高斯函数性质及应用

【摘  要】  近年来，对以“高斯”名字命名的高斯函数的研究与考查悄然兴起，看起来很简单的函数，却有着十分丰富的性质，同时当它与其他函数复合时问题变得更不简单.数学教师必须认真研究教材，切实把握教材内容的内涵和外延，真正做到“用教材教”．

【关键词】  高斯函数;性质;应用

约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777—1855），德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.近年来，对以“高斯”名字命名的高斯函数的研究与考查悄然兴起，应引起我们重视.

1  高斯函数的定义

函数y=［x］称为高斯函数，其中［x］表示不超过实数x的最大整数，也叫取整函数，例如，［2.3］=2，［-0.5］=-1，等等.

2  追根溯源

人民教育出版社普通高中教科书《数学》必修第一册第74页习题3.1第13题：函数f（x）=［x］的函数值表示不超过x的最大整数，例如，［-3.5］=-4，［2.1］=2.当x∈（-2.5，3］时，写出函数f（x）的解析式，并画出函数的图象［1］.

在该教材第74页第18题：记圆周率π小数点后第n位上的数字为y，那么你认为y是n的函数吗？如果进一步追问：若是，你能写出该函数的解析式吗？（这里我们可用高斯函数表示该函数的解析式：y=f（n）=［π×10n］-［π×10n-1］×10（n∈N*））

3  高斯函数的图象

图1对于高斯函数y=［x］，它是一个分段函数，其定义域是全体实数R，值域是整数集Z.对任意整数n，函数y=［x］在［n，n+1）上的图象是一段垂直于y轴的线段（不含右端点），因此可以说高斯函数的图象是成阶梯状分布的，且在每个整点上都有一个跳跃型的间断，如图1所示.

4  高斯函数的基本性质

将［x］叫做x的整数部分，x-［x］叫做x的小数部分，记为{x}，易得下列性质.

（1）x=［x］+{x}，0≤{x}＜1;

（2）x-1＜［x］≤x＜［x］+1;

（3）［n+x］=n+［x］;{n+x}={x}，n∈Z;

（4）若x≤y，则［x］≤［y］;

（5）当x∈Z时，［-x］=-［x］，当xZ时，［-x］=-［x］-1;

（进一步由图象变换知识易知：函数y=［-x］与y=［x］图象关于y轴对称;函数y=-［x］与y=［x］图象关于x轴对称;函数y=-［-x］与y=［x］图象关于原点对称.）

（6）［x］+［y］≤［x+y］.

5  应用举例

例1（多项选择题）  下列关于高斯函数y=［x］的性质叙述正确的是（  ）.

A.y=［x］值域为Z

B.y=［x］不是奇函数

C.y=x-［x］为周期函数

D.y=［x］在R上单调递增

图2

解析  对于选项C：当n≤x＜n+1时，y=x-［x］=x-n，n∈Z.为了更直观地看出函数的性质，这里不妨给出该函数的部分解析式及图象：y=x-［x］=x+2，-2≤x＜-1，x+1，-1≤x＜0，x，0≤x＜1，x-1，1≤x＜2，x-2，2≤x＜3，对应图象如图2所示.不难看出该函数是一个周期为1的周期函数.其他选项也不难判定，本题正确答案是ABC.

例2  设［x］表示不大于x的最大整数，如［-2.5］=-3，则对任意实数x，有（  ）.

A.［-x］=-［x］

B.x+12=［x］

C.［2x］=2［x］

D.x+12+［x］=［2x］

解析  由高斯函数的定义及性质可知，本题正确答案是D.

例3（多项选择题）  设x∈R，用［x］表示不超过实数x的最大整数，设函数f（x）=x-［x］-12，则下列关于函数f（x）叙述正确的是（  ）.

A.f（x）在（0，1）上单调递增

B.f（x）有最小值无最大值

C.f（x）为奇函数

D.x∈R，［f（x）］=0

解析  对于选项A：当x∈（0，1）时，f（x）=x-［x］-12=x-12，显然在（0，1）上单调递增.由f（0）=-12即可排除选项C，D.其实，函数f（x）=x-［x］-12就是把例1图2中的图象向下平移12个单位，因此就不难判断本题正确答案是AB.

例4  （安徽省宁国中学高一（上）第二次段考即鼎尖教育2022年11月大联考数学试题第8题）符号［x］表示不超过实数x的最大整数，如［3.2］=3，［-3.5］=-4，［|-3.5|］=［3.5］=3.定义函数f（x）=［|x|］-|x|，则下列说法中错误的是（  ）.

A.若n∈Z，則f（n）=0

B.函数f（x）为偶函数

C.函数f（x）的最大值为0

D.函数f（x）的最小值为-1

解析  因为f（-x）=［|-x|］-|-x|=［|x|］-|x|=f（x），所以函数f（x）为偶函数，图3所以选项A，B正确.为了更直观地看出函数的性质，这里不妨给出该函数的部分解析式及图象：

f（x）=［|x|］-|x|=2+x，-3＜x≤-2，1+x，-2＜x≤-1，x，-1＜x＜0，-x，0≤x＜1，1-x，1≤x＜2，2-x，2≤x＜3，对应图象如图3所示.观察函数图象可知函数f（x）的最大值为0，最小值取不到-1，从而C正确，D错误，故本题正确答案是D.

例5  （宣城七校2021—2022学年上学期期中测试高一数学试题第15题）符号［x］表示不超过实数x的最大整数，例如［2.3］=2，［-0.5］=-1，当x∈-1.5，1时，函数y=［x］x的值域为    .

解析  （1）当-1.5＜x＜-1时，［x］=-2，y=［x］x=-2x，所以2＜y＜3;（2）当-1≤x＜0时，［x］=-1，y=［x］x=-x，所以0＜y≤1;（3）当0≤x＜1时，［x］=0，y=［x］x=0;（4）当x=1时，［x］=1，y=［x］x=1.综上所述，当x∈（-1.5，1］时，函数y=［x］x的值域为［0，1］∪（2，3）.

点评  由上述实例可知，高斯函数的应用中常出现x与［x］的运算，上面给出了差（包括绝对值）、积运算，将问题拓展，还可编制和、商运算的试题.

例6  （安徽省宁国中学2022—2023学年上学期高一数学第一次周考试题第15题）对于x∈R，［x］表示不超过实数x的最大整数，如［1.1］=1，［-2.1］=-3.定义R上的函数f（x）=［2x］+［4x］+［8x］.若A=yy=f（x），0≤x≤12，则A中所有元素的和为    .

解析  这里由A集合中函數定义域及高斯函数的定义可写出分段函数f（x）的具体解析式：f（x）=［2x］+4x+8x=0，0≤x＜18，1，18≤x＜14，3，14≤x＜384，38≤x＜12，7，x=12，，对应图象如图4所示.观察函数图象可知当0≤x≤12时，函数f（x）可取值为0，1，3，4，7，即A=0，1，3，4，7，故A中所有元素的和为15.

图4

例7  （多项选择题）（安徽省宁国中学2022—2023学年上学期高一数学第四次周考试题第8题）设x∈R，［x］表示不超过实数x的最大整数，例如：［-3.5］=-4，［2.1］=2，已知函数f（x）=ex1+ex-12，则下列叙述正确的是（  ）.

A.［f（x）］是偶函数

B.f（x）是奇函数

C.f（x）在R上是增函数

D.［f（x）］的值域是-1，0

解析  令g（x）=［f（x）］，则g（1）=［f（1）］=e1+e-12=0，g（-1）=［f（-1）］=e-11+e-1-12=-1，所以g（-1）≠g（1），故g（x）=［f（x）］不是偶函数，选项A错误.

因为f（x）=ex1+ex-12的定义域为R，f（-x）+f（x）=e-x1+e-x+ex1+ex-1=1+ex1+ex-1=0，所以f（x）是奇函数，故选项B正确.

因为f（x）=ex1+ex-12=1+ex-11+ex-12=12-11+ex，且y=ex在R上单调递增，所以f（x）=12-11+ex在R上是增函数，故选项C正确.

因为ex>0，所以1+ex>1，因此0＜11+ex＜1，所以-12＜12-11+ex＜12，即-12＜f（x）＜12，因此g（x）=［f（x）］∈-1，0，故选项D正确.

综上所述，本题正确答案是BCD.

点评  其实，函数g（x）=［f（x）］是高斯函数与超越函数f（x）=ex1+ex-12的复合，当高斯函数与其他函数复合时问题变得复杂一些.

6  问题拓展

例8  （多项选择题）（人教A版《数学》必修第一册配套资料《能力培养与测试课时评价作业（十九）》第32页）给出定义：若m-12＜x≤m+12（其中m为整数），则称m为离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m.则下列关于函数f（x）=x-{x}的四个命题中是真命题的有（  ）.

A.函数y=f（x）的定义域是R，值域是-12，12

B.函数y=f（x）是偶函数

C.函数y=f（x）是奇函数

D.函数y=f（x）在区间-12，12上单调递增

解析  为了更直观地看出函数的性质，这里不妨给出该函数的部分解析式及图象：

f（x）=x-{x}=x+1，-32＜x≤-12，x，-12＜x≤12，x-1，12＜x≤32，x-2，32＜x≤52，对应图象如图5所示，观察函数图象可知函数y=f（x）既不关于y轴对称，也不关于原点对称，定义域是R，值域是-12，12，在区间-12，12上单调递增，故本题正确答案是AD.图5

点评  本题新定义的函数y={x}显然与高斯函数不同，但研究问题的方式方法有雷同之处，进一步拓展或与其他函数复合可得更多变式题.

7  结束语

通过前面的研究我们不难发现，高斯函数看起来是一个很简单的函数，却有着十分丰富的性质，研究高斯函数可得许多奇妙的结论，同时当它与其他函数复合时问题变得并不简单.

另外，教材是众多专家集体智慧的结晶，经过长期的使用、修改而不断完善、日臻成熟．数学教师必须认真研究教材，切实把握教材内容的内涵和外延，形成对所教内容的深刻感悟，才能在教学实践中充分利用教材所蕴藏的丰富教学资源，真正做到“用教材教”，最终达到提高课堂教学实效和学生综合能力的效果［2］．

参考文献

［1］  人民教育出版社  课程教材研究所  中学数学课程教材研究开发中心．普通高中教科书·数学必修第一册（A版）［M］．1版．北京：人民教育出版社，2019：74．

［2］  陈晓明．对一道教材习题的探究［J］．中学数学教学参考，2017（25）：39-41．

作者简介  陈晓明（1971—），男，安徽广德人，硕士学位，中高职称；发表论文120余篇．