数学建模:理论与实践

王娇 张灿

基金项目：2022年度安徽省芜湖市教学研究重点课题“双减背景下促进核心素养发展的数学实验教学实践与研究”（项目编号：2022JK062）.

摘  要：在初中数学中，综合与实践课常以数学广角、数学活动或数学习题的方式编写，本节课以全等三角形的证明方法为理论，通过数学实验的方式，引导学生通过操作与实践，从“坐中学”转变为“做中学”，从“听数学”转变为“主动探究”.文章以“手拉手模型之全等三角形”的教学设计为例，阐述了如何动手“做”数学.

关键词：数学实验；动手操作；“做”数学；数学建模

史宁中教授在《义务教育数学课程标准（2022年版）解读》中提出，义务教育数学课程改革面临的问题是“综合与实践”领域的教学没有得到有效落实.针对此问题，笔者尝试从书本习题出发，将三角形全等的理论知识与学生动手实践相结合，培养学生理论与实践相结合，建立数学模型思想.

在实践活动中，数学实验是目前在教学中比较行之有效的教学形式，通过引导学生动手动脑“做”数学来达到教学目标的实现.课堂上用模型、测量、计算机软件，激发学生的学习热情，帮助学生从以往的教学中的“听数学”“当观众”转变为“主动探究”“当演员”，变“机械学习”为“自己研究”.学生在实验过程中，发挥内驱力，形成了良好的数学思维，尤其是在这一过程中，教师与学生之间的互动，使学生了解数学知识、数学体系的建构过程，对所学的知识产生兴趣，打破初中数学学习刻板的印象.

1  复习旧知，引入新课

教师帮助学生构建全等三角形知识框图，探讨从哪些角度证明两个三角形全等.并给出课本习题，学生练习，引出本节课实践内容.

【设计说明】对于学生来说，全等三角形是学生刚刚学过的知识，并不陌生，通过回顾旧知的方式帮助学生为全等三角形知识的应用铺设台阶.

2  实验探究，验证结论

2.1  等边三角形中的手拉手问题

实验1：

（1）请拿起手边的两个等边三角形，分清三角形的左底角与右底角和顶点，将两个三角形的顶点重合；

（2）将一个三角形绕顶点旋转不同的角度，观察并记录拼接后的图形；

（3）用笔将两个三角形的左底角连接，右底角连接，并标注字母；

（4）用量角器测量由顶点和两左底角（或两右底角）构成三角形的内角.

（电脑演示：三角形旋转后，测得顶点和两左底角（或两右底角）构成三角形的内角以及边长）

问题1

（1）根据测量结果，你发现这两个三角形有什么关系？

（2）当一个三角形旋转到任意位置，两个三角形全等是否仍然成立？你能应用全等三角形的知识证明它吗？

【设计说明】让学生实际操作，感受三角形的旋转过程，记录相对应的位置.通过学生测量、教师利用几何画板演示测量角度和线段长度，引导学生猜想两个三角形的关系，并从理论上对两个三角形的全等加以证明，从中体会变化中存在的不变关系.

小结：当两个等边三角形的顶点重合时，运动其中一个三角形，连接线段，所得的△ABE和△CBD形状发生变化，但两个三角形的全等关系不变，说明运动图形中存在不变性.

实验2

（1）請拿起两个任意形状的三角形，确定好两三角形的顶角和底角，将两个三角形的顶角重合；

（2）将一个三角形绕顶点旋转不同的角度，观察并记录拼接后的图形；

（3）用笔将两个三角形的左底角连接，右底角连接，并标注字母；

（4）用量角器测量由顶点和两左底角（或两右底角）构成三角形的内角.

（电脑演示：三角形旋转后，两三角形形状）

问题2

（1）从记录的数据看，实验1得出的两个三角形还全等吗？为什么？

（2）这说明两图形运动的不变性是有条件的，要想实现两个三角形的全等，对这两个三角形的性状有什么要求？

【设计说明】学生动手操作，连线、度量、猜想，得出要想保证两个三角形全等这条性质，两个三角形的形状是有要求的，体会变化中存在的不变关系需要满足的条件.

2.2  等腰三角形中的手拉手问题

实验3

（1）请拿起手边的两个等腰三角形，确定好两三角形的顶角和底角，将两个三角形的顶角重合；

（2）将一个三角形绕顶点旋转不同的角度，观察并记录拼接后的图形；

（3）用笔将两个三角形的左底角连接，右底角连接，并标注字母；

（4）用量角器测量由顶点和两左底角（或两右底角）构成三角形的内角.

（电脑演示：三角形旋转后，两三角形形状）

问题3  实验3得出的两个三角形全等吗？如何证明？若将等腰三角形换成等腰直角三角形还成立吗？

【设计说明】将两个等边三角形换成等腰三角形，学生通过操作、猜想、证明，感受到通过旋转两个等边三角形得出的结论，可推广到旋转一般的等腰三角形.

3  抽象概念，生成知识

3.1  形成概念

问题4  这种运动图形中存在的不变性，针对的两个三角形需要满足什么特征？得出的是什么结论？

特征：等腰三角形（或等边三角形、等腰直角三角形、正方形）共顶点，等顶角.

结论：存在两三角形全等.

如果我们形象地把一个等腰三角形的顶点看作“头”，左底角看成“左手”，右底角看成“右手”，那么可描述成“头对头，左手拉左手，右手拉右手”，那么这种能得到全等的图形的模型就叫做“手拉手模型”.

【设计说明】让学生经历观察、动手操作等一系列活动，提高学生合情推理和演绎推理的能力，让学生用自己的语言概括出“手拉手模型”的概念.

3.2  概念辨析

练习1  如图1，已知AC=AD，AB⊥BC，∠BAE=12∠CAD，利用“手拉手模型”构造全等三角形.

图1

【设计说明】通过让学生构建左手拉左手，右手拉右手，更好地理解全等三角形的作法.

练习2  如图2，将两等边三角形旋转至A，B，D在一条直线的位置关系，你能得出哪几组三角形全等？

图2

追问  若连接FG，你还能得出什么结论？连接HB呢？

FG∥BD，∠CHF=60°，HB平分∠FHG.

【设计说明】通过实验操作，让学生明白当关注更多的点，就可以得出除上述实验得到的全等三角形外其他两组全等三角形，为接下来“手拉手模型”知识的拓展做好铺垫工作.

3.3  知识延伸

^^（2023·安师大附外城东校区初二月考第10题）&&如图3，在△ABC中，∠ABC=90°，点E是BC上一点，过点E作∠AEB=∠AED，连接AD，使∠ADE=∠ACB，连接CD，则下列结论中不正确的是（  ）.

图3

A. AD=AC

B. DE=CE+2BE

C. ∠DAC=∠BAE

D. ∠CDE=∠CAE

解析：如图4，延长EB至点M，使得BM=BE，连接AM.

在△AMB和△AEB中，

图4

BM=BE，

∠ABM=∠ABC=90°，

AB=AB，

∴△AMB≌△AEB（SAS），

∴AM=AE，

∠AMB=∠AEB.

∵∠AEB=∠AED，

∴∠AMB=∠AED，

在△AMC和△AED中，

∠ACB=∠ADE，

∠AMB=∠AED，

AM=AE，

∴△AMC≌△AED（AAS），

∴AD=AC，DE=MC=EC+2BE，∠MAC=∠EAD，

∴∠MAC-∠CAE=∠EAD-∠CAE，即∠MAE=∠CAD，∴∠AED=∠AEB=∠ACD，

∴∠CDE=∠CAE.

∴选项A，B，D均正确.故选C.

【设计说明】通过这个问题，让学生明白在遇到问题时，可以尝试从寻找两个等腰三角形的角度来构建“手拉手模型”，进一步体会“变”与“不变”的数学思想.

4  归纳总结，深度思考

问题5

（1）如何判别图形是“手拉手模型”？

（2）由“手拉手模型”可以得出哪两个三角形全等？

（3）图形在旋转过程中得出的三角形全等用到了什么数学思想？

（4）通过今天的学习，你积累了哪些学习经验？

（5）你还有哪些疑惑？

【设计说明】通过提出一系列问题，进行有针对性的小结，帮助学生回顾本节课的学习过程，构建本节课的知识框架，提炼本节课的重难点，从而更好地内化本节课内容.

5  教学反思

本节课是义务教育教科书人教版八年级上册“全等三角形”应用的内容，之前已经学习了三角形全等的判定以及角平分线的性质，因此，本节课作为全等三角形的应用，有巩固相关知识的目的.笔者根据学生喜欢动手的特征，选择不同的三角形纸片，让学生在课堂中动手操作，得出图形，再对自己画的图形观察、度量、猜想、证明，体会“手拉手模型”得出的两个三角形的由来.在数学课堂中，教师尊重学生的主体地位，从学生已有的认知发展水平、数学知识及数学思维能力出发，引导学生对图形作创造性的构建，体会图形中存在的不变性.

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：“教学活动应注重启发式，激发学生的学习兴趣，引发学生积极思考，鼓励学生质疑问题，引导学生在真实情境中发现问题和提出问题，利用观察、猜测、实验、计算、推理、验证、数据分析、直观想象等方法分析问题和解决问题.”学生在学习新知的过程中，经历了动手操作、观察归纳，从两个具体的三角形中找出全等三角形，归纳两个三角形全等时满足的条件，建立数学模型思想.

参考文献

［1］ 陈超.数学实验在初中数学教学中的运用研究［J］.理科爱好者，2022（3）：44-46

［2］ 董林偉.数学实验：促进初中生数学学习的一种有效方式［J］.中国数学教育，2012（5）：2-5

［3］ 林群.义务教育教科书（人教版）数学八年级上册［M］.北京：人民教育出版社.

［4］ 史宁中，曹一鸣.义务教育数学课程标准（2022年版）解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.