依托“作业研究”实现“教—学—评”一致性

王静 汪元贵

【摘 要】《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出注重实现“教—学—评”一致性，这是当前学科研究的重要命题。“作业研究”作为教学延伸、学习衍生、评价载体，融合教、学、评三维度于一体。在苏教版数学“鸡兔同笼”问题的作业研究中，借助基础性作业和发展性作业，围绕“以‘作业研究为教学延伸，丰富教学场景；以‘作业研究为学习衍生，提升思维能力；以‘作业研究为评价载体，反馈教学效果”的教学探索，实现“教—学—评”一致性

【关键词】数学教学 作业研究 “教—学—评”一致性

“教—学—评”一致性是当前学科研究的重要命题。“作业研究”作为教学延伸、学习衍生、评价载体，完美匹配教、学、评活动，以此为手段促进“教—学—评”一致性的实现，从而达成作业设计与管理的研究目标。笔者围绕“作业”这一主旨进行了探索和实践，以“鸡兔同笼”教学为例，阐述具体思路。

一、 “作业研究”实现“教—学—评”一致性的条件分析

根据作业性质和作业功能，“作业研究”可以分为基础性作业和发展性作业。两类作业研究相辅相生，各有侧重（如图1）。

基础性作业是指以当前学习的基本知识、基本技能为目标，结合教情、学情，设计出的符合学生实际情况的作业类型。基础性作业包含三种类型：一是基础练习，紧扣课时内容，选择能够凸显新概念、新定理的本质属性或者直接运用所学知识解决问题的练习，使学生掌握基础知识、获得基本技能；二是熟练应用练习，在基础练习的水平上设计变式题、迁移题，考查学生熟练且灵活应用的能力，形成解题的技能技巧；三是综合练习，除了围绕本课时内容进行深化，还涉及本单元、相关知识体系、新课渗透等，构建知识网络链，拓展学生知识面。基础性作业设计以学生为本，夯实基础知识，培养学生学习数学的兴趣。

发展性作业是相对基础性作业而言的，是在巩固学生基础知识、基本技能，提升基本思想、积累基本活动经验的基础上，重点培养学生独立思考、合作探究、创新创造的能力，发展学生核心素养的作业类型。发展性作业目标多元，学生可以走出课堂、学校，去更多的场景感受人间百态，将数学与不同领域的知识衔接，使不同的学生得到不同方面、层次的发展，更好地培养学生学习的信心。

除此之外，发展性作业还是监测学生学习水平的有效工具和有力依据。

作业研究作为教学延伸、学习衍生和评价载体，与教、学、评三维活动密不可分。整体把握、精细设计、有效管理的作业研究，可以搭建教、学、评三者的衔接链，实现其一致性并形成螺旋上升态势（如图2）。

二、基于“教—学—评”一致性的“作业研究”设想初探

“鸡兔同笼”问题作为我国古代的数学名题之一，其教学困境主要有三：

一是教学中解法泛滥。作为历史名题的“鸡兔同笼”，难免沦为世人茶余饭后的谈资，从《孙子算经》的半头法，到《算法统宗》的倍头法，还有金鸡独立法、特异功能法、吹哨法、列表法、画图法、假设法、转化法、方程法、面积法、枚举法等，冠以不同名称的罗列，让学生望而生畏。

二是教学中流于形式。从应用题到问题解决，问题解决已然成为数学课堂的中流砥柱，作为数学四大目标之一，更是强调了其在数学学习的地位和价值，数学中不乏“发现问题—提出问题—解决问题—得出结论”等系列流程的模式教学，如同按下了复制键一般，只有躯壳没有灵魂。学生在解决问题的过程中缺乏对方法的自我思考，无法展现思维的形成过程，没有深入分析不同解法的实质，问题得不到整合，课堂教学仍然流于形式。

三是教学中建模偏颇。在强调教书育人的当下，教师义不容辞地担此大任，在教育教学研究中注重解决问题的内涵和外延，但由于诸多因素的影响，建模总是出现偏差，有的只关注内涵，有的只关注外延，从而限制了其实际应用的广度，加之没有深入发掘内核，导致模型建构偏移重心。

依据作业研究的要求，结合“鸡兔同笼”的教学难点，本课时将在“丁丁基础”“丁丁迁移”“丁丁提升”“丁丁实践”四个板块分别安排相关题组，深入浅出，提升趣味性。“丁丁基础”板块观察对比，在差异中发现共通之处，在变中找不变；“丁丁迁移”板块探究“鸡鸭同笼”问题，寻本溯源；“丁丁提升”板块感受“鸡兔同笼”相关问题，建构模型意识；“丁丁实践”板块了解“鸡兔同笼”问题源流，设计解决方案，通过系列活动开阔学生的眼界，形成富有深度的素材。

三、基于“教—学—评”一致性的“作业研究”实践路径

作业研究建立于课标、教材和学情的基础之上，从而实现“教—学—评”一致性。教——教师依托丁丁“和问合探”课堂教学模式的实践与推进对学生进行教导；学——以“探究活动”材料为载体的学生学习经验的积累过程；评——“送你一朵丁香花”评价系统下对学生学习所获情感、知识技能、思想和经验的综合评估。我们旨在改变目前教学中教、学、评三者的单向、独立、平行的现状，明确素养目标，在目标的上位指引下实现“教、学、评”三者的互联、互动、互通，最终实现学生的素养发展。

（一）紧扣教学目标，制定作业目标

在“教—学—评”一致性的引领下，更强调凸显学生主体地位，不仅着眼整体水平，而且聚焦个体差异，让作业指向教学目标，使二者有机统一，实现数学作业功能的最优化。关注教学目标与新课标的有机统整，充分考虑本班、本校、本区域学生的实际情况。制定作业目标时，要充分体现目标的科学性、可测性、针对性，凸显作业目标的导向功能。在思考制定“鸡兔同笼”问题课时作业目标前，我们发掘新课标与之相关描述、研读教学目标、调查了解本班学情，设计了如图3的作业目标。

四个作业目标中，第1点、第2点关注全体学生的发展水平，达成本课时的基本目标；第3点、第4点依据学生的个体差异，满足不同学生的学习需求。作业目标3要求能力稍弱的学生先学会依葫芦画瓢，实现“会用”能力的发展；作业目标4在情感以及价值认同上进行提升，为能力较强的學生搭建平台，让其灵活运用，体现思维和创造能力，实现“活用”能力的发展。笔者在制定课时作业目标时考虑到不同学生的实际情况，并进行分层设计，使每个学生跳一跳也能够得到。

（二）分析内容知识水平，规划双向细目表

课时作业目标敲定之后，需要根据教材进行深入分析，厘清本单元的教学安排以及相关内容的知识脉络，牢牢抓住教学重点、难点。从目标的涉及面、类型的安排情况、水平的层次性确定作业水平、题目类型、难易程度的占比，并预估作业完成的耗时量。“鸡兔同笼”问题是苏教版数学六年级下册“选择策略解决实际问题”单元第二课时的内容，学生已经明白了大量的现实世界的数量关系，获得了比较丰富的解决问题的经验，并对整理已知条件和问题、分析数量关系、解决问题的一般步骤，以及列举、转化、假设等常用解题策略有较为深刻的感悟，已经形成一定分析问题、解决问题的能力。其重点为能够解决鸡兔同笼及其相关问题，体会其中所蕴含的数学方法，建构鸡兔同笼问题模型，难点在于理解假设法中每一步的算理。

结合本课时的作业目标和内容，我们设计了双向细目表。（见表1）

从表1可以明晰看出本课时内容的知识水平分布以及作业所涉及的相关类型，可以多方位地考查学生对本课时知识的认知和掌握情况。

（三）结合课时知识要点，设计课时作业

课时作业的设计要紧紧围绕课时教学目标，带领学生回顾深化知识内涵，沟通与生活之间的联系，综合运用，提升学生核心素养。

1.深耕知识内核，形成知识序列

课时作业首先要巩固例题知识，掌握“鸡兔同笼”问题的解题方法和技巧（如图4）。一星题为“练一练”相似题，只改变了数字，帮助学生熟练“鸡兔同笼”问题的解决办法，可以选择画图、列表、假设等自己喜欢的方法加以说明；二星题、三星题改变条件，将已知“鸡和兔的总只数”分别换成“鸡的只数是兔子只数的2倍”“兔比鸡少5只”，由已知二者之和变成二者倍比关系或者二者之差，条件的更换随之而来的是解题思路的变换。

问题一让学生观察3道题之间的区别与联系，意在首先让学生发现“条件”这个显性的变化，其次通过“条件”变化深层次探索解题路径的转换：还可以使用原来的画图、列表、假设等方法解决吗？这样是否方便？进而发现二星题、三星题如果仍然采用画图、列表，会增加很多工作量，效率不高，所以选择假设法进行思考。在确定解题方法后继续研究，既然3道题都可以使用假设法，假设过程中是否有相通之处，一星题、二星题假设全部都是鸡或者全部都是兔；三星题假设兔和鸡一样多，一只兔有4条腿，一只鸡有2条腿，兔的腿数是鸡的2倍，将所有的兔变成鸡，这样就有3份同样多的鸡。不难看出3道题都是将两种动物假设成一种动物，便于思考计算。

厘清了3道题框架结构以及联系，问题二让学生自己挑选1题解答，虽然难易程度略有差别，但是训练的思维点一致，学生可以根据自身情况选择想要挑战的星级练习。

2.突出本质属性，建构问题模型

为什么是“鸡兔同笼”，而不是“鸡鸭同笼”？学生会有这样的疑问。既然缘起疑问，那就来解决疑问，一道“鸡鸭同笼”题目应运而生（如图5）。

问题一让学生试着解决，出现了以下三种情况：第一种，认为此题无解，在用假设法解决时，原有腿的条数和假设之后总腿数一样多，无法继续求解；第二种，认为此题多解，鸡和鸭的只数可以分别是1和34、2和33、3和32、4和31……；第三种，认为“腿有70条”这一条件多余，因为只要鸡和鸭一共35只，腿的总只数肯定就是70。因为鸡和鸭都是两条腿，没有差量，导致“鸡鸭同笼”问题没有唯一的解，这类题目的实际意义不大。

在问题一的探索中学生感受到了“鸡兔同笼”问题和“鸡鸭同笼”问题的本质区别。问题二在此基础上让学生自己设计一个“鸡兔同笼”相关问题，有的学生改变数量，有的学生更换情境事物，如“鸡猪问题”“牛鸭问题”，还有的学生既改变数量，又更换情境事物，甚至打破2和4的配比限制，跳出动物的框架，如2元和5元、汽车和自行车车轮等。由此将“鸡兔同笼”问题与生活建立联系，将其推广到日常情境之中，“鸡兔同笼”问题并非局限于“鸡”“兔”一对情境，而是可以拓展为许许多多生活场景中的事物，虽然对象改变了，但是结构不变、实质不改，“鸡兔同笼”问题正是这一类问题的原型，建模由此拉开序幕。

3.强调对标找差，重视应用迁移

以“丁丁迁移”板块中四个学生作品为原型进行加工，呈现图6中四道“鸡兔同笼”模型题，星级题目供学生自主选择其中一题完成。第一题较为简单，将情境设定为“邮票问题”，1元5角和2元的配比相差为5角或0.5元，打破了原有的2和4配比，思路不变，解题时关注单位统一即可；一星题将情境设定为“答题问题”，将已知两个未知量设定为做对1题得10分，做错2题倒扣5分，重点理解倒扣5分，一正一负的相差15分；二星题将情境设定为“油桶问题”，对已知条件稍做调整，由已知两个未知量的不同倍数和，变为两个未知量的不同倍数差，仍然可以使用假设法，重点关注假设之后数量变化规律；三星题将2个未知量变为3个未知量，已知3个未知量的和，以及3個未知量两组不同倍数的和，在各方面都进行了升级。3个未知量，学生的畏难情绪不禁油然而生，细细琢磨下来发现蜻蜓和蝉都是6条腿，对于总腿数而言只有6条腿和8条腿之分，蜘蛛没有翅膀，对于总翅膀对数而言只有2对和1对之分，两个条件本质上都只有两个未知数，有了以上认识三星题也就迎刃而解。

基于“教—学—评”一致性的作业研究内涵丰富，有助于学生从现实生活中抽象出数学问题，会用数学的眼光观察现实世界；有助于学生从数学的范畴理解和解释现实世界，会用数学的思维思考现实世界；有助于学生掌握描述和交流的方式，会用数学的语言表达现实世界，其对发展学生核心素养、培养学生综合应用能力、形成数学知识体系化脉络具有重要意义。

【参考文献】

[1]华柳婷，李国良.目标引领下教—学—评一致性的作业研究以人教版数学三年级下册“年、月、日”单元为例[J].小学教学研究，2023（31）.

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[3]郑璟.“双减”背景下小学数学作业设计研究[J].教育界，2021（45）.