例谈帕德逼近在导数中的应用

⦿ 湖北省监利市监利中学 胡 畅

1 帕德逼近的定义及常用函数逼近表

帕德逼近来源于高等数学中的函数逼近理论,它不是高中数学课程中的学习内容,也不在高考考查范围内,但由于该理论体现了用代数函数逼近超越函数的思想,所以经常会成为导数压轴题的背景.如果高中数学教师能够了解该理论,就会站在更高的角度看问题,教师认识数学问题的高度决定了学生认识问题的高度,为了培养创新型的学生,我们应该做研究型教师,这也是时代对教师提出的要求.

1.1 帕德逼近的定义

1.2 常用函数帕德逼近表

几种常用函数帕德逼近举例如下.

(1)f(x)=ln(1+x)在x=0的[m,n]阶帕德逼近如表1所示：

表1

(2)f(x)=lnx在x=0的[m,n]阶帕德逼近如表2所示：

表2

(3)f(x)=ex在x=0的[m,n]阶帕德逼近如表3所示：

表3

2 帕德逼近在模拟题中的应用

(1)当a=1时,求f(x)的最小值.

(2)若函数g(x)有三个零点x1,x2,x3,且x1

(ⅰ)求a的取值范围;

(ⅱ)证明：x1+x3+4x1x3>3a.

(2)(ⅰ)a>2(过程略).

而x1x3=1,所以x1+x3+4x1x3>3a.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)设a,b是两个不相等的正数,且a+lnb=b+lna,证明：a+b+lnab>2.

解：(1)(过程略).

(2)令a-lna=b-lnb=m,则lna=a-m,且lnb=b-m.因此,只需证a+b>1+m.

化简,得

①

②

②-①,得

b2-a2-(1+m)(b-a)>0.

整理,得

a+b>1+m.

点评：这道题刚出来时,在微信群引起了数学老师的广泛讨论.其实这类零点估计问题,大多都是以泰勒展开式或者帕德逼近为背景来命制的.对照常用函数帕德逼近表,我们发现该题中就是利用f(x)=lnx在x=0处的[1,1]阶帕德逼近.通过以上示例可以看出,利用帕德逼近证明函数中的不等式可以提高解题速度,但运用该法的难点是要根据函数结构以及要证明的结论,找准合适的帕德逼近.

3 帕德逼近在高考题中的应用

高考试题中多次出现以高等数学为背景的试题,教师自身应加强对高等数学相关背景的研究,有利于教师把握本质,提升能力.同时,我们也要注意到,以高等数学为背景的高考试题,也都能应用中学数学的知识和方法加以求解.因此,研究高等数学背景并不意味着要在教学中补充高等数学知识,盲目提高要求,加重学生负担,而是应加强自身研究,优化教学,有效提升学生的数学思维能力.

例3(2018年全国高考Ⅲ卷)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(x+1)-2x.

(1)若a=0,证明：当-1

(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a的值.

(1)求f(x)的单调区间;

解：第(1)(2)问过程略.下面用帕德逼近就第(3)问右边的不等式作简要说明.

由y=g(t)的图象可知,对于给定的m∈(0,1),当b增大时,图象g(t)下移,t1,t3均减小;反之,当b减小时,图象g(t)上移,t1,t3均增大.

分析：2022年浙江高考导数题最后一问,是2022年所有省份高考压轴题里最难的,解决该题主要有两个方向.一是官方解答中的代入,换元,消元,转化为一个复杂的不等式证明;二是极端化,然后对lnx放缩.无论用哪种方法,都需要对lnx进行高精度的放缩.

4 帕德逼近的变式训练

学之道在于“悟”,教之道在于“度”.但不思考不会有悟,教师在平常的教学中,除了干净利落地给出问题的解答,还应透彻清晰地确定问题的背景,再通过问题的背景进行变式题的设计,这样才能到达举一反三的效果,才能让学生有机会学以致用,以避免问题与方法各自相对封闭.

利用y=ex在x=0处的[1,3]阶帕德逼近函数,可以设计与2018年全国Ⅲ卷类似的变式题.

变式1函数f(x)=(ax3-x+2)ex-x-2,a∈R.

(1)若a=0,证明：xf(x)≤0;

(2)若x=0是函数f(x)的极小值点,求实数a的值.

另外,也可以通过帕德逼近设计一些零点估计类的问题.在平常训练中,零点估计(极值点偏移)问题的解决主要依赖于对数平均值不等式[2],但是我们可以通过帕德逼近设计一些更紧的不等式证明问题,例如利用f(x)=lnx在x=0的[2,1]阶帕德逼近可设计如下变式：

变式2已知函数f(x)=x-lnx-a有两个相异的零点x1,x2(x1

(1)求a的取值范围;

利用f(x)=lnx在x=0的[1,1]阶帕德逼近可设计如下变式：

变式3已知函数f(x)=x-lnx-a有两个相异的零点x1,x2(x1

(1)求a的取值范围;

(2)证明：x1+x2>1+a.

教师在平常的教学中要打破就题讲题的教学观,认真研究试题,找到一类题的共性,做到“自然、简单、优美、统一”.

5 教学启示

高观点的试题背景是命题的重要来源.很多高考试题都具有高等数学的背景,如圆锥曲线中的极点极线、曲线系方程,导数中的泰勒展开、洛必达法则、帕德逼近等,合理分析这些试题的背景,探寻这些试题的命题方法,可为复习备考提供一些新的生长点.另外,多数具有高观点背景的导数压轴题,由于命制时已将一般性的问题变成具体的适合高中生做的试题,因此会有较强的综合性和新颖性,对于时间紧迫的考生而言会有很大压力.然而对于优秀考生,一旦清楚其中的背景,就可快速得出结果,也为如何书写提供了方向.