思维导图在初中数学函数解题教学中的应用

■福州市第十五中学 郑雪丽

思维导图是一种图形化思维工具，通过关键词、颜色和图形展现信息的层次结构和相互关系，有助于提高记忆和理解能力。在初中数学函数的教学中，解题不仅要求学生掌握基础概念和计算技巧，而且要求他们能够理解函数之间的关系以及其在实际问题中的应用。思维导图的引入，旨在帮助学生构建数学概念之间的连接，促进深层次理解，并在此基础上提高解题效率。然而，将思维导图应用于数学函数解题教学过程中，存在一定的挑战，特别是在教师的技能熟练度和学生的接受度方面。因此，探索有效的应用策略，对于提升思维导图在数学函数教学中的实际效用具有重要意义。

一、思维导图在初中数学函数解题教学中的应用价值

（一）有利于加强学生概念理解和信息整合能力

在初中数学函数解题教学中，思维导图的价值在于加强学生对数学概念的理解。通过将函数的定义、性质、图象和应用等核心内容以图示形式呈现，思维导图帮助学生直观地捕捉数学概念的结构和内在联系。这种图形化的信息组织方式不仅提升了学生理解概念的深度，而且扩展了他们对知识的广度。通过思维导图，这些信息能被有效地整合在一张图中，帮助学生建立起各个知识点之间的联系。这种视觉化的整合方式使得学生在掌握单一知识点的同时，也能够形成对数学函数整体的把握。

（二）有利于提升学生学习积极性和培养创新思维

传统的数学学习方式可能因其抽象和枯燥的特性而使学生感到挫败。相比之下，思维导图以其多彩、动态和可互动的特性，能够激发学生的学习热情。它引导学生以更主动的方式探索和建立知识之间的联系。这种主动的学习态度对于提升学生的学习效果至关重要。例如：通过思维导图的应用，学生可以更加主动地参与到函数的学习中，寻找不同函数之间的联系和差异，从而在有趣的探索过程中加深对数学的理解。此外，思维导图的应用还有助于培养学生的创新思维。在解决数学函数问题时，不但要逻辑严密的推理，更要创新的视角来寻找解题的突破口。思维导图允许学生自由添加元素和连接，鼓励他们在发散思维和集中思维之间找到平衡，激发解题时的创新灵感。例如：学生可以在探索不同类型函数的共性和个性时，通过思维导图进行创新的思考，从而在解决数学问题时有了新颖的解决方案。

二、思维导图在初中数学函数解题教学中的应用策略

（一）构建数学思维导图，巩固数学知识

在初中数学函数解题教学中，为巩固数学知识，教师可以通过视觉化工具辅助学生掌握复杂的数学概念和解题技巧。为此，教师要向学生介绍思维导图的基本概念和构建方法。例如：在探索二次函数时，学生可以围绕函数的核心概念（如定义、图象、性质等）展开，将相关的数学公式、图形特点及其应用场景等信息整合到导图中，如图1 所示。在这个过程中，教师不断提供反馈和指导，帮助学生在正确理解数学概念的基础上，有效运用思维导图来组织和记忆知识点。

图1 二次函数思维导图

此外，教师可以组织基于思维导图的互动课堂活动，以二次函数为例，让学生小组合作探究以下数学问题：探究二次函数y=ax²+bx+c（其中a≠0）的图象特征和顶点坐标的求法。

解题步骤：

1.理解基本概念：首先，小组成员共同讨论二次函数的基本形式和一般特征，理解a、b、c这些参数对图象的影响。

2.图象绘制：运用所学知识，手工或使用计算工具绘制二次函数图象，观察不同参数值下图象的变化。

3.顶点坐标探究：通过公式x=-—推导顶点的横坐标，进而计算顶点的纵坐标。

4.实例应用：选择具体的二次函数，如y=2x²-4x+1，运用以上步骤确定其图象和顶点坐标。

5.思维导图制作：在思维导图中展示二次函数的定义、图象变化规律、顶点坐标求法及实例应用，确保所有重要信息被清晰记录。

6.小组分享：每个小组展示他们的思维导图和解题过程，相互学习、讨论和提出改进建议。

通过这种方式，学生在合作探究的过程中不仅能够深入理解二次函数的核心概念，而且能够学会如何用思维导图有效地组织和呈现数学知识，从而提升他们的数学思维能力和团队协作能力。有效的数学思维导图还需要教师定期更新和优化，以适应教学进度和学生的理解发展。随着教学的深入，可以在思维导图的适当部分，添加二次函数在不同领域的应用。例如：指出在建筑学中，二次函数用于设计拱桥的弧线，这需要考虑到桥的跨度和高度，以确定最佳的抛物线形状；在物理学中，二次函数用于计算投射物的最高点，这涉及初速度和加速度的关系；在经济学中，二次函数可以描述成本与产量之间的关系，分析最大利润点。

（二）优化数学思维导图设计，增强学生学习能力

为增强学生学习能力，优化思维导图设计，教师可以引导学生运用并创新思维导图，以促进其发散性思维和解题技能的发展。应用思维导图时，首要策略之一是丰富教学资源。具体而言，教师可以建立一个包含丰富思维导图模板和实例的资源库，这个库应涵盖思维导图模板和实例。提供解题策略和案例的导图，帮助学生理解如何应用这些函数解决实际问题，同时要设计思维导图教学活动方案。例如：在教授二次函数时，教师可以在线绘制函数图象，标注顶点、对称轴，而学生则可以添加他们的解题步骤或问题解答。为了更有效地在初中数学函数解题教学中应用思维导图，具体案例如下：

已知一次函数y=3x+2，反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限内的图象交于点B，且B 的横坐标为1。同时，通过点A（一次函数与y 轴的交点）作AC⊥y轴，交反比例函数y=kx（k≠0）的图象于点C，如图2所示。

图2 函数图象

此时，思维导图的中心为解决两个问题：求出反比例函数的表达式和计算三角形ABC的面积。

问题：通过读题，你能找到哪些已知条件？

预设：一次函数y=3x+2，与反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限内的图象交于点B，且B的横坐标为1，AC⊥y轴。

追问1：如何求反比例函数的表达式？

预设：求出点B的坐标，进而求得反比例函数的表达式。

追问2：如何求点B的表达式？

预设：点B是一次函数y=3x+2上一点，并且已知B的横坐标为1，即可求出点B的坐标。

追问3：如何求△ABC的面积？

预设：求出AC的长以及点B到AC的距离，利用三角形的面积公式可以求出。

追问4：如何求AC的长以及点B到AC的距离？

预设：根据AC⊥y 轴，能够得到点A 的坐标.知道反比例函数的解析式和点C 的纵坐标，进而求出点C 的坐标，就能得到AC 的长度以及点B 到AC 的距离，最后求出面积。

本案例设计应专注于直接提升学生的学习体验和解题技能，教师引导学生通过案例研究，通过探讨一次函数和二次函数的区别，让学生通过绘制思维导图来比较和对比这两种函数的性质和应用。

（三）应用数学思维导图，促进学生核心素养提升

为了提升学生数学学科核心素养，教师需要在初中数学函数解题教学中特别强调思维导图的应用，以确保思维导图能够有效地帮助学生提升在数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等方面的能力。在数学抽象方面，教师可以引导学生使用思维导图来整理和理解数学函数的基本概念和性质。例如：在教授二次函数的基本概念时，教师可以引导学生使用思维导图来整理二次函数的定义、公式、性质等。如思维导图中心是“二次函数”，分支包括“标准形式”“图象特征”“顶点坐标”等，帮助学生从具体实例中抽象出通用规律。在逻辑推理方面，教师可以通过思维导图展示二次函数概念之间的逻辑联系，如公式推导、性质证明等。思维导图可以清晰地展示从“定义”到“性质”再到“应用”的逻辑路径，帮助学生理解和运用逻辑推理。如图3 所示。在数学建模方面，在解决实际问题时，教师可以引导学生利用思维导图来构建数学模型。例如：可以通过思维导图帮助学生识别和表示实际问题中的关键变量和它们的函数关系。在直观想象方面，思维导图中可以包含二次函数的图象和关键点（如顶点），并使用不同颜色或符号来区分不同类型的信息，这样的视觉化表达有助于学生直观理解函数的图象特性。在数学运算方面，教师可以指导学生使用思维导图整理和概括解决二次函数问题时的计算步骤和方法，如公式变换、方程求解等运算步骤。在数据分析方面，如在分析二次函数的实际应用时，如物理运动、市场分析等，教师则可以引导学生使用思维导图来分析和解释数据。例如：通过思维导图展示如何根据给定数据确定函数模型，以及如何解释这些数据。

图3 二次函数教学流程

此外，为了确保思维导图的有效使用，教师还应定期对学生的思维导图进行评估和反馈。教师在评估学生的思维导图时，首先应关注其内容的准确性和完整性。例如：在评价一个关于二次函数的思维导图时，教师可以检查是否包含了二次函数的基本定义、公式、性质、图象特征及应用实例等关键要素。此外，教师还需检查信息的逻辑组织是否清晰，比如是否合理地展示了从定义到性质再到应用的逻辑关系。同时，教师应肯定学生在思维导图设计上的创新和独到之处。例如：如果学生在思维导图中运用了创意的图形、颜色或符号来区分不同类型的信息，或者能够将复杂的数学概念通过简洁的图形或图表形式表达，这些都是值得表扬的创新之处。教师的肯定不仅能激励学生继续在思维导图的应用上进行探索和创新，而且能帮助他们建立自信，进一步提升解题能力和学习动力。通过这种评估和反馈，教师既能确保思维导图工具被正确且高效地应用在数学学习中，又能促进学生数学核心素养的发展。

三、结语

综上所述，思维导图作为一种强大的视觉工具，帮助学生更清晰地理解和记忆复杂的数学概念。教师在教学过程中的导图构建，辅助了学生掌握复杂的数学概念和解题技巧的创新设计；对思维导图的绘制，促进了学生发散性思维和解题技能的发展；对学习步骤的精心调整，为学生构建了一个更加高效和系统的学习环境。这种教学方法的应用不仅提升了课堂的互动性和学生的学习动力，而且为培养学生的综合思维能力和未来学术成长打下了坚实的基础。随着教育技术的不断进步，这种以学生为中心的教学策略将继续引领教育创新，为学生的全面发展提供支持。