基于“平面向量‘爪型’模型演示器”的教学探究

高艳

摘要：本文基于“平面向量‘爪型模型演示器”进行了教学探究，以帮助学生加深对平面向量基本定理、平面内的三点共线定理、向量加法的平行四边形法则、平面向量“爪型”模型中向量的关系、平面向量等和线定理等概念的理解，提高用平面向量解决问题的效率.

关键词：向量；解三角形；演示器

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）12-0018-03

在教学活动中，对于平面向量基本定理中三点共线的两向量的系数之和为1的共线定理，学生理解不够深刻，记忆不够准确，且不能够快速准确地用两個基向量描述出第三个向量，在两个基向量的系数问题上常出现错误.在解三角形的问题中，大题会经常出现“爪型”模型，而此模型往往又需要用上面所说的平面向量“爪型”模型来解决，因此如何快速地用向量来进行描述，是学生在高中学习中经常遇到的问题.将“平面向量‘爪型模型演示器”应用于数学和物理等学科的课堂教学和课外实践活动，能够较好地解决此教学问题.在使用过程中，通过理论联系实际，加深学生对平面向量基本定理、平面内的三点共线定理、向量加法的平行四边形法则、平面向量“爪型”模型中向量的关系、平面向量等和线定理及物理中力的合成和分解等概念的理解.本文基于此演示器进行教学探索，旨在帮助学生自主地探究研究爪型的性质，从而使其形成直观的知识记忆，更好地解决相关问题.

1 演示器的制作

1.1 制作材料

六根槽条（可用KT泡沫板或PVC板）、螺丝、皮筋、画笔、半圆仪、强磁吸螺母.

1.2 制作过程

把三根槽条分别用强磁吸螺母连接，形成等边三角形ABC，三根槽条对应的边分别记为AB、AC、BC. 再把两根槽条用半圆仪连接成60°的夹角，用一个强磁吸螺母固定在三根槽条的边BC上，记为点D，强磁吸螺母不要拧紧，使得点D可以在槽条BC上移动，“爪型”模型如图1所示.

之后，把两根槽条的另外左右两边，分别用螺丝连接在槽条AB、AC上，螺丝不要拧紧，让左右两根槽条能自由移动，与槽条AB、AC的交点分别记为E、F，E、F两点会随着点D的移动而移动.最后将皮筋挂在螺母上，连接点A与点D用来表示向量，演示器成品如图2所示.

至此，“平面向量“爪型”模型演示器”制作完成，可灵活地将其实际应用于实际教学.

1.3 演示器的创新点

该器材结构简单，制作和使用方便，具有较强的实用性，同时也易于上手操作且形象直观，让数学中的常见模型“活”了起来.在实际教学使用中，该演示器可以展示运算过程，引发学生思考，显著加深学生的印象，使学生能够在脑海中形成动态图象，经久不忘，且在遇到相关题目时能迅速联想并用此模型解决问题.槽条可以用KT泡沫板或PVC板制作，制作成本较为低廉.此外，由于有强磁可以固定在黑板上，该器材既适合在室内操作，也适合在室外使用.

2 基于演示器的教学探究

2.1 演示器教学的科学方法与原理

2.1.1 平面向量基本定理

如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对（x，y），使p=xa+yb.

这个定理其实说明了平面向量可以沿任意指定的两方向分解，同时也说明了由任意两向量可以合成一个向量，即向量的合成与分解［1］.由于AD与AE、AF共面，由平面向量基本定理可知存在唯一实数对（x，y），使AD=xAE+yAF.

2.1.2 平面向量加法的平行四边形法则

若四边形ABCD为平行四边形，则AB+AD=AC，如图3（a）所示.

根据平面向量加法的平行四边形法则，由于角A与动点D左右两根槽条形成的夹角都是60°，当点D在槽条BC上移动时，只需让左右两个槽条分别与槽条AC、AB保持平行（此过程易于操作），所以四边形AEDF一定为平行四边形，符合平面向量加法的平行四边形法则，有AD=AE+AF，过程如图3（b）所示.

2.1.3 平面向量中三点共线定理

在平面中B、C、D三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点A，存在唯一的一对实数x、y，使得AD=xAB+yAC，且x+y=1.

特别地有：当点D在线段BC上时，x>0，y>0，当点D在线段BC之外时，xy<0.

2.1.4 平面向量等和线定理

已知平面内一组基向量AB，AC及任一向量AD，且AD=λAB+μACλ，μ∈R，若点D在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则λ+μ=k（k为定值），反之也成立，则把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线，等和线定理是三点共线的延伸.

2.2 基于演示器的学生探究设计

用向量BD与向量DC的比值来描述点D的位置，即BD=λDC，组织学生通过实际操作演示器，演示当点D在不同位置的情况，然后填写表1.

通过上述的模拟演示，学生能快速发现并归纳平面向量“爪型”模型中向量的关系：

当点D在线段BC上时BD=λDC（λ>0），当点D在线段BC外BD=λDC（λ<0），都有AD=1λ+1AB+λλ+1AC.进而归纳总结共线定理，得到点D在直线BC上时，不论λ为何值AB和AC前的系数之和为1，即直线BC是系数和为1的等和线.再引导学生深层次地挖掘D所在位置对λ正负和绝对值大小的影响、λ蕴含的极限思想以及等和线定理.

2.3 基于演示器的题目设计

演示器教学探究的题型设计如下：

题1在△ABC中，点D在边BC上，且BD=2DC，则（ ）.

A.AD=AB+2ACB.AD=2AB+AC

C.AD=23AB+13ACD.AD=13AB+23AC

题2在△ABC中，点D在边BC上，若AD=23AB+13AC，则BDDC=.

题3在△ABC中，點D在边BC上，若AD=xAB+yAC，则x+y=，xy的最小值为.

题4在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以C为圆心且与BD相切的圆上，若AP=λAB+μAD，则λ+μ的最大值是.

2.4 基于演示器的探究展示

通过演示器演示探究的结果如图4至图9所示，图4为点D在线段BC的三等分点（靠近点C）时的演示结果，图5为点D在线段BC的三等分点（靠近点B）时的演示结果，图6是点D为线段BC中点时的演示结果[2].

学生通过图4和图5的探究能直观地解决题目1和题目2：在△ABC中，点D在边BC上，且BD=2DC，则AD=13AB+23AC.在△ABC中，点D在边BC上，若AD=23AB+13AC，则BDDC=12.

通过具体的操作得到平面向量“爪型”模型中向量的关系后，再归纳总结平面向量中三点共线定理.由此可以解决三点共线问题，如题目3：在△ABC中，点D在边BC上，AD=xAB+yAC，则x+y=1，再结合基本不等式得到xy的最小值为14.

根据上述的演示，再通过第六根槽条（移动时始终保持与直线BC平行）的演示，演示结果如图7、图8所示，根据演示可将三点共线定理延伸得到等和线定理及易得的结论，其中AD=λAB+μACλ，μ∈R，λ+μ=k，具体结论如下：

①当等和线恰为直线BC时，k=1；

②当等和线过A点时，k=0；

③当等和线在A点直线BC之间时，k∈0，1；

④当等和线在直线BC之外，与AB同向时，k∈1，+∞；与AB反向时，k∈-∞，0；

⑤若两等和线关于A点对称，则定值k互为相反数；

⑥|k|的变化与等和线到A点的距离成正比.

通过演示能够形象直观地解决题4中λ+μ的最大值是3，具体过程如下所示：

由共线及等和线定理可知，当P在直线BD上时λ+μ=1，当P在直线EF上时λ+μ=2，当P在直线GH上时λ+μ=3，此时为最大值，具体如图9所示.

3 结束语

通过“平面向量‘爪型模型演示器”进行教学探究，并将其应用到实际教学中，使抽象的数学概念变得具体可见.能够引导学生使用科学思维理解问题，通过直观演示自主获取问题的答案，进而抓住知识的本质，学生的动手能力、思考能力、创新能力得到锻炼，教学重难点也可迎刃而解.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（ 2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

[2] 王凯.刍议“爪”形图在平面向量共线问题中的处理策略[J].教学考试，2021（2）：3.

［责任编辑：李璟］