不同静平衡计算方法对缆索动力学释放过程的影响

余佳旭，张大朋*，张仡，赵博文，朱克强，严谨

（1.广东海洋大学船舶与海运学院，广东湛江 524088；2.浙江大学海洋学院，浙江舟山 316021；3.宁波大学海运学院，浙江宁波 315211）

海洋缆索是海洋资源勘探与开发中不可或缺的细长挠性构件。国内外学者在海洋缆索相关领域已进行了多项研究。重庆交通大学的袁培银等人通过实验研究了复杂海况下大型集装箱码头系泊工况，发现波浪的周期和波幅对系泊缆索顶端张力有显著影响[1]。天津大学的赵金凤、张若瑜、唐友刚等人在考虑扭转作用的基础上，分析了不同缆索编制型式对动力学特性的影响，得出缆索张力与编制型式相关的结论[2]。浙江大学的张大朋等人则针对特定海况下的海洋平台系泊系统总体张力分布情况进行了分析[3]。哈尔滨大学的章建军、段文洋等人探讨了Newmark-β迭代解法在缆索动力学特性求解中的效率问题[4]。华南理工大学的刘灶和陈超核研究了风浪流联合作用下半潜式海洋平台系泊系统的水动力特性，发现系统的非线性在这些联合作用下明显增强[5]。中海油的于文太等人通过迭代计算多浮筒悬链线非线性方程组，获得了系泊缆索的姿态参数，并通过实验验证了算法的正确性[6]。哈尔滨工程大学的丁佐鹏基于细长杆理论对系泊缆索进行了离散，开发了完整的静、动力分析程序，同时验证了程序的有效性[6]。宁波大学的朱克强、张大朋等人则运用凝集质量法对海洋缆索进行离散，并将该方法应用于海洋管线与缆索的三维动力学仿真中[7-12]。

尽管上述研究在海洋缆线的数值求解、离散方式以及外界载荷变化对其动力学特性的影响方面取得了显著进展，但关于静平衡计算方法的变化对海洋细长挠性构件总体动力学响应特性的影响，目前仍缺乏定性的研究论述。

静平衡阶段作为动态分析的起点，其结果的准确性对动态分析的结果具有重要的影响。特别是对于海洋细长挠性缆线而言，静平衡阶段的计算方法直接决定了其结果的可靠性。鉴于此，本文将深入探讨三种不同的静平衡计算方法（快速静平衡计算法、解析悬链线法、悬链线法）对系泊缆索释放过程中动力学特性的影响。通过对比分析，本文旨在揭示静平衡计算方法的变化对海洋细长挠性构件动力学仿真过程的具体影响，从而为海洋缆线的动态仿真建模提供有益的借鉴与参考。

一、理论

鉴于这三种方式均根植于传统悬链线理论，并在其基础上进行了特定取舍，本文将从传统悬链线法的推导及其初步假设入手，为下文对三种方法的理论对比提供基础。考虑到业界对经典悬链线法已有深入了解，此处仅展示与下文内容密切相关的部分，而不详述全部经典理论。

我们选择缆索上的一个微小段ds作为研究对象（如图1所示）。其中，D代表垂直于缆索元的流体作用力；F代表沿缆索元切向的流体作用力；T表示缆索的张力；Φ是缆索元与水流方向的夹角，也被称作缆索角；dT和dΦ则分别代表在微小段ds上张力和缆索角的微小变化；ω代表单位长度缆索在水中的重量，这是扣除了浮力后的净重。重要的是，我们在进行缆索元ds的受力分析时，需要引入一个修正项。因为我们在计算缆索元浮力时已经计入了其两端的流体压力，但实际上这两端并不直接受到流体压力的作用。具体来说，我们需要在缆索元上下两端的张力中分别减去ρgA（h-z-dz）和ρgA（h-z），其中A代表缆索的横截面积。

图1 缆索微元受力示意图Figure1 Diagram of Cable Micro-element Force

图2 快速静平衡计算法时缆索下放过程中空间形态的动态变化Figure2 Configuration of Cable with Quick Equilibrium Calculation Method

图3 解析悬链线法计算静平衡时缆索下放过程中空间形态的动态变化Figure3 Configuration of Cable with Analytic Catenary Calculation Method

图4 悬链线法计算静平衡时缆索下放过程中空间形态的动态变化Figure4 Configuration of Cable with Catenary Calculation Method

根据图1，当这些力达到静平衡状态时，我们可以得出以下等式关系：

在缆索元的法线方向上：

在切线方向上：

在这两个公式中，我们利用了缆索元张力和缆索角的变化（dT和dΦ）都是小量的前提，并且省略了包含诸如dTdΦ、dzdΦ等高阶小量的项。

为了进一步简化表达，我们引入表观张力T的概念，即T=T-ρgA（h-z）。这样，（1）和（2）两个公式可以重新表达为：

为了表述的简洁性，我们在后续的讨论中将省略T上的撇号。

值得注意的是，以上两个描述缆索平衡的方程是非线性的，通常难以找到解析解。但在特定情况下，寻求解析解是可能的。比如，在缆索材质较重或海流流速较小时，缆索受到的作用力以重力为主，流体作用力的影响可以被忽略，这样方程就可以简化为：

以上便是传统悬链线法的推导过程。此过程基于一个前提：重力相较于流体作用力是可以忽略的。由于这种方法能够获得明确的解析解，我们将其称为解析悬链线法。

解析悬链线法实际上是对标准悬链线法的一种简化处理。在这种方法中，我们主要考虑了缆索所承受的重力、浮力以及轴向弹性，而忽略了诸如惯性力、拖曳力、附加质量力、弯曲刚度、扭转刚度，以及端点连接刚度和压力等因素的影响。

然而，需要指出的是，如果在特定情况下流体作用力的影响变得显著，那么缆索平衡方程3和4之后的推导就不再成立，从而无法导出式5和6。在这种情况下，我们需要借助数值积分的方法，来逐个考虑流体作用力的影响。

本文所提及的悬链线法是基于传统悬链线理论。与传统解析悬链线法相似的是，它也忽略了缆索的弯曲刚度和扭转刚度。不同的是，它采用了数值积分的方式来全面考虑缆索所承受的各种力，包括重力、浮力、波流拖曳力、惯性力以及缆索的轴向刚度。这一方法目前已成为海洋缆线静态计算的主流方法。为了便于区分，下文中提到的“悬链线法”均指这种方法。

快速静平衡算法是一种为了提高计算效率和收敛性而进行了大量简化的算法。具体来说，它忽略了缆索所受的浮力、流体拖曳力、弯曲刚度和扭转刚度以及缆索与海床之间的相互接触力，仅考虑单位长度的重力和轴向弹性。

二、计算模型的建立

目前，针对海洋管线等细长挠性构件，凝集质量法被广泛采用作为建模和离散方法，且其准确性已获得普遍验证。因此，在本文中，我们选择了凝集质量法来建立系泊缆索的模型。有关凝集质量法的详细阐述，可参考作者在文献中的论述，此处不再重复。

缆索的顶端初始时是系泊在一艘船上的。静平衡建立之初，缆索顶端与船艏紧密连接，静平衡建立后，缆索便会从船艏脱落释放。

系泊缆索的具体参数设置如下：长度为220m，外径0.35m，内径0.25m，弹性模量无限大，线密度为0.18t/m。此外，泊松比为0.5，弯曲刚度为120kN.m2，扭转刚度为80kN.m2，轴向刚度高达700MN。缆索的附加质量系数设为1，法向拖曳力系数为1.2，轴向拖曳力系数则为0.008。在本文中的离散单元为2m，因此，整根系泊缆索被离散成了110个凝集质量点。

具体海况：水深为100m，平坦海床，海床的法向刚度和切向刚度均为1 000kN/m/m2。由于微幅波理论和Stokes波理论在求解析近似解时涉及大量复杂的代数计算，且无法全面考虑海流对波浪特性的影响，Dean在1965年提出了流函数理论。该理论基于流体不可压缩、运动有势的假设，同时考虑了波动自由水面的运动和动力边界条件，因而适用于任何海况下的波浪模拟。为确保本文波浪载荷加载的精确性，我们选择了流函数作为波浪类型，波浪方向设为180°，波高为7m，波浪周期为8s。如果采用其他波浪理论，笔者建议将其结果与流函数理论进行比对，以验证其有效性。

三、计算结果

（一）快速静平衡计算法

在观察快速静平衡计算法下的缆索释放过程时，我们可以明显看到其空间形态的变化。在静平衡阶段，由于主要考虑了重力的作用，系泊缆索在释放后会直接垂直下落。此阶段中，缆索的上部分并未出现S型反复弯折。这种弯折现象主要集中在缆索即将接触海床时，因大范围的长度重叠而产生。弯折过程中，缆索先弯向一侧，然后弯向与前一步弯曲方向相反的另一侧，这种次第弯曲在时域上持续进行并向下传导。最终，反复弯折的区域在触底后会在海床上小范围滑动，最终形成一种类似横8字蝴蝶结（∞）的形态。此外，缆索最初触地的部分在整个动态仿真过程中始终保持与海床平行的水平状态，不会发生改变。这种现象的产生原因是，在静平衡阶段，模型主要考虑了拖缆的重力，而忽略了浮力和水流的拖曳作用，从而导致缆索在重力作用下自然下垂。当进入动态仿真阶段后，由于水流的拖曳力、波浪力等开始起作用，缆索在这些合力的影响下开始发生反复弯扭。

（二）解析悬链线法

与快速静平衡计算法相比，解析悬链线法更进一步地考虑了浮力的作用。因此，在静平衡计算阶段及缆索下落的动态阶段，浮力都会对缆索产生影响。从形态变化上来看，由于浮力的作用，缆索在达到静平衡时会与快速静平衡计算法有所不同。具体而言，此时缆索的触底部分在动态阶段的初始时刻会形成一个半横8字形的回折角。这是快速平衡计算法中所未观察到的现象。随后的动态下落阶段则与缆索在快速静平衡算法下的表现类似，都会发生集中在缆索即将接触海床时的S型反复弯折。同样地，这种弯折也是由于大范围的长度重叠所导致，并伴随着向两侧交替的弯曲过程。最终，反复弯折的区域在触底后也会在海床上小范围滑动，并呈现出横8字蝴蝶结的形状。然而，由于之前在触底段的最左侧形成了半横8字形的回折角，缆索最终落地后会形成一种半横8字型与横8字型组合的空间形态。显然，增加浮力作用后，缆索释放后的形态相较于仅考虑重力和轴向刚度时的情况发生了显著的变化。

此外，我们通过对比分析可以发现，在进入动态阶段后，无论是快速静平衡计算法还是解析悬链线法，波浪力在缆索动态仿真中的效应均未能得到充分体现。这主要是因为这两种方法均未充分考虑拖曳力与惯性力的作用所导致的。

（三）悬链线法

正如前文所述，悬链线法在进行缆索静平衡计算时，综合考量了缆索所承受的重力、浮力、波流拖曳力、惯性力以及缆索的轴向刚度。值得注意的是，波浪力正是由波流拖曳力和惯性力共同构成。因此，在静平衡阶段，该方法就已计算了波浪力的作用。相较于前两种缆索静平衡计算方法，悬链线法的特点在于，在缆索释放的静平衡阶段就充分考虑了波浪对缆索形态变化的影响。通过观察动态下放阶段的缆索空间形态变化情况，我们可以发现，采用悬链线法作为静平衡阶段计算方法的缆索动态形态，与其余两种方法下的动态形态存在显著差异。在悬链线法静平衡计算后，缆索的上部分在初期下落时便出现了大幅度的拉伸与弯扭。在下降过程中，缆索除了呈现S型反复弯折外，还伴随着垂向运动和反复的左右摆动。这种垂向与横向的复合运动是由于考虑了波流的拖曳力和惯性力，随着波浪的起伏而产生的，贯穿于缆索释放的整个过程。这种既有垂向运动又有横向摆动的组合运动，使缆索在下落过程中的运动轨迹变得异常复杂。运动轨迹的复杂性又进一步导致了缆索形态变化的复杂性。在S型弯折下落的过程中，缆索发生了大幅度的回环，形成了一个横向拉长的0形回转结。随后，继续经历反复的S型弯折，缆索最终形成了三个横8字形。这三个横8字形的左侧高度重合，而右侧则相互滑移错开。随着不断弯曲重叠，缆索最终呈现出三个横8字形重叠、一个横向拉长的0形回转结位于横8字形结合部的复杂形态。

四、结束语

1.缆索释放过程虽然属于动态范畴，但对其进行仿真的基石是静平衡状态。只有在达到静平衡之后，我们才能进行动态过程的仿真与分析。

2.缆索静平衡的计算方法对动态计算的响应特性具有直接影响。采用不同的静平衡计算方法，会导致缆索在动态下放阶段展现出截然不同的特性。

3.若在静平衡阶段我们仅考虑重力因素和缆索的轴向刚度（即采用快速静平衡计算法），则缆索在动态下放过程中对波浪与海流载荷的响应会显著减弱。这与实际情况存在较大差异。

4.若在静平衡阶段我们只考虑重力、浮力因素以及缆索的轴向刚度（即采用解析悬链线法），则缆索在动平衡下放过程中会更好地体现海流的作用，但波浪载荷导致的动态特性仍会有所削弱。

5.若我们在缆索的静平衡计算中综合考虑了重力、浮力、波流拖曳力、惯性力以及缆索的轴向刚度（即采用悬链线法），则缆索在动态下放过程中所展现的特性将最为接近真实状态。

6.最后需强调的是，在静平衡阶段如果考虑的因素过多会增加收敛的难度。因此，针对具体的海洋工程情境，我们可灵活选择特定的静平衡方法，以在节省计算时间的同时确保计算的准确性。例如，在无波浪的海域进行海洋管线铺设施工时，由于下放速度较慢且海流拖曳作用较弱，为节省计算时间和降低模型收敛难度，我们可优选解析悬链线法进行静平衡计算。这样既能考虑浮力影响，保证动态特性的相对真实性，又能在相对节省时间的同时提高计算准确性。