基于高中数学核心素养的“误中悟”教学实践探究

曾莹

摘 要：数学核心素养涵盖了数学知识、思维技能和数学应用等多个方面，其中高中数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。通过“误中悟”教学方式，高中生需要在解决问题时进行推理和逻辑思考，从中寻找正确的答案，这有助于培养他们的数学思维。笔者基于数学核心素养大框架，以《导数及其应用》单元中的“导数的几何意义”相关知识点教学为研究对象，从六个不同的维度入手，深入探究“误中悟”教学法与数学核心素养培育工作的融合路径，以期提升高中生数学思维能力，以及解决问题的能力。

关键词：数学核心素养；误中悟；导数

数学教育领域内，提升高中生的数学核心素养一直是一项重要的目标。数学核心素养不仅仅包括掌握数学概念和技能，还包括数学思考、建模、问题解决、沟通和数学实践等多个维度的能力。为实现这一目标，教育专家以及相关研究学者一直在寻求创新的教学方法，以激发高中生对数学的兴趣，培养他们的数学思维和实际运用能力。其中，“误中悟”教学法已经引起了广泛的关注，该教学法的独特性在于它能够激发高中生的好奇心，提升他们的数学沟通和合作技能，为高中生的数学学习以及未来的数学应用打下坚实的基础。

一、数学核心素养下“误中悟”教学方法的优势

“误中悟”教学方法在培养数学核心素养方面具有多重优势，这些优势不仅有助于高中生更好地理解数学，还提升了他们的数学素养[1]。首先，“误中悟”教学法鼓励学生尝试多种方法来解决问题，包括那些可能看似错误的方法。这种实验性的学习过程培养了学生的数学思维，使他们更具灵活性和创造性，能够从不同的角度思考问题并找到多种解决方法。其次，通过“误中悟”教学法，学生在解决问题时需要不断调整和改进他们的方法。这促使他们培养了解决问题的能力，包括问题分析、策略选择和持之以恒的决心。最后，“误中悟”教学法将数学教育与实际问题相结合，使学生深入了解数学在不同领域的实际应用。这有助于培养高中生的数学实践技能，为未来的职业生涯做好准备。

二、“误中悟”教学实践策略

（一）創设问题情境

实际开展高中数学课堂教学过程中，教师基于以下三个步骤，为学生创设一个能够发散思维，且较为开放的问题情境，激发学生的数学兴趣。

1.选定适当的问题情境

数学教师在教学过程中，首要任务之一是选定适当的问题情境，通过这种方式激发学生的学习兴趣并培养他们的数学思维。问题情境的选择需要经过精心策划，要既富挑战性，又不至于太复杂，以确保高中生能够理解和探索。同时，问题情境应该与课程内容相关，以确保学生在解决问题的过程中，能够应用他们在课堂上学到的数学知识与技能。问题情境也可以直接联系到现实生活中的问题领域，如金融、科学或社会领域的问题，使学生看到数学在解决实际问题中的应用，激发他们的好奇心以及探索欲望。选定适当的问题情境需要考虑学生的年龄和数学水平，以确保问题的复杂度与学生的能力相匹配。具体实践中，教师可以根据学生的兴趣和能力水平来微调问题情境，以确保每位学生都能在适合他们水平的挑战性任务中获得成就感。

2.创设情境

一旦选定了问题情境，教师需要巧妙地创设这个问题情境，以吸引学生的注意力并激发他们的兴趣。这可以通过引人入胜的故事、案例研究或视频来实现。例如，如果问题情境涉及金融领域，教师可以分享一个关于投资策略成功或失败的真实故事，引发学生对如何有效管理金融资产的思考。教师还可以使用图表、实际数据来创设问题，使学生直观地了解问题的背景和复杂性。这种创设问题情境的方法，有助于学生理解问题的重要性和现实意义，激发他们主动尝试解决问题的动力。在创设问题情境时，教师还可以提出一些开放性的问题或思考导向，以引导学生思考并激发他们对问题的好奇心。通过这种方式营造一个积极的学习氛围，鼓励学生积极参与问题的探索和解决。

3.提供初始资源

为高中生提供一些基本的数学资源，如必要的公式、数据、图表等，以帮助他们入门。这些资源能引领学生开始思考问题，但不提供完整的解决方案，让学生通过独立的思考与探索，掌握数学知识。

例如，在学习《导数及其应用》单元中的“导数的几何意义”相关知识时，笔者通过提出问题的方式，创设教学情境：

问题1：同学们，请你们回忆一下在初中阶段，有没有接触过“切线”这一概念？

问题2：当一条直线与圆相切，则它们只有一个交点。那么，现在请同学们再思考一个问题“当一条直线与曲线相切的时候，是不是也只有一个切点呢？”

教师通过提问的方式，引导学生回顾初中所学的知识点，通过这种方式点明“切线只有一个切点”这种思维定势。为打破这一思维定势，教师可以设计一道较为简单的因式分解题例题：过原点O（0，0）作曲线f（x）=x3-4x2+4x的切线，求切线方程。

（二）鼓励学生质疑

质疑是激发学生思考的关键，实际教学活动中，教师提出的一系列有针对性的问题，能够帮助学生探索问题的不同方面。这些问题包括：

“你认为如何解决这个问题？”

“有没有其他方法可以解决它？”

“你能解释为什么这个答案是正确的吗？”

“这个问题如何与我们之前学过的数学概念相关联？”

“这个问题是否有实际应用？”

在提出疑问的同时，教师也要鼓励学生进行独立思考，并在思考的过程中提出他们自己的质疑[2]。确保学生知道他们的思考是有益的，无论是正确还是错误的思路，都能够提升自身的数学综合素养，这有助于培养学生的自信心以及探究精神。

例如，根据给出的因式分解例题，笔者带领学生进行质疑。

问题3：同学们，请你们说出原点O（0，0）与曲线f（x）=x3-4x2+4x的位置关系，并思考你们是如何判断原点与曲线位置关系的？

学生带着问题，重新审视教师给出的例题，发现将横坐标x=0代入曲线，观察到原点O（0，0）在曲线上。在定势思维的影响下，一些高中生会认为切点即原点。

当高中生说出这一观点之后，笔者再抛出第四个问题。

问题4：这道题中，切线一共有多少条？

随着该问题的提出，一些学生会立刻意识到自己陷入了思维定势，重新审视题目，发现自己的错误“由于切点刚好处于曲线上，所以就自然而然地认为切线只有一条。”经过反复思考，学生会发现切线不止一条。通过质疑审问，学生的思维得到了发散，头脑中的定势思维被打破。

（三）勇于试误

错误是正确的先导，是试金石。在试误阶段，教师激励学生主动踏入数学问题的探险之旅。该过程是一个富有创造性和启发性的阶段，学生将自己置于问题的核心，以发现解决之道。学生可以运用个别探究或小组合作的方式，尝试解决数学问题。解题过程中的错误不仅不被视为失败，反而成为一种宝贵的经验，引领学生走向正确的方向。

在此过程中，学生积极调整解题策略，通过反复试错来逐渐明了问题的特殊规律。他们将发现数学并非一成不变的公式，而是一个活跃的领域，充满了发现和创新的机会。这个阶段鼓励学生相互合作，不仅鼓励了彼此之间的信息交流，还培养了团队合作和沟通能力。通过共同探讨问题，学生相互学习，并逐渐形成更广泛的思考方式。

例如，在完成质疑环节之后，筆者利用作图软件，以动画演示的方式，让学生直观地感受数学中“在”与“过”之间的差别。笔者先提出问题，然后使用GeoGebra软件进行演示。

问题5：同学们，在该问题中，曲线f（x）=x3-4x2+4x的究竟有几条切线呢，现在让我们利用软件来观察一下。

启动软件之后，笔者输入曲线f（x）=x3-4x2+4x的，以原点O（0，0）作为切点，作出切线。此时，学生通过观察，发现此条切线与曲线f（x）=x3-4x2+4x还存在另一个交点。由此可以证明，曲线与直线相切时，交点并不是唯一的，这一结论是对初中阶段“切线”概念的补充与延伸，令高中生意识到“曲线”与“圆”的本质区别。

在此基础上，数学教师还可以让高中生独立操作软件，移动过原点O（0，0）的直线BO，发现当直线BO经过点C后，直线与曲线相切，此时的切点不再是原点O（0，0）。在教师的引导下，高中生们将该点标记为（2，0）。

（四）启迪参悟

“误中悟”教学法将错误视作学习的重要组成部分，这意味着教师要打破传统的错误批判观念，不对学生的错误进行过度批评或纠正，而是鼓励他们深刻地反思错误的原因，并勇敢地尝试新的解决方法。通过这个过程，学生能够逐渐领悟到数学问题中隐藏的规律和内在逻辑。实际教学过程中，教师要鼓励高中生相互合作，共同探讨问题，分享他们的思考过程、面临的挑战以及发现的规律[3]。这不仅有助于建立积极的学习社区，还激发了学生之间相互交流和学习的热情。此外，教师在这一过程中可以担任引导者的角色，鼓励学生提出更深入的问题，进一步提高他们的思维深度。

在此基础上，教师引导学生进行“启迪参悟”，这是“误中悟”教学法的核心环节，当学生通过反复尝试并积累了足够的错误经验后，他们逐渐能够明确识别出问题中的规律，参透关键要点。这标志着学生对数学问题形成了更为深刻的理解。在这一阶段，教师的作用不是提供答案，而是引导学生思考和总结，帮助他们发现问题的本质和规律。通过提出更深入的问题，激发学生进一步思考，或者鼓励其与其他同学分享他们的参悟经验来实现。

通过允许错误，鼓励合作与分享，以及引导“启迪参悟”，帮助学生建立深刻的数学理解，培养他们的批判性思维和解决问题的能力。这不仅提高了数学的吸引力，也培养了学生的独立思考和团队合作技能，为他们未来学业和职业的成功奠定了坚实的基础。

例如，学生通过实际操作，发现能够满足题目的切线有两条。此时，笔者继续提出问题。

问题6：如果切点无法确定，我们将如何构建切线方程？

该问题的提出，标志着正式进入顿悟环节，笔者通过板书的形式，对原函数逐步求导，并最终得到切线方程。

（五）温悟迁移

在“误中悟”教学法的温悟迁移阶段，教师扮演着引导者的角色，提供一系列的数学问题，激发学生自发地探索解决方法。在这个过程中，犯错是难免的，但教师的职责在于鼓励他们从错误中反思，深入理解问题的实质，逐步掌握数学原理。

一旦学生在温悟阶段掌握了基本数学原理，接下来就要开始进行变式训练，通过这种方式拓展数学知识的应用环境，并加深学生对于该知识点的理解。在这一阶段，教师会提供更为复杂的问题和变式，鼓励学生运用已学的原理，寻找新的解决途径[4]。虽然在这个过程中，学生可能会遭遇更多的错误，但这是正常的成长过程。通过不断地犯错，他们能够调整和完善自己的思考方式，同时也更深刻地理解数学原理在各个应用领域的实际价值。

而在巩固提升阶段，学生已经积累了丰富的数学经验和深刻的理解。这个阶段，教师的任务是引导学生进一步挖掘数学的深层次理解。通过鼓励学生提出更加深入的问题、进行课堂讨论、展示数学原理在多个应用领域的实际运用，甚至与同学分享自己的顿悟经验，巩固他们对数学知识的掌握，并激发他们在数学领域不断进取的动力。通过一系列的阶段性教学，学生将会在“误中悟”的教学法下，培养出更为扎实的数学基础和更高层次的数学思维能力。

例如，学生通过上面的学习，已经求出的切线方程。此时，笔者选择更进一步，对原题进行变化，针对该知识点进行巩固提升。

问题7：同学们，现在我们改变这个例题，求曲线方程f（x）=x3-4x2+4x在原点O（0，0）处的切线方程。

该变式对于原题的改变较小，难度较低，可以让绝大部分高中生独立完成，通过该变式，让高中生在解题过程中体会“过某点”与“在某点处”之间的区别。

（六）反思悟道

教师与学生一起回顾他们在探索过程中遇到的问题、错误和突破，鼓励他们分享自己的观点和解决策略。这将有助于学生相互学习，并从彼此的经验中获得启发，同时也加深了对问题的理解。拓展探究的目的是进一步拓宽学生的数学视野，培养他们的自主学习和探究能力[5]。在这个阶段，教师可以通过提供挑战性项目，鼓励学生独立探索或者进行合作探究，跨学科地展示数学在实际生活中的应用。

结束语

“误中悟”教学法，作为一项指向核心素养的教学实践研究，为数学教育带来了深远的影响。“误中悟”教学法的成功实践，证明了数学教育可以更具深度和广度。它鼓励学生超越传统的记忆和应试教育，真正理解数学的核心概念，培养了高中生解决问题的能力，并为未来的学术和职业发展奠定了坚实的数学基础。这一研究对塑造具备数学核心素养的学生、培养未来数学领域的领袖具有重要意义。期待着更多的教师和学生在这一教学法的指导下，共同探索数学的奥秘，推动数学教育的进一步创新。

参考文献

[1]程仕然.基于学科素养的高中数学概念教学实践研究[J].数学通报，2023，62（8）：11-15.

[2]陈重阳.高中数学教学境界跃升的“三步曲”[J].数学通报，2023，62（7）：48-50，54.

[3]牛含冰.数字化时代高中数学课程改革与创新研究[J].工业建筑，2023，53（7）：271.

[4]朱伟卫，徐迪斐，徐卫文等.高中DIMA数学实验教学的理论与实践探索[J].上海教育科研，2023（7）：75-81.

[5]李晶娟.高中数学教学情境设计的途径[J].中国教育学刊，2023（5）：104.