对一道解析几何试题的探究与拓展

⦿ 浙江杭州第二中学钱江学校 周杭敏

⦿ 中国矿业大学 周胜炜

1 真题呈现

解析几何在全国新高考卷中分值占比较大,往往以2个客观题、1个解答题的形式出现,是考查的重点,备受关注.下面我们从一道高考真题说起.

这是2022年全国数学新高考Ⅰ卷的第21题,主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线与双曲线的位置关系等知识,涉及数形结合、方程思想等.在情境“两直线的斜率之和为0”中融入了简单的“对称关系”,立足常规又超越常规,凸显了新高考基础性、综合性、应用性及创新性的要求.

2 一题多解

2.1 立足常规,提升数学运算素养

解法1：线参法一,设直线PQ的方程.

如图1,显然直线l的斜率存在.设l：y=kx+m,P(x1,y1),Q(x2,y2).

图1

联立直线与双曲线方程,可得(2k2-1)x2+4kmx+2m2+2=0.

整理,得

2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0.

化简,得(k+1)(m+2k-1)=0.

而直线l不过点A,即2k+m≠1,故k=-1.

评注：设直线l：y=kx+m时还需考虑斜率不存在的情况,故还可设l：x=ty+n,避免分类讨论.“设直线方程—联立方程组—消元—韦达定理……”,整个过程展现了利用坐标思想解决几何问题的一般程序,属于通性通法.目标明确,思路清晰,符合大部分学生的思维习惯.运用这种方法学生容易拿到部分过程分,但缺点是计算量大,计算结果易错,所以在平时教学中要注重培养学生的数学运算素养.

解法2：线参法二,设直线AP,AQ的方程.

设直线AP的斜率为k,则直线AP的方程为y-1=k(x-2),与双曲线方程联立,得

(1-2k2)x2+4(2k2-k)x-4+8k-8k2=0.

评注：在两条相关联的直线与圆锥曲线交汇生成的问题中,要会灵活运用同构运算,因为解题过程中常常有算理相同的运算.只要认真仔细地算准一个表达式,那么另一个表达式就可以通过同构替代,进而简化运算.例如,本题中根据两条直线斜率之和为0,可用-k代换k,快速得到x2,y2.

另本题也可以不求y1,y2.

因为AQ：y=1-k(x-2),所以

解法3：直线参数方程法.

评注：引入参数,利用直线参数方程中参数的几何意义,搭建起题目中量与量之间的关系,建立方程来求解,减少了运算量,这种方法在探究解析几何问题中有独特优势.

解法4：点差法.

设P(x1,y1),Q(x2,y2),由kAP+kAQ=0,得

①

2y1y2+x1x2-2(y1-y2)-2(x1-x2)-6=0.

②

同理考虑点A,Q得

2y1y2+x1x2+2(y1-y2)+2(x1-x2)-6=0.

③

评注：维果茨基提出要在学生的“最近发展区”教学,启发学生思考与交流.“点差法”是解决圆锥曲线问题的一种常用方法,引导学生尝试从数学角度发现和提出问题、分析和解决问题,在层层递进的学习中提炼方法,积累数学活动经验.

2.2 转化化归,提升逻辑推理素养

解法5：齐次化简法.

设PQ：m(x-2)+n(y-1)=1,P(x1,y1),Q(x2,y2).

(x-2)2-2(y-1)2+4(x-2)-4(y-1)=0.

联立,齐次化,得(x-2)2-2(y-1)2+[4(x-2)-4(y-1)][m(x-2)+n(y-1)]=0.

整理,得(-2-4n)(y-1)2+(-4m+4n)·(x-2)(y-1)+(1+4m)(x-2)2=0,即

所以PQ：m(x-2)+m(y-1)=1.故kPQ=-1.

解法6：坐标平移法.

于是双曲线方程C′：(x′+2)2-2(y′+1)2=2,即

x′2-2y′2+4x′-4y′=0.

设l：m(x-2)+n(y-1)=1,即l：mx′+ny′=1,故可得x′2-2y′2+(4x′-4y′)(mx′+ny′)=0.

评注：解法6与解法5本质类似,都是将问题由“繁”到“简”,化“异”为“同”.通过齐次化简,进一步提升转化化归能力,发展学生的逻辑推理素养.

2.3 特值探路,提升直观想象素养

解法7：特值探路.

特值1：取点P,Q,使得kAP=1,kAQ=-1,算出点P,Q的坐标,可得结论,但解题速度不一定是最快的.

特值2：极限思想法.如图2所示,借助几何画板,当点P,Q同时趋近于点A的对称点A′时,kAP→+∞,kAQ→-∞,满足kAP+kAQ=0.故此时直线PQ的斜率即为点A′处切线的斜率,易得kPQ=-1.

图2

评注：波利亚认为解题要注重联想,提出解题需要预测和回忆,上述特值法便是联想.从特殊点或特殊位置入手,大胆猜想结论,从而找到证明目标,是解决这类问题的策略之一.先求得运算结果有助于优化运算方法,提升学习信心;之后再推理证明,从特殊到一般,充分体现解析几何“先用几何眼光观察,再用代数方法证明”的学科思想.这种以自主学习、探索为主的教学模式,与杜威所倡导的“发现问题、提出假设、验证假设、形成结论”教学流程不谋而合.

多角度审视,可以看清问题的本质.一题多解,横纵衔接,有利于不同水平的学生作答,拓展思维,从而触类旁通.但方法越多,也越需要梳理,同时要研究适用对象,把握解析几何的本质,突出理性思维.

综上,研究解析几何试题,主要有“线参”和“点参”两种通法.在具体实践中,解法1与解法2为大多数考生所选用,思路清晰,能拿部分得分,但计算量大;解法3～6对学生思维能力的考查要求较高,内涵丰富,且运算量相对减少,更适合尖子生脱颖而出,而解法7相较更适用于选择题或填空题.正如章建跃博士所说,高考命题的目标是“既要均值,也要方差”,不仅要兼顾基础,让多数学生学有所得,也要加大区分度,便于选拔出拔尖创新人才.

3 追本探源

数学家哈尔莫斯说：“The problem is the key.”此时教师及时提出以下问题：

(1)我们能够总结出解这道题的方法吗?

(2)我们能否一起探究出这道试题背后蕴藏的机理?是否有相关性质或结论,便于后期快速解题?

(3)我们是否可以尝试变式,并且运用已学的方法证明?

(4)你是否在其他题目中也用到过这些方法?

3.1 试题背景

倾角互补,连线定角：当点P在曲线C上,过点P作两斜率互为相反数的直线,这两条直线与曲线C的两个交点分别为A,B,则直线AB的斜率为定值.

该结论适用于椭圆、双曲线和抛物线.

3.2 二级结论

重现经典问题往往可得出一系列结论,让学生的数学思维走向深刻、走向深入,促进对问题的深度理解.学生独立思考,相互探讨,合作交流.

以椭圆为例,得到了以下4个二级结论：

类比椭圆,双曲线、抛物线也有类似的二级结论,此处不作具体论述.

4 一题多变

4.1 变式研究

4.2 联系真题

真题1(2009年江苏高中数学联赛解答题第2题)

已知抛物线y2=2x及点P(1,1),过点P且不重合的直线l1,l2与此抛物线分别交于点A,B,C,D,证明：A,B,C,D四点共圆的充要条件是直线l1,l2的倾斜角互补.

(1)求C的方程;

5 小结反思

纵观近几年全国卷新高考试题,发现全国卷不回避以往的高考题和常用结论.解析几何大题注重基础,很多题目来源于教材或历年高考题,而且都有着内涵丰富的知识背景.从一题多解到一题多变,亦或是多题一解,我们要鼓励学生“多思少算”,打破以往的“模式化”,充分挖掘题目的教学价值,发展创新思维能力和应用数学解决实际问题的能力,提升数学素养.同时,在新高考、新教材的衔接中要主动改革学习方式和育人方式,贯彻立德树人的要求.

2024年1月,教育部教育考试院命制数学科适应性测试卷,并组织了相关省份进行适应性演练.其中第18题解析几何题不仅分值增加,而且更突出对学生思维品质的考查,引起一线教师和专家学者的广泛关注.教师更加深刻地认识到教学中要引导学生回归教材,减少死记硬背和机械刷题,学会融会贯通、灵活应用;鼓励学生夯实基础,多角度思考,深入探究,从而提升思维品质和数学素养.

教学是一门艺术,是一门可以一直追求完美,但不可能完美的艺术.知识、能力与素养都是我们追求的目标.路漫漫其修远兮,只要不停息,一起一步步地继续探索,数学核心素养自然会在学生心里生根发芽,慢慢生长.