常用的几个数据代表

田载今

研究问题时需要关注各种相关信息，这些信息通常以数字形式呈现，即统计中所称的数据，数据不仅能简洁地表达信息，而且能定量地刻画信息，便于我们科学地分析信息，因而数据是研究问题的重要依据，随着计算机和云计算的迅速发展，大数据时代已经到来，海量数据的处理得到越来越广泛的应用．

统计学是研究数据处理的学科，统计的全过程包括：收集数据、整理数据、分析数据（发现并研究数据的分布特征），并依此推断、评判已发生的事或预测将发生的事，在统计过程中，已收集到而未进一步处理的数据叫作原始数据．一般情况下，直接面对一组未经整理的原始数据，难以发现其分布特征．因此，通常需要对原始数据进一步加工整理，使其分布状况变得清晰．从中得出相应的特征值作为数据代表，再从研究数据代表人手，深入研究相关问题．

一组数据的分布特征可以从不同方面进行分析，下面从数据分布的集中趋势和离散程度两方面，讨论统计中常用的平均数、中位数、众数和方差等数据代表．

一、描述集中趋势的数据代表

“一组数据围绕哪个中心数值分布？”这是分析数据时通常关注的一个问题．它关系到一组数据的平均水平或一般情况，对统计推断有重要参考价值．在统计学中，把一组数据向某一中心数值靠拢的情形，称为这组数据的集中趋势．在描述数据的集中趋势时，常从平均数、中位数和众数中选择合适的数据代表．

如果以一组数据大小的平均水平描述集中趋势，则可用平均数作为数据代表．平均数由全部原始数据计算得出．如果以一组数据大小的中间水平描述集中趋势，则可用中位数作为数据代表．一组数据按大小排列时，中位数在居中位置．如果以一组数据中出现次数最多的数据描述集中趋势，则可用众数作为数据代表，众数是一组原始数据中出现次数最多的数据．一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，还可能一个也没有，平均数、中位数和众数各有各的作用，分别适合从不同角度分析数据的集中趋势．

平均数是最常用的一个数据代表，它反映了一组数据大小的平均水平．需要注意的是，如果一组数据中有极端数据，即与多数数据相比过大或过小的个别数据，则它会使平均数的值与多数数据存在较大差距．如仍以平均数代表该组数据的中心数值，则不能恰如其分地反映这组数据的分布状态．这种情形下，选择中位数或众数作为数据代表，能更好地反映一组数据的集中趋势．

例1 表1为一条自动包装线某月每天包装物品的数量及相应的天数．

（l）分别求出表中数据的平均数、中位数和众数．

（2）用平均数作为数据代表，能客观反映这个月每天包装物品数量的一般情况吗？

解：（1）通过计算加权平均数，得表中数据的平均数为

（20+2355×10+2360×4+2365×14+2370）÷30=2283.

表中共有30天的数据，这30个数据从小到大排列时，处于正中间位置的第15和第16两个数据的平均数为（2360+2365）÷2=2362.5．因此2362.5是该组数据的中位数．

30个数据中，2365出现14次，出现次数最多，因此2365是该组数据的众数．

（2）观察表中数据不难发现，30天中有29天的数据都不小于2355，它们都大于平均数，且与平均数的差都不小于72．这30天中有1天的数据20远小于平均数2283，这可能是某一天自动包装线有突发故障造成的反常结果，显然，20这个极端数据，使得正常情况下应有的平均数的值变小．如果仍以平均数2283作为数据代表，则与自动包装线每天工作的一般状况差距较大．而以中位数2362.5或众数2365作为数据代表，则能较客观地反映一般情形下包装物品数量的实际情况．因此，此问题不宜用平均数作为数据代表描述数据的集中趋势．

二、描述离散程度的数据代表

“一组数据中，各个数据与这组数据的中心数值（例如平均数）的偏离程度有多大？”这是分析数据时通常关注的另一个问题，在统计学中，把这种偏离程度称为这组数据的离散程度（或离中程度），它反映了一组数据大小的波动状态．我們结合下面的问题对数据离散程度予以说明．

表2是某一周内甲、乙两个书店接待顾客人数的记录．

计算可知，甲、乙两个书店该周内平均每天接待顾客人数分别约为146.9和147.1．两者非常接近，我们再考虑两组数据的波动状态．先观察数据散点图，图1和图2中的点分别表示甲、乙两个书店的顾客数量，各点的横坐标为时间（星期一到星期日），纵坐标为顾客人数．图中的水平线与纵轴交点的纵坐标是7个数据的平均数．

比较两图，直观上可以发现：图1中各数据点分布较紧密，波动较小，即总体上看各点与平均值对应的水平线的偏离度较小：图2中各数据点分布较松散，波动较大，即总体上看各点与平均值对应的水平线的偏离度较大．这里的偏离度是对7个点偏离度的平均水平而言，是根据各数据点与平均数直线的距离大小而得出的．尽管与平均数直线相比，有些数据点高，有些数据点低，但各点与直线的距离都是非负的值．即高度差的绝对值，两组数据相比，甲店数据的离散程度较小，乙店数据的离散程度较大．

统计学中常用方差对一组数据的波动情况（即各数据与平均数的偏离状态）作定量的刻画，描述数据的离散程度．计算方差的方法为：（1）计算一组数据的平均数；（2）计算各数据与平均数之差的平方和；（3）用所得平方和除以这组数据的个数．设一组数据为x1，x2，…，xn（共n个），记其平均数为x，方差为s2．则

例2 分别计算上面问题中甲、乙两个书店某一周接待顾客人数的方差．南所得方差你能看出哪种可能性？

解：由以上所述可知，甲、乙两个书店某一周平均每天接待顾客人数分别为146.9和147.1（保留到0.1）．计算两组数据的方差，得甲店数据的方差s2甲=32.1，乙店数据的方差sz=272.1．比较两个方差，得S2甲．

为什么计算方差要用各数据与平均数之差的平方和，而不直接把各数据与平均数之差相加呢？一般情形下，一组数据中可能有些数据比平均数大，有些数据比平均数小．它们与平均数之差会有正有负，如果直接把这些差相加，就会出现正负相抵．例如，一组数据为1，2，3，4，5，平均数为3，各数据与平均数之差分别为-2，一1，0，1，2．这些差之和为0，但这并不意味着这组数据都是紧靠着平均数的，用各数据与平均数之差的平方和，则利用了平方的非负性，防止出现做加法时正负相抵而隐藏了相关数据对平均数的偏离，方差名称中的“方”正是“平方”的简称．

对方差的算式进行恒等变形：

这给出了方差的另一种算法：各数据平方的平均数减各数据平均数的平方．

从上面几例可以看出，得出平均数、中位数、众数和方差这四种常用数据代表的方法不同，这些数据代表所表示的意义也不同，在反映一组数据的分布特征时，它们有各自的侧重点．根据实际问题的需要，选取合适的数据代表来认识一组数据的集中趋势与离散程度，是分析数据的常用做法．