强化关键概念理解 体验关系模型构建

卢洁

【摘   要】“速度、时间和路程”是常见数量关系中的要素。速度是路程和时间的比，对学生而言，它是一个比较抽象的概念。教师在教学中往往忽视速度概念的建立，导致学生缺乏模型意识，对数量关系的理解不够深刻。因此，教师可通过创设生活情境，激活学生的知识经验，深化学生对速度内涵的理解，引导学生构建数量关系，使学生在运用几何直观的方法解决实际问题的过程中，体验关系模型的构建与价值，从而培养其模型意识和应用意识。

【关键词】数量关系；模型意识；几何直观

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》提出，“数量关系”主要是用符号（包括数）或含有符号的式子表达数量之间的关系或规律。学生应在具体情境中，通过运用数量关系解决实际问题，感悟加法模型和乘法模型的实际意义，提高发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，深化对数量关系的理解。

“速度、时间和路程”是常见数量关系中的要素。在日常教学中，教师一般会通过创设具体情境，给出不同物体的速度和时间，让学生求出相应的路程。接着，引导学生对比和分析不同的数量关系，以便学生从具体实例中抽象出数量关系的共性，理解“速度、时间和路程”三者之间的内在关系。这样的教学过程体现了从具体到抽象逐步建构数量关系的过程。然而，在实际教学中，笔者发现学生对速度的概念及其作为度量单位的含义的理解并不透彻。那么，如何精心选择教学素材设计教学活动，激活学生的已有经验？如何对生活常识中的速度概念进行改造和澄清，从而更好地凸显数学的本质，帮助学生厘清数量关系，培养他们的模型意识呢？本文以人教版教材四年级上册“速度、时间和路程”这一内容的教学为例，探讨数量关系的发现和理解，并运用数量关系解决问题。

一、创境：激活知识经验，感知速度概念

在生活中，学生对路程、时间和速度等概念已有一定的接触和认识。其中，路程和时间是相对直观和容易理解的，而速度则较为抽象。因此，在教学过程中，应着重对速度的含义进行解读，以帮助学生更好地掌握其本质。

课始，教师为学生呈现一个实际情境：有三名同学从家里出发去学校，小明用了6分钟，小刚用了4分钟，小红也用了4分钟。接着，教师提问：“你们能比较这三名同学的行走速度吗？”然后，进一步追问：“为什么现在还不能比出他们的快慢呢？”学生可能会回答：“因为我们不知道他们家到学校的距离。”教师继续引导：“确实，只知道时间而不知道距离是无法准确比较他们的快慢的。”

通过分析这一情境中所蕴含的数学信息，教师提问：“如何确定谁走得快呢？”有的学生可能会认为：“如果他们的路程是一样的，那么时间用得少的就走得快。”也有学生可能会提出：“我们还需要知道他们各自从家到学校的距离。”教师根据学生的回答，引出“路程”这一概念，并给出三人从家到学校的具体距离（如图1）。通过这种方式，学生从实际问题出发，逐步深入理解速度的含义，并认识到速度是由时间和路程两个因素共同决定的。

二、探索：深化速度内涵理解，构建数量关系

在自主学习过程中，学生已经初步理解了速度、时间和路程的基本概念，这使得他们更易于理解三者之间的数量关系。而为了建立相应的数学模型，学生还需要从实际情境中提取信息，将数学知识抽象化，并探索相关的方法和规律。

（一）利用问题驱动，引发数学思考

在“速度、时间和路程”这三个量中，“速度”是核心，同时也是学生最难把握的概念。教师应有意识地将抽象的速度概念与学生日常生活中的“比快慢”经验相结合，以引发学生的深入思考。

教师引导学生根据数学信息整理成表格（如表1），并启发学生思考：现在要从这三个人中选择两人来比较他们的速度，有没有一种方法可以不通过计算直接比较出他们的快慢呢？

学生通过观察发现，小明和小刚的路程相同，因此可以直接比较他们所用的时间，时间短的走得快；小刚和小红所用的时间相同，可以直接比较他们的路程，路程远的走得快。而对于小明和小红，由于他们的路程和时间都不相同，所以需要比较他们在单位时间内所走的路程，即速度。通过这一系列的比较和推理活动，学生对速度这个概念有了初步的感知和理解。

（二）通过对比表征，寻找数量关系

教师应引导学生运用语言、算式或图画等多种形式表征自己的思考过程，并阐述理由。具体可组织学生进行小组或全班讨论交流，分享不同计算方法，让学生经历数学模型的优化过程，运用多种可视方式，对知识的理解更直观和深入。

【活动一】

教师出示学习要求。

写一写：请把你的理由用语言、算式或图画等形式写下来。

说一说：分小组进行讨论交流，分享不同的方法。

教师提问：“小明家到学校和小红家到学校的路程一样吗？时间一样吗？能不能直接比？你用什么方法判断出誰走得快？”

教师展示部分学生的作品（如图2）。

第（1）种方法：180×2=360（米），4×2=8（分），8分钟＞6分钟，小明快。

第（2）种方法：算出2分钟能走多少米，360÷3=120（米），180÷2=90（米），120米＞90米，小明快。

第（3）种方法：360÷6=60（米/分），180÷4=45（米/分），60米/分＞45米/分，小明快。

第（4）种方法：画线段图进行比较，小明快。

可见，学生思考角度不同。第（1）种方法先统一路程，将小红的180米通过乘2转化为360米，然后比时间，小红需要8分钟，小明只需要6分钟，所以小明比小红快。第（2）种方法先统一时间，分别算出小明和小红2分钟所行的路程，120米比90米远，所以小明更快一些。第（3）种方法先算出小红和小明单位时间内所行的路程，小明60米/分，小红45米/分，再比较快慢。第（4）种方法先用线段图表示出小明和小红每分钟所行的路程，再比较快慢。

通过对比四种方法，学生明确了速度单位的含义和表示方法。在比较过程中发现：时间相同，可以比路程；路程相同，可以比时间。随后，通过比较三人的行走速度，学生思考：用哪种方法比较快慢更好？通过讨论，学生发现将三人行走的路程都改成1分钟所走的路程就能直接比出快慢，而不需要一次次比较路程或时间，继而发现用“路程÷时间=速度”来计算更好。

（三）感受“速度”，加深概念理解

速度表示路程和时间之比，由路程和时间这两个基本单位复合而成。尽管学生已经掌握了时间单位和长度单位的知识，但在学习速度知识时，他们还需要理解两个要素使用不同单位时，表达的含义会有所不同。因此，学生需要全面理解速度的概念，以便更好地掌握和应用相关知识。

【活动二】

教师出示三种不同交通工具（如图3），让学生根据三种交通工具给定的路程单位，猜测对应的时间单位。

教师提问：“能不能用数学的方法，让大家一眼就看出谁快谁慢？”引导学生发现：比快慢时需要统一单位，即标尺，这样才有比较的价值。如可以将三种交通工具1秒钟所行的米数作为标尺（如图4）。每秒、每分、每小时行的路程都是比较快慢最公平的尺子。由此，学生体会到速度既和路程有关系，也和时间有关系。

在这一教学过程中，速度概念并非直接告知学生的，而是学生通过解决具体问题逐步形成的。学生通过直观感知来认识速度的含义，得到速度是衡量快慢的尺子，感受速度的价值，然后进一步将速度概念应用于生活实例，如猎豹的奔跑速度达到1800米/分，卡车的行驶速度为60千米/时。教师要鼓励学生用自己的语言表达对速度的理解，并举例说明不同物体的速度差异。由此，学生对更多物体的速度有了感知，又在不同的单位表达中感受了速度的快慢。

（四）提炼数量关系，构建数学模型

教师要求学生将已学的数量关系和“速度、时间和路程”的数量关系进行比较，构建出一般性数学模型（如图5），并将其应用于实际问题中，使学生体会简单的乘法模型，再指导学生利用这一数学模型解决生活中的一类问题。这是数学应用的基本方法。此外，教师还可辅助使用微课，引导学生建立数量关系等式和已经学过的乘法模型的联系，深入探究数量关系的本质。

学生发现单价、速度相当于每份数，数量、时间相当于份数，总价、路程就相当于总数，这些关系都可以归纳为“每份数×份数=总数”这一模型。通过寻找生活中类似的数量关系，学生构建了乘法关系模型，从而加深了对数学模型的理解和应用。

三、迁移：解决实际问题，感悟关系模型价值

教师应当创设适当的情境，为学生提供应用数学模型的资源与机会，使学生通过不断的练习，能够熟练掌握数学模型的构建，为后续数学模型的实际应用奠定基础；通过生活中的实际情境，使学生在深入理解速度概念的基础上，对知识进行巩固、强化和应用，从而有效提升学生的实践能力和思维能力，使学生能够运用所积累的经验解决实际问题。

教师呈现数学问题：一辆汽车上午7时从A城出发前往B城（该段路程限速80千米/时）。在前4小时，汽车的平均速度为60千米/时。为了尽快到达B城，司机在后2小时提速，全程420千米。司机能在13时准时到达吗？你想对司机说些什么？

让学生独立尝试用不同的数学方法解决问题。

420-60×4=180（千米）。

方法一：180÷2=90（千米/时）， 90千米/时＞80千米/时，因此要在13时准时到达，司机一定会超速。

方法二：80×2=160（千米），180千米＞160千米，因此不能在13时准时到达。

方法三：180÷80=2（时）……20（千米），不能在13时准时到达。

在此基础上，教师引导学生进一步思考：如果要让司机在不超速的情况下在13时准时到达B城，你有什么好方法？学生可以从速度、时间和路程的角度进行比较，最终找到既能准时到达又不超速的方法。

最后，教师应引导学生概括出“路程=速度×时间”这一乘法数量关系，并将其应用于生活中的实际问题。通过实践应用，学生可以更深入地理解数学模型的价值，并在复杂的生活情境中灵活做出决策，从而进一步提升解题能力。

综上所述，“速度、时间和路程”的教学实践，不仅融入了乘法关系的教学理念，而且对传统的教学模式进行了有益的突破。在基于模型意识的数量关系的教学中，教师可以从学生熟悉的生活情境入手，引导他们通过具体情境深入理解速度的概念，将实际问题转化为数学问题，通过对比分析找出数量关系的共同特征，并运用表格、文字解释、图形描绘等手段直观呈现速度、时间、路程之间的内在关系。为了更好地培养学生的模型意识，教师可以引导学生从具体的情境中抽象出數量关系，进而将“单价×数量=总价”“速度×时间=路程”这些数量关系统整为“每份数×份数=总数”的一般性数学模型，为后续运用类比思想学习“工作效率×工作时间=工作总量”等数量关系打下基础，实现知识的迁移与拓展。此外，教师还可以设计一系列具有挑战性的问题，鼓励学生在解决问题的过程中不断尝试、调整和完善自己的模型，从而培养他们的创新思维和问题解决能力。

参考文献：

［1］王永春.小学数学数量关系及其教学的研究［J］.小学数学教育，2022（7/8）：4-10.

［2］吴正宪.在关键概念的理解与运用中发展模型意识：“速度 时间 路程”课堂教学实录［J］.小学教学（数学版），2023（7/8）：90-95.

［3］李晓梅，李雅杰，王井.回归概念本质   渗透模型意识：“路程、时间与速度”教学设计与说明［J］.小学数学教育，2021（19）：41-44.

（浙江省杭州市余杭区五常中心小学）