不平移齐次化方法在圆锥曲线问题中的应用

⦿ 浙江省杭州学军中学海创园校区 陶勇胜 徐小芳

圆锥曲线问题,由于其侧重考查学生的数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养,是高考数学中一个重要的考点,其中一类以直线的斜率之和或者之积为背景的圆锥曲线问题更是近几年高考中考查的热点.运用平移齐次化方法求解圆锥曲线问题,具有简化计算、提高解题效率的作用,但此法需要平移圆锥曲线或者平移整个坐标系,因此,先要重新绘制图形,且在计算过程中需要左、右或者上、下平移,计算结束后再平移回原来位置,实际书写也有很多不便.正因为上述不便,所以对平移齐次化方法进行改进显得很有意义且很有必要.如果不平移圆锥曲线或者不平移整个坐标系而直接采用齐次化方法,是否可以解决这类圆锥曲线问题?本文中先用不平移齐次化方法对几个常见的模型进行推导,然后总结该方法的一般步骤和适用范围,并运用该方法探究2022年和2023年圆锥曲线高考题,以期优化解决此类问题的思维策略.

1 探究不平移齐次化方法

下面用不平移齐次化方法进行证明.

点评：(1)不平移齐次化方法是一种根据定点的坐标,先分析斜率之和或之积的最终表示形式,再等价变形椭圆方程及构造直线方程,将二者联立之后,由韦达定理得到斜率之和或之积的形式.与平移齐次化方法相比,减少了左右、上下平移,解答过程简捷,书写方便且易理解.

②构造直线方程m(x-x0)+n(y-y0)=1;

(3)不平移齐次化适用于已知定点的坐标及斜率之和或之积为定值,但不仅限于此(如例3).

(4)性质2的证明可以仿照性质1的证明过程.

2 不平移齐次化方法在圆锥曲线中的应用

2.1 利用不平移齐次化方法求定点

(1)求曲线C的方程;

(2)过点(-2,3)的直线交曲线C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明：线段MN的中点为定点.

图1

故线段MN的中点为定点(0,3).

点评：该题第(2)问是引例中性质1的模型,即“已知kAM+kAN为定值,则直线MN过定点”,只是改变了其中的设问方式.本题的关键点是先将线段MN中点的纵坐标转化为直线AM和AN的斜率之和,并利用不平移齐次化方法得到kAM+kAN为定值,整个解题过程较为简洁.实际上,2022年全国数学理科乙卷第20题与此题背景相似,也可以用不平移齐次化方法求解,读者可以尝试一下.

2.2 利用不平移齐次化方法求定直线

(1)求C的方程;

(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,点M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上.

图2

点评：该题考查圆锥曲线中的热点——定直线问题,若用设线联曲和韦达定理构建交点坐标之间的关系,运算中会出现非对称韦达结构,转化非对称韦达结构是个难点.而本题采用不平移齐次化方法和双曲线第三定义巧妙得到了直线A1M和A2N的斜率之间的关系,联立二者的方程,简捷地得到其交点P的横坐标为定值,且避免了对非对称韦达结构的转化.

2.3 利用不平移齐次化方法求最值

图3

(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值;

(2)求|CD|的最小值.

点评：该题以两条直线的斜率之积是定值为背景求距离的最值,巧妙融合不等式、函数思想和解析几何,综合性较强.根据引例的性质2,得到“两条直线的斜率之积为定值”这一关键条件,消去线段|CD|中的一个变量,从而将求线段|CD|的多变量最值问题转化为单变量的函数最值问题,再利用柯西不等式或者二次函数的性质求解,体现了函数和转化思想.

从近几年高考中的圆锥曲线试题来看,基于引例中的性质命制的试题不在少数,命题不回避这一热点,且常考常新.教师可对其整理归纳,与学生一起探究这类试题的共同点,帮助学生实现“迁移数学知识、类比解题方法,从具体的教学情境中抽象出共性、方法和体系”.另一方面,从高考试题的研究出发的命题和解题教学,既能帮助教师把握命题逻辑的正确性,也能帮助教师从不同角度对高考试题进行引申、类比和拓展,把试题价值最大化,还可以帮助教师能从数学的本质出发,呈现知识的生成过程,使得复习备考真正做到“精准高效”.