草履蚧综合治理模型动力学性态分析

王静雨 田源 劳永瀚 林佳雯 周吕佳

摘要：草履蚧在我国大部分地区都有分布， 通过吸食树液致使树势衰弱， 甚至枝条枯死， 影响产量。本文在对草履蚧及其天敌大红瓢虫之间相互关系分析的基础上， 首先建立了一个具有避难所效应及额外食物来源的捕食-被捕食模型， 分析了系统平衡态及极限环的存在性和稳定性。其次， 从控制草履蚧蔓延角度出发， 建立了一个具有状态反馈的草履蚧综合治理模型，利用后继函数的方法证明了系统阶-1周期解的存在性，并借助类似庞加莱准则给出了阶-1周期解轨道渐近稳定性条件。最后，利用MATLAB对文中所取得的主要结论进行了仿真验证。本文研究为草履蚧综合治理提供了新的思路和方法。

关键词：草履蚧；避难所效应；额外食物；Leslie-Gower模型；综合治理

中图分类号：O175文献标志码：A文献标识码

Dynamic analysis of a Drosicha corpulenta integrated management model

WANG  Jingyu，TIAN  Yuan*，LAO  Yonghan，LIN  Jiawen，ZHOU  Lüjia

（School of Science， Dalian Maritime University，Dalian，Liaoning 116026， China）

Abstract： Drosicha corpulenta is distributed in most areas of our country. It causes tree weakness， even branches dying， and affects yield by sucking tree SAP. In this paper， a predator-prey model with shelter effect and additional food source is established based on the relationship analysis between the Drosicha corpulenta and the Rodolia rufopilosaMuls. The existence and stability of equilibria and the limit cycle are analyzed. Secondly， from the point of view of controlling the spread of the Drosicha corpulenta， an integrated management model based on state-feedback is established. The existence of the order-1 periodic solution of the system is proved by the method of successor function， and the asymptotic stability condition of the order-1 periodic solution is given by means of Analogue Poincar criterion. Finally， the main results are verified by MATLAB simulations. The research in this paper provides a new idea and method for integrated management of Drosicha corpulenta.

Key words： Drosicha corpulenta;shelter effect;additional food;Leslie-Gower model;integrated management

在自然界中，不同生物种群以及同一种群中不同个体间相互依赖， 彼此之间形成了捕食、竞争、共生、寄生等相互作用关系。而捕食-被捕食关系作为自然界中普遍存在的生物关系，在促进生物种间能量循环和维护生态系统稳定性中发挥着十分重要的作用。因此，合理的利用生物种群之间的捕食与被捕食关系，可以达到有效控制害虫种群数量增长的效果。

草履蚧是一種分布广泛、危害严重的害虫，其对植株生长以及人类生产生活均造成了严重的干扰［1］。大红瓢虫是草履蚧的自然天敌，对草履蚧的蔓延起到了一定的抑制作用［2］。因此，借助于捕食-被捕食关系对其进行研究，可以指导草履蚧防治过程，具有重要应用价值。针对生物种群中捕食者与食饵之间的关系，Leslie等［3］首次引入Leslie-Gower模型，自此开启了对Leslie-Gower模型及其改进的广泛研究［4-13］，其中Chen等［4］在Holling-I型Leslie-Gower模型基础上引入了避难所效应，Guan等［5］在改进Holling-II型Leslie-Gower模型基础上引入了避难所效应，Wang等［6］在Leslie-Gower模型中引入了恐惧效应，Claudio等［9］和Fang等［10］在Leslie-Gower模型中引入了Allee效应，Li等［11］和Liu等［13］ 在Leslie-Gower模型中引入了Allee和恐惧双重效应。此外，针对害虫综合治理问题，Song等［14］在改进Holling-II型Leslie-Gower模型基础上引入了周期脉冲控制，Nie等［15］在改进Holling-II型Leslie-Gower模型基础上引入了状态依赖反馈控制，Xu等［16］在改进比例依赖型Leslie-Gower模型基础上引入了状态依赖反馈控制，等等。

在长期自然进化过程中，为了躲避大红瓢虫的捕食，部分草履蚧及幼虫会选择躲避在茂密的枝叶中，进而降低被捕食的概率；另一方面，当草履蚧种群数量较少时，大红瓢虫也可以通过摄食其它生物来补充自身生物量。基于以上考虑，本文建立了一个具有食饵避难所效应以及捕食者额外食物来源的Leslie-Gower模型，分析额外食物数量和避难所系数对系统动力学的影响。同时在此基础上，建立草履蚧综合治理模型，探讨反馈控制策略诱导的系统复杂动力学。

4 数值模拟

为了验证文中所取得的主要结论，对于系统（1），主要参数取：r=1.2，s=0.4，K=100，m=0.8，n=0.4。由此可計算得β-=0.975。下面拟通过调整β，α和p的值来进行验证。

4.1 连续动力系统数值模拟

（1） 取α=0.3<α-，此时系统（1）存在唯一的正平衡态。

1） 取β=0.2<β-。当p=0.25时，如图4A所示，E* （67.43， 13.79）稳定（G（67.43）>0）；当p=0.5时，如图4B所示，E*（37.25， 15.2）稳定（G（37.25）>0）；当p=0.625时，如图4C所示，E*（24.33， 12.47）不稳定，此时系统（1）存在极限环；当p=2.5时，如图4D所示，E*（1.1， 2.5）局部稳定，在E*（1.1，2.5）外围存在稳定的极限环，即系统（1）存在双稳态。

此外，G（x*）>0等价于0

2） 取β=0.98>β-。当p=0.5时，如图5A所示，E*（69.87，35.23）局部渐近稳定。此外，由图5B可知，G（x）>0恒成立，即对于任意的p>0，正平衡态E*均局部渐近稳定。

（2） α>α-。取β=0.5，此时有α-=3。取α=5。当p=0.2时，如图6A所示，此时E*1（5.99，6.2）为鞍点，E*2（55.68，16.14）为稳定结点（G（55.68）>0）；当p=0.32时，如图6B所示，E*1（10.8，8.46）为鞍点，E*2（30.87，14.88）为稳定结点（G（30.87）>0）；当p=0.34时，如图6C所示，E*1（13.33，9.53）为鞍点，E*2（25，13.5）为不稳定结点（G（25）<0）。

4.2 综合治理模型数值模拟

为了验证定理4，取模型参数β=0.5，α=0.3，p=0.25。控制参数选取为：k1=0.5，k2=0.2。首先，对于xH=60％K

对于x-H

5 结论

针对草履蚧综合治理问题，建立了一类具有避难所效应及额外食物来源的捕食-被捕食模型，分析了系统的动力学性态。研究结果表明，避难所效应和额外食物来源对系统正平衡态存在性及稳定性有一定的影响：当额外食物量较小时（即α<α-），系统肯定存在正平衡态，其局部稳定性依赖于捕食者对食饵的依赖程度p；当捕食者额外食物量较大时（即α>α-），如果选择避难食饵比例超过一定阈值（即β≥β-），则系统不存在正平衡态；如果选择避难的食饵比例低于某个阈值（即β<β-），则系统存在正平衡态，其数量及其稳定性依赖于p的大小（定理1， 2）。

为了防止草履蚧数量过大对环境造成危害，通过对草履蚧数量进行监测，建立了基于状态反馈的草履蚧综合治理模型。利用后继函数方法讨论了系统阶-1周期解的存在性（定理4，图7），并利用类庞加莱准则给出阶-1周期解的稳定性（定理5，图7）。研究结果表明，为防止草履蚧数量过大而危害生态环境，通过人为向系统中投放天敌及喷洒杀虫剂等方式，可以将草履蚧数量有效控制在可接受水平，进而达到草履蚧综合治理的目的和效果。

本文研究是对草履蚧综合防治的理论探讨，数值模拟仅限于验证文中主要结论的正确性，而在实际的草履蚧防治过程中，需要结合实际情况以及统计数据来辨识模型参数以及控制参数，再结合文中主要结论来预测控制效果，进而对草履蚧综合防治提供理论方法和参考依据。

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（责任编辑：编辑郭芸婕）