄A，B之间的距离，若想实现距离最短，桥应该修在哪里？

通过题干可知，该几何问题的本质是求两个点之间的最短距离，与之有关的是“两点之间线段最短”.在该思路下，可转化图中的一些线段，通过平移转化为两点之间线段最短的求取问题.平移思路如图2（b）所示.

运用平移法解答此道几何问题时，可先作BB′垂直于l2，线段BB′与两岸之间的距离相等，连接AB′，与河道l1的交点为点P，PD垂直于l2，构建平行四边形.利用平行四边形的特征，PB′=BD，两点之间线段最短，故AB′距离最短，也就是BD+AP最短，故可确定桥要建在PD处.

三、代数法

数学知识范畴广泛，代数和几何是数学课程体系的两大构成部分，对于初中数学几何问题而言，还可以运用代数法突破难点.在当前教育背景下，新课标对初中数学中几何知识的要求是：让学生理解图形，淡化概念识记、套用公式的做题模式，深化数学定理理解，从而灵活应用概念知识，做到几何问题的建模与求解.在初中数学几何问题解题教学中，学生需要经过学习建立“大数学”观，发散思维，学会合理使用代数知识突破解题瓶颈.所以，在日常教学过程中，教师可传授将特殊几何问题转为代数问题的方法、技巧和思路，从而简化计算，帮助学生获得更明晰的推理逻辑与证明思路，在解答几何问题的过程中培养学生的创新思维，依托于知识间的联系强化学生的整体解题能力.

四、逆向思维法

证明题在初中几何问题中的占比较大，是一种十分常见的题型，相较于计算类的几何问题，证明类几何问题对学生的推理能力具有较高要求，其中，推理包括正向思维推理和逆向思维推理.在一些题目中，正向思维推理可能较为复杂，推理步骤也相对较多，即便学生可以通过这一思路完成，花费的解题时间也较长，所以，教师可以引导学生使用逆向思维解答几何证明题.逆向思维法的本质在于：从与题干中要证明的结论对立的结论展开，证明其与命题矛盾，即可说明要证明的结论成立.

例4 如图4所示，圆O中有AB，CD两条弦，均不是直径，请证明AB与CD不能相互平分.

在该几何问题中，根据题干内容学生很难在短时间内找到证明思路，所以，可从结论出发，即：假设AB与CD能够相互平分，接着推理、求证，利用与现有定理的冲突，借助逆向思维证明此题.解题思路与技巧为：设弦AB和弦CD的交点为点P，连接OP，假设两条弦能够相互平分，这意味着AP=BP，CP=DP，而弦AB与弦CD是圆O内两条非直径的弦，故OP垂直于CD，OP垂直于AB.这与“过一点有且只有一条直线同已知直线垂直”相悖，故假设不成立，证明弦AB与弦CD不能相互平分.

五、建系法

当学生接触几何问题时，其已经具备平面直角坐标系相关知识，也掌握了点、线、面等相关定理与公式，初步具备了在平面直角坐标系中处理数学问题的基本能力.在解答几何问题时，教师可引导学生精准应用建系法突破解题障碍，尤其是一些单纯使用几何知识与方法较难求解的情况，可组织学生提炼题干信息，以此为基础进行平面直角坐标系的构建，通过结合点的坐标转化问题形式，降低问题难度，提高问题解答效率.

例5 如图5（a），四边形ABCD与四边形CGEF均为正方形，前者边长为2，后者边长为3，点B，C，G位于同一条直线上，点M为AE中点，连接MF，求MF的值.

运用建系法解决此道几何问题时，首先要对题干进行分析.根据题干内容发现，单凭几何知识无法解决这一问题，所以可在图5（a）的基础上建立直角坐标系，建立情况如图5（b）所示.

结 语

综上所述，为提高初中生解决几何问题的效率，提升其数学学习自信心，教师可围绕常见几何题型，总结、传授辅助线法、平移法、代数法、逆向思维法、建系法等解题技巧，锻炼学生的几何问题思维，培养他们的空间想象能力，以及数学知识的灵活运用能力等，以实现解题技巧的精准、有效运用，提高学生整体解题实力.

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