拓宽对函数的认识

田载今

函数作为刻画变量之间相互联系的数学模型，是近代数学中一个非常重要的基础概念，本文在人教版八年级数学教科书中“一次函数”内容的基础上，再介绍一些关于函数的知识，希望能帮助同学们拓宽对函数的认识．

一 函数的含义

不了解函数的人，往往误以为函数是一种数的名称，如同自然数、有理数、实数等．其实，函数不是“数”，而是变量之间的对应关系，函数的英文单词“function”，也有“作用”“功能”和“运转”的释义，这些都与函数的含义相关．

宇宙万物都始终处在运动之中，运动带来变化．人们为了定量地研究这些变化，找出了各式各样的变量．例如，月亮不停地绕地球转动，在不同的日期它与地球之间的距离发生着变化，这里的日期和地月距离都是变量，在某些事物的变化过程中，每当一个变量x或一组变量（x1，x2，…，xn）取了确定的值时，另一个变量y都有唯一确定的值与之对应，这种对应关系叫作变量y对变量x或变量组（x1，x2，…，xn）之间的单值对应．例如，地月距离y与日期x之间存在单值对应关系：当x取2021年9月21日（中秋节）时，y约为3.88x105km；当x取2023年9月29日（中秋节）时，y约为3.62×105km．

变量之间具有的单值对应关系，反映了事物的变化规律．为了数量化研究变化规律，函数这个重要的数学工具应运而生，这标志着数学研究的主要对象由常量转向变量，它使数学和其他学科的理论研究和实际应用，都发生了深刻的变化．

从16世纪至今，函数概念的形成有很长的发展过程．初中数学教科书中给出的函数定义为：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值．y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数，这里主要有两层意思：（1）两个变量互相联系，一个变量变化时另一个变量也随之发生变化；（2）函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的．这个定义是以单值对应观点对函数的简单朴素的刻画，今后随着数学学习的深入，同学们还会见到函数定义的其他形式（如集合、映射、序对等观点下的函数定义）．它们与单值对应观点下的定义本质一致，只是描述得更深刻而已．

解：图1（1）中，x取任一值时，动点P（x，y）的位置唯一确定，从而纵坐标y唯一确定，y对x是单值对应，因而v是x的函数．图1（2）中，x取某些值（例如x=a）时，对应曲线上的多个点，它们有不同的纵坐标，y对x不是单值对应，因而y不是x的函数．

二 函数的元和次

如果变量y对另一个变量x单值对应，则y是一个自变量x的函数，它叫作一元函数：如果变量y对有n个變量的一组变量（x1，x2，…，xn）单值对应，则y是n个自变量x1，x2，…，xn的函数，它叫作n元函数．例如，设正方形的边长为x，则它的周长y1=4x，面积y2=x2都是一元函数；设矩形的长为x1，宽为x2，则它的周长y1=2（x1+x2），面积y1=x1x2都是二元函数：设长方体的长为x1，宽为x2，高为x3，则它的表面积y1=2（x1x2+x2x3+x1x3），体积y2=x1x2x3都是三元函数．

如果一元函数能表示成关于自变量的多项式的形式，则多项式的次数（自变量的次数）即为函数的次数．例如，y=ax+b（a，b为常数，a≠0）是一次函数，y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）是二次函数，y=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an（a0，a1，…，an为常数，a0≠0）是n次函数．

函数的表示法之一是图象法，即通过点的坐标反映变量之间的对应关系．这种表示法将数量关系直观形象地呈现出来，为数形结合研究问题提供了方便，在数学发展中有重要的作用．不同次数的一元多项式函数的图象呈现为不同形状的曲线，例如，图2、图3和图4的三个函数图象分别是一次函数y=x+1．二次函数y=x2+1和三次函数y=x3+1的图象．一元多项式函数中，只有一次函数的图象是直线，二次以上（含二次）函数的图象都是非直的曲线，如二次函数y=x2的图象是抛物线．因此，一次函数也叫作线性函数．

三 显函数与隐函数

函数的本质是变量之间的单值对应．不论用什么形式，只要能表示这样的对应关系，就可以表示函数．通常，表示函数用解析式、图象、列表等方法，其中解析式最为常用，例如，圆的面积S=πr2是一元函数解析式（半径r是自变量，S是函数，π是常数），圆锥的体积v=1/3πr2h，是二元函数解析式（自变量是底面半径r和高h，V是函数，π是常数）．函数解析式中等号的左边表示函数，右边是关于自变量的算式．它不仅清楚地表示出哪个变量是函数、哪些变量是自变量，而且直观地反映了函数与自变量之间的数量关系，即如何由自变量的值得出相应的函数值，因此，这种解析式叫作显函数表达式．一元显函数的解析式可简写为y=f（x）的形式，其中y是函数，x是自变量，符号f为function（函数）的首字母．n元显函数的解析式可简写为y=f（x1，x2，…，xn）的形式，其中y是函数，x1，x2，…，xn是n个自变量．

多元方程是含有多个未知数的等式，如二元方程5x+y=1，3x2+2x-0.5y=6.虽然这两个方程不是y=f（x）的形式，但是从它们可以分别推出y=-5x+1，y=6x2+4x-12这样的一元显函数，这就是说，这两个方程各自隐含了一个函数，一般地，隐含了某种函数关系的方程，也叫作隐函数表达式．由此可知，函数与方程有着密切的联系．

解：两个方程都是隐函数表达式，它们分别对应一次函数y=4/3x-2与y=-2x+3.画出这两个函数的图象（图8），两直线交于点（1.5，0），即x=1.5，y=0同时满足两个函数，也是两个方程的公共解，这样就用画函数图象替代了消元法的计算而得到方程组的解.

四 定义域和值域

五 一次函数图像与直线

自变量为x的一次函数的形式为y=kx+b（其中k，b是常数，k≠0）．当b=0时，y=kx，又叫作正比例函数，一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.当x=0时，y=kx+b=6，由此可知，直线y=kx+b与y轴交于点（0，6）．6叫作直线y=kx+b在y轴的截距．如图9，当k>0时，直线y=kx+b从左向右上升：当k<0时，直线y=kx+b从左向右下降．|k|越大，直线越“陡”，k的值决定直线y=kx+b的倾斜程度（包括倾斜的方向和陡缓）．k叫作直线y=kx+b的斜率．斜率和截距这两个常数确定后，直线y=kx+b在坐标系中的位置就确定了．y=kx+b叫作直线的斜截式，它在解析几何中常常用到．

需要注意，一次函数的图象与坐标系中的直线并非一一对应关系，平行、重合于坐标轴的直线不是一次函数的图象，它们对应的式子形如x=a或y=b，都不符合一次函数y=kx+b（k≠0）的形式．一次函数与坐标系中的不平行、不重合于坐标轴的直线有一一对应关系，即每个一次函数的图象都是不平行、不重合于坐标轴的某条直线：反过来，每一条不平行、不重合于坐标轴的直线都代表某个一次函数的图象．

把抽象的数量关系和直观的图象结合起来，从“数”与“形”两方面动态地分析问题，对于全面认识函数有重要作用．例如，可以先从图象发现k的符号和其绝对值对直线倾斜程度的影响；再进一步从解析式分析出当k>0（或k<0）时，如果x10），由此得出k对一次函数y=kx+b的增减性的决定作用．“数”与“形”结合，可以达到既直观又入微的认识效果，这是研究函数的有效方法．