借助思维导图将思维“可视化”,探寻解题轨迹

2024-05-20四川成都七中邹蕴博陈洲健

中学数学 2024年9期

关键词：充分性导图可视化

⦿ 四川成都七中杨东陈霞邹蕴博陈洲健

用思维导图将思维过程可视化,可以更好地帮助我们寻找解题突破口,也能够更好地梳理问题解决的内置思路.这里,笔者以2023年全国甲卷第21题为例,呈现如何借助思维导图来更好地探索问题的解决.

(1)当a=8时,讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)

1 第(1)问解法分析

图1

上述两种方法的核心其实都是将三角函数化为同名,然后进行换元处理(解答中鉴于篇幅所限,省略了换元的过程).两种处理方式都是抓住sinx,cosx和tanx之间的关系来化简.其中,对于将cosx化为tanx的方式看起来似乎平时很少用到,但是稍后我们会看到,在第(2)问的一些分析中,这种化简途径也是非常有启发意义的.

借助思维导图,我们可以看到这个题目的思维过程是线性结构的,算是一个比较常规的基本形式.但是在每一个步骤上,特别是在结构分析过程中,思维导图会让我们将注意力集中在当下需要处理的问题和结构形式上,从而联想到可以借助三角变形来解决繁琐式子的变形.这种“思维可视化”过程可以让我们更清晰地感受到如何一步一步想到解决问题的思路,也为我们解决数学问题提供了经验的归纳.

2 第(2)问解法分析

2.1 探索a的范围分析

首先辨别清楚这个问题的类型：恒成立求参数取值范围.因此,这里可以激活相应的方法：直接求导讨论;参变分离;必要性策略探路.这几种方法都涉及将思维过程主要分解为两个部分：即找到a的临界值;证明这个值恰好是我们需要的.下面就分这两部分结合思维导图(图2)探索a的范围.

图2

如图2所示的思维导图,展示了通过直接求导讨论、参变分离和半分参放缩来寻找a的临界值的过程.

在分析1中,设g(x)=sin 2x-f(x),那么问题转化为寻找g(x)的最小值.一方面可以通过直接求导,并借助类似第(1)问的方法将cos2x换元,把函数变成一个我们更为熟悉的三次函数,由此自然而然地将a在3两侧进行分类;另一方面,直接分析函数的端点,可以发现函数g(x)在x=0处的函数值为0,要保证函数恒为正数,就需要函数g(x)在x=0处的导数g′(x)≥0,由此得到a≤3.这样得到的必要条件a≤3还需要进一步加以证明.

综上,通过思维的可视化呈现,帮助我们找到了a的分界点,但是这里得到的都是必要性条件,因此还需要进一步分析充分性证明的方法.

2.2 证明充分性分析

图3

从思维导图中可以看到,通过主元法将问题转化为单变量的不等式恒成立问题.这里给出了两种分析思路：直接讨论函数的最值;直接对函数进行放缩处理得到最值.

分析1中,再次用到了第(1)中的整体思想,可以看到整个过程非常清晰明了.这也体现了解决第(1)问的方法在第(2)问中的应用.分析2中,考虑能否直接将函数通过放缩得到结果,这一步其实很难想到.因为从必要性分析中我们已经看到,使用泰勒展开将函数线性化处理的时候,需要将sin 2x和tanx都展开到x3项,tan3x保留x项,这个操作首先需要对泰勒展开的结论很熟悉,其次要探索性地放缩处理,只有这样才能找到合适的放缩方向.