数学例题：价值功能及其过程性教学案例

杨谟全

1.问题的提出

例题教学是数学课堂教学常见的形式之一，是数学课堂教学的重要组成部分，对数学教学具有重要意义．通过例题教学，可以更好地帮助学生学会解题作答的基本规范，了解问题的解决思路，巩固数学概念和基本技能．并且进一步完善思维方法，领会数学内涵本质，进而不断地发展提升数学素养．

现实的教学中，课堂上存在偏面追求例題讲解的数量，而忽视了例题内在价值的发掘；偏面追求题型的覆盖，而忽视了问题内在本质及联系的揭示；偏面追求解题的技巧和速度，而忽视了通性通法的本源思维；追求表面的课堂效率，而忽视了学生的思维节奏和真实参与等现象．

2.数学例题的教学价值功能及选取

数学例题的基本功能有：示范功能，反馈功能，巩固功能，拓展功能［1］．例题教学为学生发展数学学科核心素养提供空间平台，教师应该重视例题的过程性教学，充分发挥例题教学在提升学生数学素养的教育教学作用．

（1）选取的例题要具有示范性，表现为：知识运用的示范引领，解题程序与表述规范的示范引领，学习如何解题的示范引领．学生的数学学习有一个模仿的过程，例题教学不是教师在课堂上的独角戏，而是教师精心准备、引领下的师生共同思考探究活动．教师起到引领示范作用，包括作答的条理规范，真实思维的暴露，乃至思考受阻等．

（2）选取的例题具有一定的层次性，低起点高立意，由浅入深，照顾到全体学生，帮助学生在掌握知识技能的同时，进一步感悟数学的基本思想，积累数学思维的经验．

（3）选取的例题具有一定的典型性，例如用于复习教学的例题，应关注知识的系统性，这样可以更好地帮助学生了解知识间的内在联系和脉络，完善学生的知识体系，提高复习的牢固性和有效性．

总之，在例题教学过程中，教师要有所选择，针对学生的具体学情，选用或改编恰当的例题．什么是好的数学例题呢？判断一道好的数学题，一般有两个重要的标准：一是不以繁杂的计算、特殊的技巧取胜；二是具备一定的洞察力，掌握有关知识的思想本质，才能找到恰当的解决方案［2］．

3.新课标下过程性教学的认识

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：“高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质数学教学不仅要让学生掌握知识，还要经历知识的形成过程，理解知识的本质，提高发现问题、研究问题的能力．”［3］这就需要开展过程性教学，以实现学生真正意义上的学习．

过程性教学原则是由当代数学教育研究工作者何良仆先生提出的.他认为数学教学必须以知识的发生发展和认知形成的内在联系为线索，充分展现和经历其中的思维活动，使学生真正参与到发现和思考的过程中来［4］．

学生始终是过程性教学中的主体，组织学生参与到数学教学活动中，基于高中生数学元认知基础开展过程性教学，加深学生对所学知识的深刻理解，利用例题的示范引领功能，尽量发挥其潜在的教学价值，以例启思、以例促思、以例带类．

下面以课堂例题教学的两个案例实践，供交流．

4.数学例题过程性教学的案例及分析

案例1 （高一新授课）比较（x+2）（x+3）和（x+1）（x+4）的大小．（人教A版·数学·必修第一册P38页·例1）

（1）分析引导：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系．

意图：让学生巩固所学知识，明确掌握解题的方法．

（2）解题前设问：你能估计两多项式的大小是确定的，还是随x的不同取值而变化的？

意图：引起学生的关注和思考，将学生的目光聚焦多项式的结构特征，有所发现：两多项式之差是常数2．

（3）解题示范：

解：（x+2）（x+3）－（x+1）（x+4）=（x2+5x+6）－（x2+5x+4）=2>0．所以，（x+2）（x+3）>（x+1）（x+4）．

意图：通过例题分析教学，使学生牢固掌握作差比较大小的处理方法，特别地，要将作差运算结果进行到底，解题前的设问，培养学生解题观察的自觉意识．

学生真正的理解掌握，可以较好地实现解题思考迁移，在日后的考试中得以体现，如下的两题学生作答情况良好．

意图：对于高一新生，规范的作答表述，清晰的解题逻辑呈现，这些培养很重要．

题2 函数y=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+5在［－3，3］上的最小值为（ ）.

A. 2B.3C.4 D.5

考后反馈：学生基本都能发现y=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+5=［（x+1）（x+4）］］［（x+2）（x+3）］+5的变形处理，整体答题情况好于其他班级．

这是2022年全国新高考Ⅰ卷第22题的变式题：

设函数f（x）=ex－ax和g（x）=ax－lnx有相同的最小值．

（1）求a；

（2）证明：存在直线y=b，与其他两条曲线y=f（x）和y=g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

意图：交代例题出处，引起学生的注意和重视，为学生投入思考营造良好氛围．

教学进程：引导学生直觉预判a>0，进行思辨分析，若a≤0，则函数f（x）、g（x）在各自的定义域上均不存在最小值，不符合题设要求．

意图：例题呈现后，教师应该留出时间，让学生读题、观察、思考和直觉感知，一方面对问题保留深刻的印象，另一方面在此过程中，积极联想，寻求解题思路．

根据学生的思考反应，总结得解题思路：分别探讨求解f（x）、g（x）的最小值，结果用a表示，根据题意，得到关于a的方程，解方程得a的值．

对于函数g（x），g′（x）=ex－a，若a≤0，则g′（x）>0，此时g（x）是R上的单调增函数，则不存在最小值；a>0时，由g′（x）=0，得x=lna，此时，当x∈（－∞，lna）时，g′（x）<0，x∈（lna，+∞）时，g′（x）>0，即函数g（x）在（－∞，lna）上单调递减；在（lna，+∞）上单调递增．所以g（x）min=g（lna）=a－alna．

意图：纵观上述求解过程，涉及了指数函数、对数函数、幂函数等常见初等函数的求导公式，需要学生牢固、熟练地掌握，．而对于参数取值的变化所引起的函数单调性探讨，需要学生具有提前判断的预感，从而作答逻辑清晰，思维顺畅．

分析引导：面对的不是常见可以直接求解的不等式，我们采取的解题策略是，根据未知量的取值可能，分类探索，逐步分析推进，教学中与学生一起回顾函数零点存在定理．

知识回顾及延拓：人教A版普通高中教科书数学必修第一册P143页：

一般地，由函数零点存在定理：如果函数y=f（x）在区间［a，b］上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）f（b）<0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的解．

顺势拓展：函数、方程、不等式是代数中有机联系的整体，函数零点也就是相应方程的解，而不等式，结合函数的单调性，便可顺利地纳入同一个系统中．

在函数零点存在定理的基础上，加以延伸，若函数y=f（x）在［a，b］上是单调递增，且c∈（a，b），使得f（c）=0，我们不难得到f（x）<0的解集是［a，c），f（x）>0的解集是（c，b］．继续补充完善，若在函数零点某侧是不单调的，可以通过相应的极大值小于零（或极小值大于零），如图1，学生不难理解．因此，在適当的教学时机，顺势拓展，深化、完善学生的知识体系是自然而然的，教师理应培养相应的教学机智，提高课堂教学效率．

积极观察联想，函数导数中的切线不等式ex≥

意图：复习回顾函数零点存在定理，并在此基础上进行延拓，得到不等式处理的方法．在判断导函数h′（x）的符号时，利用ex≥ex来突破解题难点，提升学生的深刻洞察和深度思维的能力．

别样视角：数学审美角度：灵活变形转化，以美启真，直达问题本质：已知函数值的大小，逆向探讨相应变量的大小．

意图：在过程性教学中，教师要娓娓道来，自然流畅，同时让学生感受数学对象中的特别之处，教师要经常就数学内容问诸如“这样的表达与那样的表达有什么不同？”“这样的证明和那样的证明相比有什么区别？”“这样的方法和那样的方法相比有什么特别之处”等问题，使得学生能够观察数学对象所具有的特别之处．这样的过程性教学更好地体现学生和数学对象相互作用的过程．

5.结束语

数学例题教学设计不是教师单一的、线性的、一厢情愿的活动，要考虑教学的内容和目标，教学中活动的主体——学生．从学生的实际出发，设计应处在学生思维最近发展区内的学习任务，采取有步骤地设置思维障碍等方法，铺设恰当的认知台阶，激发学生的学习热情．

过程性教学，要关注学生当前的数学学科核心素养水平，更要关注学生成长和发展的过程；不仅要关注学生的学习结果，更要关注学生在学习过程中的发展和变化．

众所周知，学生的思维是在学习的过程中逐渐得到发展的，而现实的教学往往忽视教学的过程属性，教师把自己的思路和想法直接抛给学生，影响了实际教学效果．因此，教师在实施例题教学时，应该有意识地关注学生的过程性参与，关注学生的理解达成情况，必要时作出相应的教学调整．

参考文献

［1］ 陈佳敏，马文杰．数学例题：内涵、功能及其设计策略研究［J］．中学数学教学参考（高中版），2022，（13）4-9．

［2］曹广福．跳出机械化技巧，深挖知识背后的思想——一道2023年数学高考压轴题的解法比较及其教学启示［J］，教育研究与评论（中学教育教学），2023（6）5-8．

［3］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］．北京：人民教育出版社，2020．5．

［4］ 何良仆，何燕妮．论数学教学的过程性原则［J］．西南科技大学学报（哲学社会科学版）2011，28（2）：59．