核心素养下数学思维能力的提升实践

■天津市静海区瀛海学校 刘林炜

常常听到学生反馈：老师讲的例题都听懂了，概念、定理和公式也都记熟了，但解题还是困难重重，找不到合适的解题思路和方法。其主要原因在于，在课堂教学中，教师没能充分调动学生的思维，只注重教学结果。因此，在课堂教学中，教师不仅要传授知识，更要传授获取知识的方法，让学生变“学会”为“会学”。因此，教师要对教学内容进行准确的定位，从知识、技能、方法和情感态度等方面进行判断，设计和选择教学路径，实现让数学成为文化、让探究成为习惯的数学教学目标。

一、激活思维：紧扣新知本质，创设问题情境

在教学中，教师应基于学生已有的知识和经验，引入恰当的问题情境，提供有思维价值的数学问题，激励、唤醒、鼓舞学生，引导他们主动投入到建构知识的活动中去，投入到数学探究的思维活动中去。下面，就从《导数在研究函数单调性的应用》一课的导入教学片断谈起。

（一）情境

学习了导数的定义和几何意义，下面，我们来研究一下导数的实际应用。

教师播放一段汽车越过山坡的视频，并提出问题。

问题1：观看视频后，你会有什么发现？

追问：这个视频与学过的什么数学知识有联系?

导数和单调性的概念不仅抽象，而且学生无法直接感知二者之间的联系。导入环节的视频中展示了生活中汽车越过山坡时灯光的指向与路面之间的关系。学生通过观看展示，分组讨论，交流意见，尝试将灯光抽象成一条切线，道路抽象成函数图象，从而联系导数与单调性的关系。这样精心设计的教学情境，引导学生回归生活。教学中，这样设计不仅使难点得以突破，让抽象变得直观，同时也激发了学生的求知欲望。

建模后进一步追问：如果将曲线看作是函数y=f（x）在某区间上的图象，对应的函数具有怎样的性质？

通过师生活动抽象出所需要的数学问题：

（二）猜想

导数与函数的单调性有什么联系？

教师再一次请学生观看动画，学生不难发现：

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于是，猜想得到以下结论：对于函数，在某区间D上有f '（x）＞0，f（x）在D上为增函数；在某区间D上有f '（x）＜0，f（x）在D上为减函数。

本课的特别之处在于导入新知时抓住知识的本质，巧设贴近本节知识的生活情境，把实际问题抽象为数学问题，引导学生将山坡看作一条曲线，将汽车看作曲线上的动点，把汽车前灯发出的光线看作动点的切线，而切线斜率也就可以看作函数在该点处的导数，进而猜想导数的正负与对应函数单调性之间的关系。学生以一个发现者的身份来思考问题，而不是把结论轻易抛出来，这样就激发了学生强烈的求知欲。

二、学会思维：紧扣新知生成，促进自主探究

在“平面三公理”的探究过程中，有的教师直接将“三公理”内容抛给学生，讲清图形和符号表示后，让学生看书学习“三公理”并熟记，然后花大量时间解题。一节课下来，教师说得天花乱坠，而学生对所学的内容不能充分理解，更谈不上掌握运用，从而失去了学习立体几何的兴趣。本节课学生要发现和理解平面的三条公理，确实有困难。这时，就需要教师适时进行监控——学会思维。教师可以让学生观看“平面三公理”探究发现的教学视频。

问题1：在空间中，直线与平面、平面与平面有怎样的位置关系？教师可组织学生利用手里的硬纸板和牙签进行小组探究。用硬纸板和牙签分别代表平面和直线。通过实际操作，学生发现判定直线与平面的位置关系时可以根据公共点的个数。

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问题2：如何证明线在平面上？此时，需要验证有无穷多个点在面上，这显然是行不通的。那么，至少需要有几个点在平面上，直线就在平面上呢？学生很快就想到了两点确定一线，从而找到了解决问题的突破口。

教师追问：你能使牙签的一个点在平面内吗？你能使牙签上的两个点在平面内吗？

经过实验，教师引导学生归纳出公理1，判定直线在平面上。

问题3：平面与平面的位置关系如何？通过类比，学生很快得到以下的结论。

?

通过分析，平面相交或平面重合的判定方法是行不通的。学生反思，至少需要几个公共点重合时，两个平面才重合。通过思考、讨论，学生归纳出不在同一直线上的三点就能确定一个平面。教师进一步追问为什么不是四个点？学生们经历逐步深入的思考过程，结合公理1说明了原由并归纳出公理2。

接下来，教师让学生用硬纸板探究两个平面相交时有哪些位置关系。学生们经过实际操作，得到以下位置关系：

图1

进一步追问：图2 中，两个相交平面只有一个公共点吗？学生思考后指出，不是一个点，因为平面是无线延展的，因此是一条过该点的直线（如图3 所示）。

图2

图3

本节课的不同之处在于，教师抓住“线在平面”“平面相交”“平面重合”都有无穷个公共点的特征，将公理串联起来,使得知识由碎片拼接为整体。学生经历了这样的过程，对数学的理解和体验就会更加深刻，从中也能体会到类比的思想。

三、发展思维：紧扣新知核心，进行类比迁移

在教学中，教师要有整体意识，将一般性知识“聚焦”在相关的核心知识上，再围绕核心知识进行深度加工，精心组织教学，引导学生发现并体会知识间的联系，揭示其中隐含的知识背景，凸显数学核心知识的价值。

例如：在“y=Asin（wx+Ø）”的教学中，通常的思路都是教师直接告诉学生先分别研究A、w、Ø对y=sinx的影响，然后再通过具体实例，作图体会其结论，最后生成一般性结论。学生只是听教师的指令按部就班完成操作，思维并不专注和深入。这样的教学即忽视了“核心知识”的价值，又忽视了对学生思维能力的培养。为此，进行了如下设计。

问题1：在研究图像y=sinx的基础上来研究y=Asin（wx+Ø）的图像，你有过类似的经历吗？学生经过讨论，在教师适时引导下，很容易想到，在y=x2基础上进行研究。

问题2：回忆初中研究的情形。

由此，我们不难发现，y=Asin（wx+Ø）的研究就没那么困难了。这样的教学符合学生已有的认知基础，符合以往的学习经验。学生能够很自然地确定本节课的研究方案。同时，通过这样的类比迁移，学生也学会了面对多个变量时，要通过减少变量的个数将复杂问题简单化。

以上这些教学案例的分析,目的是让教师在设计、组织开展教学活动时，要基于学生的思维发展，合理设计教学路径，紧扣新知本质，通过恰当的问题情境，激发学生数学思维。这样，才能掌握一定的数学知识和技能，培养数学思维的习惯和能力，以此提升学生的数学核心素养。