回归教材基础，彰显创新应用

卢闯

在新教材、新课程、新高考的“三新”背景下，三角函数中的三角恒等变换模块成为高考数学命题的一个基本点，围绕三角函数中的公式以及应用，成为高考命题的一个热点．基于简单的三角恒等变换，特别是和差化积公式与积化和差公式，是三角恒等变换的深度学习与创新应用，对于全面考查学生的“四基”以及数学能力等具有较好的作用，着力数学基础与创新应用，成为高考数学命题中既充分体现知识基础，又体现选拔功能的一类创新考点．

1．回归教材，公式展示

简单的三角恒等变换中的和差化积公式，以例题与练习题的综合形式在现行高中数学教材（2019版人教A版教材必修第一册）中出现．

练习 （人教A版必修第一册P226练习5）求证：

教材中以例题与练习的方式给出和差化积公式，这给深度学习与应用提供更加广阔的空间，也是深度学习与创新应用的一个其他场景．

2．彰显能力，创新应用

在进行三角恒等变换与应用时，特别是利用和差化积公式解决问题时，由于和、积互化时，角度要进行重新组合，因此可能产生一些特殊角或已知角等，对于三角关系式的消项或互约因式等起到很好的变形与转化作用，有利用进行三角关系式的化简求值等，成为三角恒等变形中的一种基本手段，也是深度学习中彰显能力与创新应用的重要场景．

（1）求值问题

分析：根据题设条件，所求的三角关系式中出现了平方关系式，首先三角关系式进行降幂处理，由二次式转化为一次式，之后再利用和差化积公式、积化和差公式等进行三角函数关系式的化简与变形，得以转化与求值．也可以结合填空题中所求结论的确定性，利用特殊值法，选取特殊角来特殊分析与处理．

点评：简单的三角恒等变换中，积化和差公式与和差化积公式是一对“孪生兄弟”，在实际解题过程中，经常离不开两组公式之间的交替使用．要注意的是，在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可以施行；若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次三角函数，必须用降幂公式降为一次式．

（2）证明问题

点评：根据三角关系式中两角正弦值之和（或差）、两角余弦值之和（或差）的对称或轮换关系时，可以直接借助简单的三角恒等变换中的和差化积公式，通过公式变形与转化来达到化简、变形与求值等方面的应用．注意和差化积公式的熟练掌握，在具体应用中要结合应用场景加以恒等变形与巧妙应用．

（3）判断问题

分析：根据题设条件，抓住题中给出的三角函数关系式的两边比较工整，且均是两角正弦值（或余弦值）的和式，可以直接利用三角函数的和差化积公式加以转化，利用三角函数关系式的恒等变形，并利用角的取值范围来分析与讨论，进而来分析并判断结论的成立．而利用辅助角公式来处理，也是比较常用的一种技巧方法．

点评：该三角函数式问题的判断与应用中，解题方法技巧多樣，通过以上两种方法的分析，相对于解法2来说，解法1直接利用和差化积公式来处理，更加简单粗暴；而解法2通过辅助角公式来处理，作为解决此类问题的一般方法，也不失美感．在实际解题过程中，选择适合自己的技巧方法才是最重要，也是最契合的．

总之，简单的三角恒等变换中的和差化积公式，可以用来处理三角函数中的一些求值、证明或判断等相关问题，可以使得三角函数问题的解决更加简捷有效．而在具体应用和差化积公式时，要注意应用公式之后能否出现特殊角；应用公式之后能否进行提取公因式，能否约分，能否合并或消去同类项等；应用公式之后能否使三角函数关系式的结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换与转化创造条件，是基于深度学习与创新应用的基本要求．