形成度量结构?发展量感与应用意识

刘东旭　晁倍倍　王颖　刘延革

【摘 要】文章围绕“发展学生量感”的素养目标，运用北京小学数学研究团队开发的“单元教学路径”（第二版本），对“角的度量”单元进行了整体设计。本单元的设计重点体现课程内容的结构化，一方面体现聚焦度量本质的一致性（度量对象、度量单位、度量方法）；另一方面体现学生认知的阶段性，即学生在长度度量和面积度量的基础上，在角的度量中初步形成度量的知识结构，进而为体积度量的自主迁移学习奠定基础。

【关键词】核心素养 单元教学 度量结构

在图形长度、周长与面积的学习中，学生两次经历“辨别度量属性、确立度量单位、使用工具测量或公式计算、得到度量结果（解决问题）”的认知过程。“角的度量”单元学习是学生在此基础上，进一步深化对度量要素（对象、单位、工具与结果）的理解，感受知识之间的一致性，完善度量的认知结构，并能自主迁移到体积等度量内容的学习中。文章基于北京小学数学研究团队开发单元整体设计框架 ，对“角的度量”单元设计的重要环节与教学实践进行阐述。

一、单元具体概念及主题

（一）教材分析

“角的度量”单元内容包括角的度量、角的分类与画角，对比人教版、北师大版和北京版小学数学教材，我们发现：

1.在比较中明确度量对象

度量刻画的是事物属性的“大小”，教学时需要设计活动帮助学生体会事物可以被测的属性。人教版数学教材中创设了两个角的大小比较情境，相较于其他两个版本，我们认为学生会在“比较”中更加关注“比哪里”，更能突出度量对象的属性。

2.在交流中统一度量单位

度量单位的产生和发展经历从多元到统一、由粗略到精细的过程，北师大版数学教材引领学生经历“非标准单位—标准单位—细化单位—统一单位”的过程。学生经历“角的度量单位是小角”的探索过程，然后创造或选择合适的度量单位来进行量化，通过对比和交流最终统一度量单位，更加有助于感悟“度量单位”产生的意义。用非标准单位测量不仅能够让学生体会单位或标准的作用，感受统一单位的必要性，还能培养学生的创造性和迁移能力。

3.在动态中理解量角器的构造原理

量角器是度量单位的集合，理解其构造原理是学习的难点。我们借鉴北师大版数学教材中的活动，将10°和30°作为标准小角，学生通过数一数、估一估、画一画和剪一剪，经历由“一个单位”的标准延伸至“几个单位”的累加，感受到量角的一般方法是统一小角的不断累积。因此，我们创设用“单位”量角不方便的情境，引导学生迁移用直尺测量长度的经验，进而在创造量角器的过程中理解其构造原理。

4.在应用中体会工具的价值

三个版本的教材都呈现了丰富的量角和画角活动，但缺乏接近生活的现实情境。教学中，我们认为要注重将量角、画角与生活实际相结合，同时提供多元的量角工具，深化学生对工具价值的感悟。此外，新课标中强调“估测”对发展量感的价值，教学中需关注“估”与“测”的有机融合。

（二）单元具体概念及学习主题

基于上述分析，结合“图形与几何”领域的核心概念，我们归纳了四个“单元具体概念”，并将本单元学习主题定位为“形成度量结构 发展学生量感和应用意识”。

具体概念一：角的度量是对角的两条边张开大小的刻画。

具体概念二：量角的一般方法是统一小角的不断累积；将多个小角组合在一起产生了量角器，使得测量更加方便。

具体概念三：根据实际情况选取量角和画角的方法和工具。

具体概念四：在上述活动中，丰富学生的度量经验，发展学生的量感和应用意识。

二、学情调研及单元学习目标

在上述分析的基础上，我们对北京某校52名四年级学生进行调研。

（一）学情调研

1.调研题目及调研目的

（1）請你量一量下面这个角有多大。

①你打算量哪里？请先在图中标出来。

②你选择的工具是_____，测量的结果是_____。

目的：了解学生是否明确量哪里以及是否清楚用什么量角。

（2）请你用量角器画一个35°的角，说一说你是怎么画的。

目的：了解学生是否能迁移量角经验，用量角器画角。

2.调研结果

（1）学生对“量哪里”存在认知偏差。

明确度量对象是学习度量的前提，调研结果发现：46.7%的学生量边的长度，53.3%的学生量开口的位置。由此可见，近一半的学生不知道量角要“量哪里”。为了更准确地了解情况，我们对量边的21名学生进行追踪调研（如图1），发现有11名学生关注角的开口大小（见表1）。因此，我们认为在比较活动中，学生会更加清楚角的大小指哪里。

（2）学生对“用什么量”缺少直接经验。

对度量工具的选择，77.8%的学生用直尺，6.8%的学生用三角尺。结合访谈，我们发现学生认为“三角尺上有角”，他们意识到要用同属性的物体测量，但并不清楚具体的量角工具。15.5%的学生选择量角器，其中1名学生能准确测量，但并不清楚为什么要这么量。因此，教学中需要让学生经历量角器产生的过程，加深对度量工具的认识。

（3）学生对“为什么要这么量”认识不到位。

通过观察，我们发现学生在使用量角器时，主要出现了以下错误：一是将角的顶点与量角器的一端重合；二是用量角器曲边上的“刻度线”表示角的张口大小，缘于测量长度的经验所带来的负迁移。在以往教学中我们同样发现学生机械套用“二合一看”的步骤，当测量倾斜摆放的角时正确率低，读数时混淆量角器两圈的刻度等。因此，理解“为什么要这么量”，即理解量角器的构造原理是关键。

（4）部分学生不能沟通画角与量角间的联系。

表2结果表明：42%的学生可以迁移量角的经验来画角，47%的学生由于对量角器认识不彻底而迁移出错。因此，量角的教学着力点需进一步强化对度量核心要素的认识，画角过程中需要打通与量角的联系，找到方法之间的本质联系。

（二）单元学习目标及结果表现

在单元具体概念的指导下和学生已有经验分析的基础上，本单元的学习目标和学习结果表现具体见表3。在结果表现中，第1～7条对应知能目標，第8～9条对应理解目标，第10～11条对应情感目标，第12条对应迁移目标。

三、关键问题及学习任务

基于“角的度量”单元具体概念和学情调研结果，紧紧围绕“发展学生量感”的素养目标，我们形成了本单元学生需要思考的关键问题，设计了本单元的学习任务序列。（如图2）

上述关键问题1指向具体概念1，4，通过对比两个角的大小，帮助学生明确角的度量是对角的两条边张开大小的刻画。关键问题2指向具体概念2，3，4，通过自主探究测量角的大小的方法，形成关于度量单位和度量方法的理解；通过对标准单位的细分，产生统一单位和工具的需求。关键问题3指向具体概念2，3，4，经历用三角尺、量角器等不同工具画角的过程，体会量角器画角的简洁，积累度量的方法和经验。在此基础上，提出关键问题4，引领学生进一步思考度量的核心要素，能迁移这些经验和方法测量其他物体，发展学生的量感。围绕着单元关键问题，形成学习任务序列，共有11项任务，规划为四个课时，其中最后一课时的任务是在原有课时上增加的。通过这些系统化的学习任务，引领学生逐步增强探究意识，构建度量知识脉络，培养结构化思维。

四、学习任务具体说明

在表4学习任务中，任务1，2通过比较和初步测量，帮助学生明确度量对象并确定用同属性物体测量角；任务3给学生提供了丰富的学具，在不断累积单位中产生统一单位的需求；任务5通过用1°小角来测量角的大小，感受到用单位量角的麻烦以及工具产生的必要性；任务11引领学生梳理度量相关的知识，除图形与几何领域外，还包括温度、质量、时间等度量，整体思考度量活动的内在一致性，深化对度量本质的理解。

五、单元学习评价

单元学习评价实施不是一个独立的随机事件，而是教—学—评一体的有序实践过程，在实施过程中要贯彻“以评促改”的理念。为评价学生能否迁移研究角的度量的经验和方法，自主研究新的关于度量的问题，我们设计了这样的评估任务（如图3），并制定了相应的评估标准（见表5）。

生活中很多物体都可以测量，图中是王老师晨跑的运动数据，请你选择图中的一个事物，从度量的角度进行研究

六、单元教学反思

基于大概念统领，围绕着“发展学生的量感”的素养目标，本单元的设计从理解度量本质入手，致力于贯通度量学习的一致性，从而实现学习的自主迁移。通过本单元的实践与反思，我们对量感的培养策略有了更深入的认识，主要体现在：

第一，开展以“比较”为中心的数学活动，学生经历从直接比较到间接比较再到运用标准单位比较的过程，充分发展对“数量”的感知；第二，强化“度量单位”的产生与意义，学生结合具体情境识别度量对象的属性，并“创造”或选择合适的度量单位来进行量化；第三，关注度量工具的结构与价值，在建构量角器的过程中理解原理，体会测量的本质；第四，通过“估测”促进对量的感知，创设生活情境，给予学生开展估测活动的机会，加强对量的深度体验。此外，本单元的设计因为知识本身的特点，比如度量单位只有1°，不需要借助公式推理转化等，缺乏对量感培养更完整和细致的研究。总之，量感的培养越来越被研究者们重视，其真正落地生根还需要在实践中不断反思和总结。

【参考文献】

[1] 刘延革，冯林.图形与几何领域的内容结构化分析——以“图形的认识与测量”主题为例 [J].小学数学教育，2023（Z1）.

[2] 刘延革，冯林.大观念统领下单元学习任务的开发[J].中小学管理，2021（5）.

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[7] 娜仁格日乐，史宁中.度量单位的本质及小学数学教学[J].数学教育学报，2018（6）.

注：本文系北京市教育科学“十三五”规划一般课题“运用大观念发展儿童数学关键能力的实践探索”（课题编号：CDDB2020140）研究成果。