浅析排列组合中分组分配问题的解题策略

2024-05-22成都经济技术开发区实验中学校杜海洋

中学生数理化(高中版.高二数学) 2024年3期

■成都经济技术开发区实验中学校杜海洋

排列组合问题是高考数学中的必考题型,题型多变,解题方法也多种多样。其中分组分配问题是排列组合中的一类综合性问题,也是排列组合中的难点,两者之间既有区别又有联系,稍不留意就会引发混淆。为了解决这一棘手问题,下面将结合几个例题谈一谈解答分组分配问题的策略。

一、分组问题

1.完全均匀分组

例16 本不同的书,按下列要求分配,求各有多少种不同的分法:

(1)分给甲、乙、丙三人,每人2本;

(2)分为三份,每份2本。

解析:(1)将6本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人2本,可以分为三步完成:第一步,先从6本书中选2本给甲,有C26种选法;第二步,从剩余的4本中选2本给乙,有C24种选法;第三步,最后剩余的2本给丙,有C22种选法。由分步乘法计数原理知,共有=15×6×1=90(种)不同的分法。

2.部分均匀分组

例22023 年亚运会在杭州举办期间,将6 位志愿者分成四组,其中两组各2人,另两组各1人,分赴亚运会的4个不同场馆服务,不同的分配方案的种数为( )。

A.4 320 B.1 080

C.180 D.90

解析:将6位志愿者分成四组,其中两组各2人,另两组各1人,有=45(种)方法,进而将其分配到4个不同场馆,有A44=24(种)方法。由分步计数原理可得,不同的分配方案有45×24=1 080(种)。选B。

点评:该问题属于先平均分组(堆)再分配的问题,先将6位志愿者分成四组,其中两组各2人,另两组各1人,再将其分配到4个不同场馆即可。在分组过程中,要注意分组重复的情况,理解中分母的意义。

3.完全非均匀分组

例3要把9本不同的课外书分给甲、乙、丙3名同学,如果要求一人得4 本,一人得3本,一人得2本,则不同的分法共有多少种?

解析:要完成分配任务,可以分为两步:第一步,将9本书按照4本、3本、2本分为三组,有种方法;第二步,将分好的3组书分别给3个人,有A33种方法。

点评:完全均匀分组和部分均匀分组在计数过程中易出现重复现象,注意计算公式的应用。重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以m!。关于分组问题,有完全均匀分组、完全非均匀分组和部分均匀分组三种:①完全均匀分组,每组元素的个数都相等;②部分均匀分组,应注意不要重复;③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复情况。无论分成几组,应注意只要有一些组中元素的个数相等,就存在均分现象,解决这类问题必须按照均匀分组的公式来解决。

例4将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4 个人,每人至少一本的不同分法共有____种。

解析:先把6本不同的书分成4组,再分给4个人,但该题易出错的地方有两个:一是分组考虑不全造成漏解,分组方式有2种,即3,1,1,1与2,2,1,1;二是2,2,1,1分组时,忽视均匀分组问题造成增解。

把6本不同的书分成4 组,每组至少一本的分法有2种。

二、分配问题

1.相同元素的分配问题

相同元素的分配问题,常用“隔板法”,即将n个相同的元素分成m份(n,m为正整数),每份至少一个元素,可以用m-1 块隔板,插入n个元素排成一排形成的n-1个空隙中,共有种方法。

例5方程x1+x2+x3+x4=12的正整数解共有( )组。

A.165 B.120 C.38 D.35

解析:如图1,将12个完全相同的球排成一排,在它们之间形成的11个空隙中任选3个插入3块隔板,把球分成四组,每一种分法所得球的数目依次是x1、x2、x3、x4,显然满足x1+x2+x3+x4=12,故(x1,x2,x3,x4)是方程x1+x2+x3+x4=12的一组解。反之,方程x1+x2+x3+x4=12的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式,故方程x1+x2+x3+x4=12的正整数解的数为165,选A。

点评:相同元素分配问题的常见处理策略如下。

①隔板法:将放有小球的盒子紧挨着成一排放置,便可看作排成一排的小球的空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”。每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法,此法称为隔板法。隔板法专门解决相同元素的分配问题。

②将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m),每个对象至少分得一个元素,有Cm-1n-1种方法。可描述为在n-1个空中插入m-1块隔板。

③将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m),有Cm-1n+m-1种方法。可转化为将n+m个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m),每个对象至少分得一个元素,有Cm-1n+m-1种方法。即在n+m-1 个空中插入m-1块隔板。