例析数学思想方法在求解数列问题中的运用

王伟慧

数列是高考的一个重要考点，这部分内容主要以客观题的方式呈现，或与函数、不等式等内容相结合，以综合题的方式呈现.不过无论以哪种方式呈现，其中都蕴涵丰富的数学思想方法，因此在数列问题求解教学中，教师应重视学生数学思想方法的培养，让学生可以站在更高的视角思考和解决问题，提高学生数学能力与素养.本文结合具体实例谈谈数学思想方法在数列中的运用，以期引起师生对数学思想方法的重视.

1.函数与方程思想的运用

数列是特殊的函数，因此在解决数列问题时，可以利用函数的一些知识、经验、方法来研究.

例1 已知等差数列an的前n项和为Sn，且S10=100，S100=10.

（1）求S110；（2）当n取何值时，Sn有最大值？

评注：本题求解主要是将数列问题转化为方程或函数问题，问题迎刃而解.在解题时，切勿盲目地套用，应关注已知和所求之间的内在联系，运用合适的数学思想方法将其建立联系，从而找到合适的切入点，快速地解决问题.

2.数形结合思想的运用

数形结合思想在解题中有着广泛的应用，通过“数”与“形”的结合可以将问题向直观化、简单化转化.

例2 已知an是等差数列，bn是等比数列，公比q>1且bi>0（i=1，2，3，…），若a1=b1，a9=b9，则a5与b5的大小关系是.

析解：从函数的视角出发，等差数列各项可以看作对应直线上一系列散点的纵坐标，而等比数列的各项可以看作是指数型函数图象上一系列散点的纵坐标，这样结合已知条件可以得到如图1所示的图形.根据图形可知a5>b5.

评注：对比两种解法不难发现，运用数形结合思想方法解题更高效.在平时教学中，教师应有意识地引导学生应用数形结合思想方法分析问题，由此提升学生数形结合意识.

3.分类讨论思想的运用

分类讨论是一种数学思想方法，也是一种解题策略，其在解题中有着重要的应用.

评注：在解题的过程中，经常会遇到由于存在不确定因素而需要分类的情况，如本题中的（－1）n，由于不确定n是奇数还是偶数而需要分类讨论.若学生具有良好的分类讨论意识，能够灵活运用化特殊为一般的思想方法来分析问题，问题即可迎刃而解.

4.化归思想的运用

化归思想无处不在，它是分析和解决问题的有效路径，是最基本、最常用、最重要的思想方法.在解题的过程中，通常会采用某些手段将陌生的、复杂的问题转化为熟悉的、简单的问题，从而快速地找到解题的突破口.

例4 设等差数列an的公差为d，点（an，bn）（n∈N*）在函数f（x）=2x的图象上.

（1）若a1=－2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列an的前n项和Sn；

评注：转化思想既是一种重要的数学思想方法，也是最重要的解题意识.在实际教学中，要重视这一重要数学思想方法的培养，从而逐步发展学生的数学核心素养.

5.整体思想的运用

在解题的过程中，将整体思想运用其中，可以起到降低解题难度，提升解题效率和解题准确率的作用.整体思想是从整体出发，充分挖掘题中各个条件之间的内在联系，将那些看似无关而实质上有联系的量看成一个整体，从而将复杂的题目简单化，抽象的条件具体化，提高解题效率.

例5 在等比数列an中，S8=30，S16=150，求S20.

评注：本题求解中从整体视角出发，通过整体代入有效地优化了运算过程，有利于提升解题效率和解题准确率.

总之，数学思想方法是数学的灵魂，在日常教学中要不失时机地进行渗透，并创造机会让学生去领会和感悟，以此让学生可以获得更高层次的理解，提升學生分析和解决问题的能力，提升学生数学核心素养.