泰勒级数视域下函数极值判别的“原点”与“远点”

1.问题呈现——于平凡处见不凡

随着新高考的实施，若干年来超越函数、lnx与带参二、三次函数的综合题霸占压轴题位置的惯例被逐渐打破，函数导数与三角函数相结合的试题逐渐成为新高考压轴题的常客，2023年新高考Ⅱ卷压轴题中的函数便是由带参三角函数与对数型函数复合而成.

题1 （2023年新高考Ⅱ卷第22题）（1）证明：当0

（2）已知函数f（x）=cosax－ln（1－x2），若x=0是f（x）的极大值点，求a的取值范围．

试题第（1）问源于教材中对不等式sinx

2.解法探究——于无疑处仍有疑

对于任何复杂的问题，解题的思维都是建立在概念理解的基础上的，没有概念的指引就是“盲人骑瞎马”.对于函数极值的概念，普通高中教科书数学选择性必修第二册（人教A版）第90页是以图形为主用描述性定义给出的，根据函数极值的定义，函数极值点有如下判别法.

函数值判别法：如果函数f（x）在点x0的附近有定义，且左右两侧附近的函数值都满足f（x）f（x0）），则函数f（x）在点x0处取得极大（小）值.

一阶导数判别法：如果函数f（x）在点x0的附近有定义，且在x0附近的左侧f′（x）>0（f′（x）<0），右侧f′（x）<0（f′（x）>0），则函数f（x）在点x0处取得极大（小）值.

说明：基于高中生对函数的认知，我们假定本文中的函数f（x）在极值点处都是n阶可导的.

在学习中，学生处理极值问题积累的活动经验普遍倾向于一阶导数判别法，即认为判别函数极值的关键是研究函数的一阶导函数在极值点左右的正负性，这种规范化的思维品质是清晰严谨的.但作为压轴题，题1在规范化解答路线上设置了两处挑战：一是函数中含有的三角函数，增加了函数的“波动性”，进而增加了对导函数符号判断的复杂性；二是函数中含有的参数，增加了函数的“模糊性”，进而增加了对导函数符号判断的不确定性.

题意.

上述解法首先结合函數的性质（奇偶性），对参数进行分类讨论，将不确定性问题转化为确定性问题来处理.其次结合试题逐步递进的特征，借助第（1）中的结论，利用放缩在导函数中实现“去三角化”来解决.虽然学生对于这样的规范化解答能够充分理解，但在实际求解过程中往往很难完整解答，甚至都无法给出最终答案，其根本原因是学生于无疑处仍有疑，其疑惑主要集中在以下两点：一是解法1中参数a2与常数2进行讨论的根据从何而来？二是对于涉及函数极值的具体问题，是否只能运用一阶导数判别法来处理，函数值判别法是否不具备实际可操作性？

针对以上疑惑，笔者通过泰勒级数理论，回归到函数极值判别最初的原点——函数值判别法，来揭开解法1中参数讨论依据的神秘面纱.

3.逐本溯源——于原点处现原形

在高等数学中，泰勒级数用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得，具体形式如下：

若函数f（x）在点x0的某邻域（x0－δ，x0+δ）内

以下是几个常见函数在x0=0处的泰勒级数.

4.行远升高——于远点处辟蹊径

借由二阶导数判别法，我们给出题1的另一解法.

在判别函数极值的思维之路上，我们从“函数值判别法”这一“原点”出发，行至了“二阶导数判别法”这一“远点”，倘若函数在极值点处的二阶导数也为0，则凭借泰勒级数这一相同原理通道，我们可以行至更远处，运用高阶导数判别法来处理.

高阶导数判别法：如果函数f（x）在点x0的附近有定义，且f（k）（x0）=0 （k=1，2，3，…n－1），f（n）（x0）≠0，则（i）当n为偶数时，函数f（x）在点x0处取得极值，且当f（n）（x0）<0 （f（n）（x0）>0）时取得极大（小）值；（ii）当n为奇数时，函数f（x）在点x0处无极值.

5.触类旁通——于同源处相交汇

在历届高考中，以函数极值为命题背景的高考试题较为普遍.

题2 （2018年北京高考卷理科第18题）已知函数f（x）=［ax2－4a+1x+4a+3］ex.

（1）略；（2）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围.

由题2可以看出，对于不在点0处取得极值的函数，由泰勒级数运用函数值判别法来判别极值时，可由平移思想，将函数f（x）在点x0（x0≠0）处取得极值等价转化为函数g（x）=f（x+x0）在点0处取得极值，这样就避免了计算推导函数在各个不同点处的泰勒级数.

题3 （2018年全国高考Ⅲ卷理科第21题）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）－2x.

（1）略；（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a.

由题3可以看出，利用高阶导数判别法来判别极值，可能会面对多次的求导以及复杂函数求导的繁杂性.而根据泰勒级数，运用函数值判别法来判别极值，运算过程整体可控，既能预见问题结果，也能照见问题由来，例如函数中的“－2x”项看似多余，其实有效抵消了函数泰勒级数中的一次项，否则无论a取何值，x=0是都不会是函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）的极值点.由此我们也可以依托泰勒级数来重建函数结构，命制相似问题.

6.解题反思——于尾声处谈心声

高考试题是教师研究解题的重要素材.在研究命题者给出的参考答案时，有些导数压轴题的解答过程总给人感觉如同“魔术师帽子里的兔子”那么神奇.它的解法是如此巧妙，是如何想到的呢？事实上，解题的方向和结果的预见有赖于对问题本质的洞悉，先站在高处从命题者的视角得到答案，便能利用好数学对象的本质，自始至终地监控好解题.因此，我们应该加强高等数学与中学数学联系的研究，提高自身知识储备，才能站得高看得远，明晰数学知识的源与流，从整体上把握数学知识的发展脉络.

参考文献

［1］安恺凯，查晓东.对高考中一道三角不等式的再探究［J］.数学之友，2022，36（21）：89-90.

［2］章建跃，李增沪.普通高中教科书·数学（选择性必修第二册）［M］.北京：人民教育出版社，2021：90-92.

［3］邹生书.活用函数极值的定义和性质简解高考题［J］.数学通讯，2014（Z3）：50-52.

［4］ 华东师范大学数学系.数学分析·上册（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2010：145-147.

［5］秦志伟.数学解题中的自我监控——从一道高考题说起［J］.中学教研（数学），2023（05）：10-12.