“参数方程”的高三数学第一轮专题复习课例

⦿ 上海市南汇第一中学 杨玉灿

1 考点分析

参数方程是理科数学选修4-4的内容,主要包括：参数方程的概念、直线的参数方程、圆的参数方程、椭圆的参数方程等.同时,参数方程也是高考数学理科考查的内容,题目出现在高考试卷的第22题.笔者对新疆2018年至2022年高考数学试卷中有关“坐标系与参数方程”考查的知识点列表(表1)统计如下：

表1

新疆高考所用的试卷为新课标全国卷Ⅱ或全国乙卷.笔者研究了近五年的高考理科数学试卷第22题(1)(2),其中(1)考查曲线(包括直线)的参数方程,(2)考查曲线的极坐标方程.通过2018年至2022年五年的考卷,分析试卷的命题方向及其解题类型与方法,旨在为加高三第一轮复习提供帮助.

2 题型总结

在高三第一轮复习这部分内容时,一方面要了解参数的几何意义,另一方面还要掌握参数方程的形式及其基本应用.笔者根据自己多年的教学经验,总结出参数方程的基本应用有如下6种类型,仅供读者参考.

2.1 类型1：参数方程与普通方程的互化

例1填空(参数方程化为普通方程)：

分析：本题为2020年高考第22题的改编,直接消去参数即可得普通方程.

例2把下列的普通方程化为参数方程：

(1)x2+y2=9;

点评：参数方程与普通方程两种形式的互化体现了等价转化的数学思想.

2.2 类型2：求直线与曲线的参数方程

例3如图1,设O为坐标原点,M是圆O：x2+y2=1上的任意一点,过点M作x轴的垂线,垂足为N,试求线段MN中点P的轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.

图1

分析：本题可以利用求曲线方程的“五步法”求出曲线的参数方程.

点评：本题是求曲线的参数方程,结合所给的图形,设出参数θ,建立关于参数θ的方程,体现了数形结合的数学思想.

2.3 类型3：利用参数方程解决函数的最值问题

例4已知实数x,y满足(x-2)2+(y-1)2=1,试求：(1)S=x+y的最值;(2)T=x2+y2的最值.

(2)结合(1)中的参数方程,得

点评：本题是利用圆的参数方程,通过“三角换元”转化为三角函数的最值问题.这也是我们求最值常用的三角换元法.对于(2)也可以用“几何法”求解,式子x2+y2的几何意义是原点到圆(x-2)2+(y-1)2=1上点的距离的平方.

2.4 类型4：利用参数方程解决曲线上的点到直线距离的最值问题

解析：利用椭圆C的参数方程可设点M的坐标为(3cosα,2sinα),则点M到直线l的距离

点评：先把椭圆的普通方程化为参数方程,再把点M到直线l的距离转化为关于参数的三角函数的最值问题.本题也可以采用平移相切法来处理.本题采用三角换元法解题,体现了数学的化归思想.

2.5 类型5：利用参数方程解决弦长问题

所以,截得的弦长为|t2-t1|=1.

点评：根据参数t的几何意义,|t|为直线上的点到点(1,0)的距离,可知|t2-t1|为直线被圆截得的弦长.

2.6 类型6：曲线(包括直线)的参数方程的综合性应用问题

(1)求常数a的值;(2)写出曲线C的普通方程.

由点M(5,4)在曲线C上,得4×4=a(5-1)2,即a=1.

(2)由(1)知,曲线C的普通方程为(x-1)2=4y.

(2)过原点O作直线C1的垂线,垂足为A,P为OA的中点,当角α发生变化时,试求动点P的轨迹.

(2)因为C1的普通方程为

xsinα-ycosα-sinα=0,

①

所以过坐标原点且垂直于C1的直线方程为

xcosα+ysinα=0.

②

联立①②,可得A(sin2α,-sinαcosα).

当角α发生变化时,点P的轨迹的参数方程为

消去参数α,可得点P的轨迹的普通方程

点评：本题考查了直线与圆的参数方程以及直线与圆的位置关系.

3 结束语

本课例列举了参数方程的六种题型,通过本节课的教学,帮助学生厘清参数方程的题型特征与解题方法,学会分析与思考解参数方程相关问题的通性与通法.本文中根据近五年高考第22题列表统计与分析,帮助老师和学生了解高考有关参数方程命题的方向,另外,通过对这些题型的探究与解析,帮助学生学会分析其他数学难题,拓展参数方程的应用范围.由于“参数方程”在高考数学中特殊而重要的地位,因此在第一轮复习时,要研究高考命题的难度和类型,从而有针对性地进行第一轮复习,且要注意复习的实效性,切实让学生弄懂学会,在应对高考或“模考”时,信心满满,游刃有余!并在此过程中培养学生的数学运算与逻辑推理等核心数学素养.