基于“抽象素养”培养的课堂教学实践与思考——以“导数的定义”为例

⦿ 江苏省通州高级中学 徐婧婧

抽象素养指学习者经历数学抽象过程而获得的一种能力.此类素养的发展一般以问题情境为起点,学生通过对情境的分析,舍弃一些无关的内容,提炼出数学属性,并借助丰富的数学语言加以表征[1].研究发现,数学中的很多基础知识都给抽象素养的培育与发展提供了肥沃的土壤,特别是在“导数的定义”教学中关注抽象素养的培育,可有效挖掘学生的潜能,拔高思维,为发展数学核心素养夯实基础.

1 教学过程设计

1.1 创设情境,激趣启思

多媒体展示如下两个情境：(1)《庄子天下篇》中载有“尺之锤,日取其半,万世不竭.”(2)将一个圆,以圆心为起点分成无数个小扇形,形成的扇形数量越多则越接近小三角形的面积.

教师通过展示图片,合理借助语言分析与设置,要求学生说说它们的共性特征.

设计意图：这两个情境意在让学生通过对文字与图形的感知,初步体会数学无限逼近的思想,也是抽象素养培育的一种基本方式,为导入新课奠定基础,达到渗透数学文化、激趣启思的目的.

1.2 引入实例,初步探索

实例跳水运动中,运动员和水面的距离h(单位：m)和起跳之后的时间t(单位：s)之间的函数关系为h=-4.9t2+6.5t+10,那么t=2时的瞬时速度是多少?

问题1请大家以小组合作学习的方式讨论本题的解题方案.

生1：我们组经讨论后认为可取t∈[2,2.1]的平均速度,估算问题的结论.

师：如此估算出来结论的是否一定准确?

生2：多取几组就可以了,如分别取t∈[2,2.2],t∈[2,2.3],t∈[2,2.4],t∈[2,2.5]……

师：想要获得精准的瞬时速度,就要合理缩小时间间隔,谁来说说怎样调整时间间隔更合理有效?

生3：可以分别取t∈[2,2.1],t∈[2,2.01],t∈[2,2.001]……

生4：换个思路,还可取t∈[1.9,2],t∈[1.99,2],t∈[1.999,2]……

生5：分别用0.1,0.01,0.001,0.000 1或-0.1,-0.01,-0.001,-0.000 1来表示,而后借助计算软件获得Δt在不同取值时所对应的值.

问题2当Δt无限趋近于0,运动员的平均速度会呈现出怎样的变化?

设计意图：合作交流的模式,意在让各个认知水平层次的学生都能在这个问题的探索中有所收获;平均变化率、瞬时速度等的探索,意在夯实学生的知识基础.同时,也为抽象素养的培育创造条件.

1.3 新知建构,深化理解

问题3若以函数f(x)描述上述问题中的函数,该怎样描述f(x)在x=x0处的瞬时变化率呢?

此问促使学生成功提炼出导数的定义.(教师板书定义,此处略.)

问题4类比切线斜率的求解方法,该怎样理解导数的几何意义?

生7：函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率为函数f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率,那么y=f(x)在x=x0时的导数f′(x0)即为曲线y=f(x)在点(x0,f(x))处的切线斜率.

由此,师生共同总结出导数的几何意义：f(x0)为函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率,即处于运动状态的物体在特定时刻t0的瞬时速度.

问题5与求切线斜率与瞬时速度的过程进行类比,求导数的基本步骤有哪些?

设计意图：导数定义的提取、导数的几何意义与求导步骤的总结帮助学生成功构建了新知,课堂在问题的引导下渐入佳境.利用类比思想的渗透,增强学生知识与学习方法的迁移能力,促进数学抽象素养的发展.基于旧知识的类比与创造,成为数学抽象素养培育与发展的一个重要方式.

1.4 练习训练,应用定义

练习1请用多种方法探索函数y=2x2+4x+5在x=0时的导数,并阐述此时导数的几何意义.

变式若f(x)=2x2+ax+5,已知f′(2)的值为4,求a的值.

练习2将原油进行冷热加工,可分别提炼出柴油、汽油与塑胶等产品.若在第xh,原油温度(单位：℃)是f(x)=x2-7x+14(0≤x≤8),请分别计算x等于0,2,6时的导数.

设计意图：练习1及其变式的提出,意在引导学生借助新知分别从“数式”与“图表取值”两个维度来解决问题,感知符号表征的优势,进一步强化学生对导数定义的认识;练习2从生活实际出发提出与导数相关的问题,一方面考查学生的应变能力,另一方面发散学生的思维,增强学生的抽象素养,为推进核心素养的发展创造条件.

1.5 归纳总结,巩固提升

要求学生分别从本节课所学数学基础知识、涉及到的数学基本思想方法以及探索数学基本经验等维度进行归纳总结,特别也为进一步培育数学抽象素养创造条件.

学生自主分析,总结如下.①知识：瞬时速率、瞬时变化率、导数的定义等,课堂中掌握了求导的基本步骤,获得了“求函数在某点处的导数”的能力;②思想方法：数形结合、归纳、类比、无限接近等数学思想方法;③学习经验：想要探索一个未知的概念,可通过对不同实例的分析,探寻其共同特征与规律,用符号语言对其性质关系进行描述.

设计意图：基于不同维度对课堂教学内容进行提炼与总结,可进一步梳理知识结构,完善认知,提升学力.同时,课堂总结也是发展数学抽象素养的一种方式,学生通过对零碎内容的梳理与整合,可抽象出简洁的知识架构.

2 思考与感悟

俗话说：“授人以鱼不如授人以渔.”数学课堂教学除知识的传授外,还要注重学习方法、经验与能力的培育.数学抽象作为数学核心素养的重要组成部分,不仅是促进个体发展的重要因素,更是当今社会对高层次人才的需要.新课标背景下,单纯的知识传授与练习训练虽然能提高成绩,但对于学生长远的发展意义不大.想要从真正意义上提升学力,培育适应社会发展的人才,就要带领学生苦练“内功”,在学习过程中积极思考与交流,不断积累学习经验,让思维经历由浅入深的抽象与概括过程[2].

总之,数学抽象素养的培育并非一朝一夕就能完成的基本目标.作为教师,应在充分了解学生现有数学知识认知水平与数学技能的基础上合理设计教学方案,借助数学创新情境与应用情境等的创设,引导学生亲历数学基础知识的形成与发展过程,在这个过程中不断提升数学抽象素养,为数学核心素养的形成与发展创造有利条件,也为全面提升数学品质与优化数学素养奠定基础.