电容器能量公式在强基计划试题中的应用

黄通

摘要：电容器中存储的电能及其等价形式，是高校强基计划考试中的一个考点.电容器中存储的静电能可以细分为自能和互能.文章先给出电容器的能量公式，并分析其来龙去脉，然后分析自能和互能以及它们之间的关系，最后给出电容器的能量公式在高校强基计划考题中的应用.

关键词：电容器；能量公式；自能和互能；强基计划

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）12-0068-03

电容器是一种容纳电荷的器件，任何两个彼此绝缘且相隔很近的导体间都构成一个电容器.电容器有多种，下面主要研究平行板电容器中存储的电能及其能量公式在高校强基计划考题中的应用.

1 电容器的能量公式

电容器中存储的电能为W=12CU2，这就是电容器的能量公式.

由于Q=CU，故它还有另外两个等价形式：

W=Q22C，W=12QU［1］.

要牢牢记住这个公式， 一般强基计划的考试中一旦出现， 只需要简单使用此公式就可以了.

2 自能和互能

静电能又可以细分为自能和互能.自能是指只有一个带电体的静电体系所带的电能.任何一个带电物体，可以将其看作由无限多个小块组成的静电体系，因此也会有静电能，这个静电能就叫作带电体的自能.如果带电的物体较多（大于等于两个），除了带电体自身引起的自能外，还有一个相互作用能，这个相互作用能就叫作互能.

一般来说，对于多个带电体组成的系统，其总电能包含以下两个部分：

（1）每个带电体的自能.它的大小定义为让它的每一小块依次无限远离时电场力所做的功[2].

（2）各个带电体之间的互能.它的大小为各个带电体距离无限远离时电场力所做的功.

经过推导，我们可以把互能定义为W=12W12+W21，写成平权形式，是为了便于推广.推而广之，如果有3个点电荷系统，则有

W=12W12+W21+W23+W32+W13+W31

=W12+W23+W13.

简单地说，假定电荷qi在qj处激发的电势为Uij，则有qjUij=qiUji.比如q2U12=q1U21.以此类推，得总功为

W=12［q1（U21+U31）+q2（U12+U32）+q3（U13+U23）］

令U1=U21+U31，U2=U12+U32，U3=U13+U23，则

W=12q1U1+q2U2+q3U3=12∑3i=1qiUi.

推广可知，n个点电荷系统的互能为

W=12∑ni=1qiUi.

特别注意，式中Ui为qi所在处除qi以外的其他电荷所產生的电势.

如果我们画个圈，把上面讨论中的q1，q2和q3全部囊括进去，使其变成一个带电体A的 3个组成部分，这样上面讨论中得到的W=12∑3i=1qiUi就是A的自能了.

3 自能和互能的关系

就像研究运动时要说明参考系一样，在研究静电能时也要说明要研究的对象到底是点电荷还是一个带电体.如图2所示的3个点电荷，我们做两种处理来比较：

（1）将每个独立的点电荷看作一个“子系统”，整个体系的静电能等于3个点电荷的自能和它们之间的互能之和.

（2）将q1和q2合起来看作一个“子系统”，而q3视作另一个“子系统”，整个系统的静电能等于两个子系统的自能和它们之间的互能之和.

很明显，两次的自能和互能都不相等，但是自能和互能之和是相同的.如果系统中有点电荷q，除了它还有许多其他的电荷，假定q在其他电荷共同激发的电场中运动，再假设在q运动的过程中q和其他电荷的电荷分布均不改变，即q和其他电荷的自能均不改变.我们把眼光紧紧盯着q，如果它在加速，则根据能量守恒可知，它增加的动能必然来源于两个子系统之间的互能的减少量.而我们又知道q动能的增加量等于系统势能的减少量.这样就自然可以得：到子系统互能的减少量=系统势能的减少量.

所以点电荷q在电场中一点的势能就是点电荷q在外电场中一点的互能，即并未包括q的自能.

将以上的点电荷系统推而广之，自然只需要考虑体系中互能的变化量，前提是自能不发生变化，即带电体的电荷分布不改变.但实际上是很难保持电荷分布不变的，例如由两个导体组成的带电系统，由于远近不同，其上分布的电荷肯定会有所变化，这个时候再把导体整体作为一个子系统，其自能就必然会变化.

这样一想，我们不如把每个微元电荷作为一个子系统，这样每个子系统的自能就自动为零，所有的静电能全为互能，并且所有的“导体系”也不再成立，变成了“点电荷系”.这样，总的静电能自然是W=12∑ni=1qiUi，其中Ui为qi所在处除qi以外的其他电荷所产生的电势.

如果只有一个带电体，它的静电能可做如下定义： 设想将该带电体分割成无限多的电荷元，把所有电荷元从现有的集合状态彼此移送至无限远处，则电场力所做的功即为此带电体的自能.可用下式表示：W=12∫qUdq.

4 在强基计划试题中的应用

例1一绝缘的均匀带电球体，其半径为R，总电荷为Q，求其静电能.

解导体内、外的电场分布为

E1=kQR3r（rR），

球内取r→r+dr的薄球壳， 电量为

dQ=ρdV=Q43πR3·4πr2dr=3QR3r2dr，

电势为

U=∫RrkQR3rdr+∫

SymboleB@

RkQr2dr=kQ2R33R2-r2，

所以静电能为

W=12∫UdQ=12∫R0kQ2R33R2-r2·3QR3r2dr

=3kQ25R.

例2如图3所示，正六边形的边长为a，各顶点处有固定的负点电荷-q，中心有一正点电荷2q，试求该带电体系的互能.

解在这些点电荷中，不重复地选出各种可能的配对，则带电体系的互能就是这些配对能量之和，所谓不重复就是说不用最后除以2，下面来数数看.

两个-q相距为a，共6对，互能为

W1=6×kq2a=6kq2a.

两个-q相距为2a， 共3对，互能为

W2=3×kq22a=3kq22a.

两个-q相距为3a，共6对，互能为

W3=6×kq23a=23kq2a.

-q与2q相距为a，共6对，互能为

W4=6×-2kq2a=-12kq2a.

所以系统的互能为

W=∑4i=1Wi=kq2a23-92.

例3（2017年清华领军）平行板电容器和电源相连，现向电容器极板间插入电介质，则下列说法中正确的是（）.

A.电源对电容器做正功

B.电容器储存的能量在增加

C.极板对电介质做正功

D.极板对电介质做负功

解电容器电容变大，但电压不变，因此带电量和储能都相应增大.选ABC.

例4（2014年复旦大学千分考）原先不带电的電容C通过导线接到电动势为U的电源两端充电，直至电荷充满.设电容极板电阻和电源内阻与导线电阻相比可忽略不计，各种热传导忽略不计，则充电前后（）.

A.电容质量没有变化

B.电源质量没有变化

C.电源质量减小CU22c2

D.导线质量增大CU22c2

解充电后电容器贮有电能CU22，但电源减少的能量为CU2.忽略电磁波损耗，则在导线上的发热量为CU22，相应导线的质量增大CU22c2.选D.

例5（2017年北大博雅） 如图4所示，一平行板电容器，极板面积为S，板间距离为d， 与电动势为U的稳恒电源串联.现将一厚度为d、面积为S、相对介电常数为εr的电介质插入极板之间，则在该过程中外力做的功为（）.

A.SU22πkdεr-1B.SU24πkdεr-1

C.SU28πkdεr-1D.SU216πkdεr-1

解插入前C1=S4πkd，插入后C2=εrS4πkd，故外力做的功为

W=12C2U2-12C1U2=SU28πkdεr-1.

选C.

5 结束语

电容器除了常见的平行板电容器外，还有球形电容器、圆柱形电容器及孤立导体电容器.电容器能量的统一公式是W=12CU2，熟悉该能量公式及其等价形式，对解决高校强基计划考试题是很有帮助的.

参考文献：

[1]沈建堂.平行板电容器的能量计算[J].物理通报，1995（08）：28-29.

[2] 彭先玉，张守娟.静电场能量的计算[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，1996（02）：25-31.

［责任编辑：李璟］