初中数学技巧教学解析

李建功

【摘要】本文通过详细分析一次函数在求解最大利润和最小花费等实际问题中的应用，阐明利用一次函数的数学性质可以高效解题的技巧.文中举出多个例题，说明如何构建变量之间的线性关系模型，将实际问题转化为求解一次函数极值问题的方法.同时，着重解析运用一次函数的增减性质可以快速判断函数值大小关系，从而简便地得出最优解的解题策略.这种模型方法不仅能培养学生分析问题、建立模型的能力，也能加深他们对一次函数曲线变化趋势和函数值比较的理解，使学生学会用数学工具描述变量之间的数量关系.这种训练对提高学生的逻辑思维与运算能力有着深远的意义.

【关键词】初中数学；一次函数；解题技巧

1 引言

初中数学学习一次函数具有重要的意义，因为它为学生提供了解决实际问题、建立数学模型的基础.一次函数是一种简单而重要的数学工具，通过它，学生可以培养关于线性关系、变化率和最值问题等方面的数学思维.首先，一次函数的学习有助于学生理解和描述线性关系.在实际生活中，很多现象都可以通过一次函数表示，比如时间与距离的关系、价格与数量的关系等.通过学习一次函数，学生能够更好地理解这些现象背后的数学规律，从而建立对线性关系的直观感受.其次，一次函数的引入能帮助学生掌握变化率的概念.一次函数的斜率代表了函数的变化率，这对理解事物的增长、速度的增减至关重要.学生通过研究一次函数的斜率，能够更深刻地理解变化率的概念，为后续学习更复杂函数的导数打下基础.

2 借助一次函数求最大利润

一次函数的学习培养了学生解决最值问题的能力.通过建立一次函数模型，学生可以应用数学方法解决现实中的优化问题，比如最大利润、最短时间等.这种能力对学生在日后的学业和职业中都具有实际应用的价值.在最值问题中，一次函数常用来表示某个变量与另一个变量之间的线性关系.例如，如果我们有一个关于时间的一次函数，可以用它来描述某个物体的位置随时间的变化情况.在这种情况下，我们可能对这个一次函数进行最值问题的求解，如找到物体的最大高度或最短时间到达某个位置等.

例1 某企业准备销售投影仪帮助希望小学进行数字化升级改造，该企业现有A、B两种型号的投影仪，进货价与销售价如表1所示.

该企业购入A、B两种型号的投影仪共耗费32000元，希望小学完成数字化升级改造后该企业共获利4400元．

问题1：该企业分别购入多少台A、B两种型号的投影仪？

问题2：若该企业再次购入A、B两种型号投影仪共30台，其中B型投影仪的数量不多于A型投影仪数量的2倍，请设计一个方案使该企业购入两种型号投影仪各多少台时获得最大利润，最大利润是多少？

解析 （1）设该企业购入A、B两种型号的投影仪分别为a台，b台，

则3000a+3500b=32000（3400-3000）a+（4000+3500）b=4400，

解得a=6，b=4.

因此该企购入的A、B两种型号的投影仪分别为6台和4台.

（2）设购入A型号投影仪x部，购入B型号投影仪（30-x）部，最终获利为ω元，

ω=（3400-3000）x+（4000-3500）（30-x）=－100x+15000.

因为B型号投影仪的数量不多于A型号投影仪数量的2倍，

所以30-x≤2x，

解得x≥10.

因为ω=－100x+15000，当x=10时，ω取最大值为14000.

所以当该企业购进A型号投影仪10台，购入B型号投影仪20台时获得最大利润，最大利润为14000元.

例2 随着一带一路经济带的蓬勃发展，越来越多的企业在我国新疆设厂，将产品销往“一带一路”沿线国家.某手套厂每月生产A、B两种规格的手套共20万双，且当月生产的手套可以全部销售，该手套厂两种规格手套的成本及售价如表2所示.

（1）假如该手套厂五月份的销售收入为300万元，则该手套厂五月分别生产了多少双A、B规格的手套？

（2）假如该手套厂六月份投入的成本不超过216万元，则如何安排生产A、B两种规格的手套才能令该手套厂的利润最大？同时求出最大利润是多少.

解析 （1）设该手套厂生产A、B两种规格的手套分别为a双，b双，

由题意可得18a+6b=300a+b=20，

解得a=15，b=5.

所以分别生产A、B规格的手套15万双和5万双.

（2）设该手套厂六月份分别生产A，B规格手套x万双和（20-x）万双，利润为ω万元，

由题意可得12x+4（20－x）≤216，

所以x≤17.

因为ω=（18－12）x+（6－4）（20－x）=4x+40是一次函数，ω随x的增大而增大，

所以x=17时，获得最大利润ω=4×17+40=108（万元）.

3 借助一次函数确定最少花费

用一次函数求最大利润和最小花费的原理相似.在这两种问题中，都通过建立与变量相关的线性模型来描述利润或花费随产量的变化.对于最大利润，利润是收入与成本之差，而对于最小花费，花费是总花费，这两者均可表示为一次函数形式.通过限定范围求极值来解决最大利润和最小花费的问题.这种方法为解决实际问题提供了一种简单而通用的数学工具，帮助我们理解和优化各种生产和消费情境.

例3 某市举办“初中生创新创意知识大赛”，组委会计划购买A、B两种奖品共30件，现已知奖品A每件价格30元，奖品B每件价格20元.

问：如果组委会购买的B奖品不超过A奖品数量的3倍，那么分别购买多少件A、B奖品花费最少？

解析 设A种奖品购买了x件，则B种类奖品购买了（30－x）件，

由题意可得30－x≤3x，

解得x≥7.5.

设购买两种奖品的总金额为ω元，

因为ω=30x+20（30－x）=10x+600是一次函数，

所以ω随着x的增大而增大，即当x=8时，ω有最小值，即ω=10×8+600=680.

所以当购买A种奖品8件，B种奖品22件时总费用最少，最少的费用是680元.

4 结语

一次函数为学生提供了理解变量之间线性关系、分析变化率、建立数学模型的基础.通过学习一次函数的性质，学生可以培养解决实际问题的能力，为后续学习奠定坚实的基礎.希望学生在学习过程中加强对一次函数本质的理解，灵活运用所学知识分析和解决问题.在学习过程中，学生应通过大量练习，熟练掌握应用一次函数的技能.只有融会贯通了一次函数的数学概念与解题技巧，才能灵活运用所学知识分析和解决实际问题，这是学习一次函数的最终目标.

参考文献：

［1］周清波.渗透模型思想提高解题能力——以一次函数问题为例［J］.数理化解题研究，2023（20）：44-46.

［2］朱宸材，茅莉萍，徐芷筠.指向初中生模型观念培养的教学实践与反思——以一次函数、一元一次方程和一元一次不等式为例［J］.中小学课堂教学研究，2023（06）：56-60.

［3］刘小慧.培养模型意识发展数学思维——以“一次函数（1）”的教学为例［J］.数学教学通讯，2023（14）：36-37+60.