基于深度学习 渗透核心素养

⦿ 福建省同安第一中学 范丹妮

深度学习是指在教师引领下,学生围绕着具有挑战性的学习主题,全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程[1].

数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析[2].

如何开展教学才能更好地推动学生深度学习、发展学生核心素养呢?教师需要在把握数学本质的同时,兼顾学生的思维规律与教学的基本规律,创设恰当的情境,让学生围绕揭示本质的问题展开深度学习.笔者设计了“n次方根与分数指数幂”的教学案例,供读者参考.

1 教材内容解析

教学线索如图1所示：

图1

2 教学分析

2.1 教学目标

(1)理解根式的意义,掌握根式的性质.

(2)掌握分数指数幂的定义及其与根式之间的互化.

(3)掌握并能够初步运用分数指数幂的运算性质.

2.2 教学重难点

重难点：n次方根的概念及性质、分数指数幂的意义、根式与分数指数幂的互化、有理数指数幂的运算性质.

重难点突破：以初中学习的根式为切入点,类比归纳出n次方根的概念.结合具体例子,从特殊到一般,引导学生得出n次方根的性质,而平方根、立方根的性质则可以进一步推广到n次方根的性质,授课时,充分利用平方根、立方根、四次方根,突破学生对n次方根性质的掌握.分数指数幂是对指数概念的进一步推广,课堂上可结合具体例子让学生理解其定义的合理性,明确它其实是根式的另一种表现形式,在根式与分数指数幂的互相转化中巩固理解.有理数指数幂的运算性质与初中学过的整数指数幂的运算性质一致,学生学习起来应该不难.

教学线索如图2所示：

3 育人价值

通过n次方根、分数指数幂的概念的学习,体会从特殊到一般的思想,培养数学抽象、直观想象素养.通过对n次方根性质的探究,体会分类讨论思想方法,培养逻辑推理素养.通过由整数指数幂的性质得到分数指数幂的性质,体会指数幂的推广过程中,运算性质的前后一致性,培养逻辑推理、数学运算素养.

从更宏观的视角来看,回顾学生在小学阶段学习数的过程,从正数到负数,到有理数,最后到无理数,而指数幂的推广恰恰也是按照同样的路径展开,从正整数指数幂到负整数指数幂,到分数指数幂(下节课还会推广到到无理数指数幂),这体现了研究数学问题的前后一致性和逻辑连贯性以及数学的严谨性,是发展学生理性思维的良好载体.这对发展学生“四基”“四能”,提升数学核心素养都具有非常积极的作用.

4 教学过程

4.1 新课导入

4.2 探究新知(一)

师：初中我们学过平方根和立方根,请同学们回顾一下它们的定义.

生：如果x2=a,那么x叫做a的平方根.

生：如果x3=a,那么x叫做a的立方根.

师：如果x4=a呢?仿照前面,你认为x叫做a的什么?能举个例子吗?

生：四次方根!比如±2是16的四次方根,因为(±2)4=16.

师：进一步推广,能否得出n次方根的概念?

生：如果xn=a,可以把x叫做a的n次方根.

师：n有没有范围?

生：n>1,n∈N*.

师：请思考,一个数的n次方根可能有几个?如何表示它们?我们先从特殊情况展开.

设计意图：一方面,从平方根、立方根入手引出n次方根.激活了学生的已有经验,但这并不是最终目的.经验的改造、提升并使之理性化、抽象化,达到知识的高度、丰富度和自觉度才是目的[4].另一方面,明确接下来要研究的问题,引导学生在具体实例中关注问题的答案,而非盲目参与活动.

师：23=8,2是8的立方根,33=27,3是27的立方根,能否说出其他类似的例子?

生：25=32,2是32的五次方根.

生：(-2)3=-8,-2是-8的三次方根.

师：能说说一个数的奇次方根的情况吗?

生：一个数的奇次方根只有一个.正数的奇次方根也为正;负数的奇次方根仍为负.

师：仿照刚才的探究过程,我们来看看偶次方根的情况.(±2)2=4,±2是4的平方根,还有吗?

生：(±2)4=16,±2是16的四次方根;(±3)4=81,±3是81的四次方根.

师：有没有一个数的平方等于-4?-16?或者有没有一个数的四次方等于-81?

生：没有.任意实数的偶次方必是非负数,负数均不存在偶次方根.

师：那么正数是否存在偶次方根呢?如果存在,有几个?

生：存在,而且有两个,二者互为相反数.如±2是4的平方根.

师：一个数的n次方根的情况与什么有关?

生：与这个数的正负以及n的奇偶有关.

设计意图：从联想与结构的角度思考深度学习,可以通过唤醒学生已有的经验来推进本节课的教学,在当下的学习内容与已有的经验之间搭建桥梁,处理好学生已有经验——平方根、立方根与新授知识——n次方根之间的过渡与转化.其实,把平方根、四次方根的性质推广就得到了偶次方根的性质,把立方根的性质推广就得到了奇次方根的性质.

师：有了新的概念,如何用符号语言表示一个数的n次方根呢?

师：能否用简洁的符号语言表示发现的结论呢?

引导学生归纳,得到表1.

表1

师：数学有三种语言,文字语言、符号语言和?

生：图形语言!

师：上面的结论,能否用图形语言来说明呢?看到xn=a,你会联想到最近学的什么知识?

生：幂函数.

生：xn=a可以理解为y=xn的函数值为a.

师：能否从幂函数的图象与性质的角度考虑上面的结论.

生：如果n为正奇数,易知y=xn为奇函数,其图象关于原点成中心对称;如果n为正偶数,则y=xn为偶函数,其图象关于y轴对称.

图3

图4

设计意图：课程标准中指出,直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养[2].这里借助幂函数的图象与性质,让学生从不同角度理解n次方根,突破本节课的重难点,引导学生学会利用图象理解和解决数学问题,发展学生直观想象素养,渗透数形结合的数学思想.

师：哪个小组能总结一下?

设计意图：“活动与体验”是深度学习的核心特征,也是让学生全身心投入知识发生发展过程的有效途径.要想让学生从被迫接受知识转化为主动探求知识,就需要教师寻找合适的时机,为学生创造“活动”的机会,让其切身经历n次方根性质的发现过程.

4.3 探究新知(二)

生：应该可以.

师：能否推广到一般情况?

(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);

(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);

(3)(ab)r=arbr(a>0,r∈Q).

4.4 总结提升

师：本节课我们学习了哪些知识?你有哪些收获?你认为接下来我们还可以研究什么?

设计意图：回顾学习过程,揭示研究路径,启发学生思考,为接下来无理数指数幂的学习做铺垫.

5 教学反思

深度学习应关注不同学科之间、同学科内部的相互渗透和交融,多以真实情境为起点展开教学.从碳14的残留量引入,体现了学科交融,也体现了数学广泛的应用价值.从函数的观点思考一个数的n次方根的情况,体现了学科内知识的前后联系,同时也有助于学生的进一步理解,发展了直观想象和逻辑推理素养.深度学习应突出深度思辨的思维指向,n次方根的性质涉及到分类讨论,学生在探究的过程中,经历了操作、猜想、思辨、联想,这比知识本身更有价值,同时发展了数学运算素养和逻辑推理素养,培养了学生实事求是、敢于质疑的科学态度.