“导”出思维过程，“评”促思维进阶——小学数学复习课的思考与实践

北京市昌平区燕丹学校 张子文

北京教育学院 刘晓婷

数学教学要立足核心素养发展，培养学生的思维能力，帮助学生学会学习。然而，素养、思维、能力都是隐性的，需要通过恰当的活动将其转化为可观、可测的行为，进而用有效的教学为其发展搭建阶梯。复习课是数学学习中的重要内容，承担着查漏补缺、深化理解等任务。如何在复习课中既帮助学生厘清知识的脉络，也能让学生发现知识的联系，对学过的内容有更深入的理解，发展思维的全面性、深刻性？六年级平面图形面积复习课后的一道诊断题引发了笔者的思考，并转化为探索有效复习课模式的实践行为。

一、常规复习课后的诊断题引发的思考

案例：复习了，怎么还这么多错？

六年级期末总复习阶段，学生会进行平面图形内容的复习。教学过程一般是先对平面图形进行分类，借助分类标准回忆图形的特征；然后按三角形、四边形、多边形的顺序，回忆图形的周长、面积计算公式；最后通过解决问题熟悉图形特征，巩固计算方法。常规复习课后的一道诊断题（如图1）在一定程度上反映了复习的效果。

图1

该题没有直接给出高，通过两条平行线暗示了三个图形的高是相等的。结构不良的问题容易检验学生在解决问题时的表现，特别是对图形之间关系的理解程度。结果，37%的学生选择“D 无法比较”，理由是缺少高作为条件；各有15%的学生选择“A.平行四边形的面积最大”和“B.三角形的面积最大”，理由是直观地看出来的；剩余33%的学生选择“C.一样大”，但超过一半的学生在访谈中没有给出具体的理由，另外的学生通过假设一个高度进行计算或者用面积公式推导得到结果。由此可推断，大部分学生通过常规复习并没有建立平面图形之间的联系。访谈时，学生的反馈更是给教师“泼了凉水”：“都学过的知识又说一遍，既没有新的收获，也很没有意思。”学生对复习课不感兴趣，又何谈促进思维的提升、素养的发展？

复习课如何更好地展现学生的思维，促进学生的思维进阶？笔者结合“平面图形及其面积复习”一课进行尝试。

二、用思维导图和表现性评价促进学生思维进阶的尝试

（一）将思维导图与表现性评价结合的构想

让学生展示自己的思考是表现性评价的重要理念。表现性评价可以用于评价学生的认知能力、推理能力以及解决真实问题的能力；可以促进学生复杂思维能力的获得。同时，它还具备课堂诊断性，可以帮助教师了解学生思维的发展情况、调整教学策略，帮助学生了解自身情况、明确发展目标。

皮亚杰认为，随着学生学习的知识越来越多，就应该让学生认清所学知识之间的联系，主动构建认知图式。可视化思维导图是发散思维的表达，可以从直观图形的角度刺激学生的形象思维，从知识的结构与关联的角度刺激学生的抽象思维，使学生建构知识框架，形成结构化思维体系。其作用体现在两个方面：一是提高思维加工的质量和效率，主要表现为知识覆盖全面；二是清晰地表征了概念及其相互关系，促进了新旧知识的融合。

基于思维导图的特性，将其作为表现性评价中的任务形式，特别在单元复习中，学生用直观、结构化的图形将知识连接在一起，在分散的知识之间建立关联，以此引发深度思考。学生绘制出思维导图后，通过构建表现性评价量规，评析作品，促进思维发展。在本研究中，评价量规关注两个维度：知识的覆盖和知识的关联。

（二）任务设计与量规制订

1.可观、可测的行为目标制订

六年级下册总复习课将“图形与几何”领域分为“图形的认识”“测量”和“图形的运动”，其中，“四边形及其面积的复习”涉及前两个部分。新课标将“图形的认识”与“图形的测量”统整为一个大的主题，说明“图形的认识与图形的测量之间有密切的关系”，其目的是帮助学生从直观认识图形到量化认识图形，逐步积累度量经验，进一步形成量感、空间观念和几何直观。其中，新课标对“四边形及其面积”内容的学业要求表述为“会计算平行四边形、三角形、梯形的面积，能用相应公式解决实际问题”。新课标在“教学提示”中指出：“通过对平面图形性质的认识，感知数学说理的过程……引导学生运用转化的思想，推导平行四边形、三角形、梯形、圆等平面图形的面积公式，形成空间观念和推理意识。”

教师需要将具体的行为目标作为参考，才能评估学生所达到的层次；学生也需要通过比对行为目标，才能明确所在的位置，以及要努力的方向。结合教材内容和新课标的要求，笔者制订如下教学目标：

（1）能回忆平面图形的特征，按照一定标准对图形进行分类，能通过分割、组合等进行图形之间的转化；

（2）能回忆出基本图形的面积公式，画图说明面积和三角形、平行四边形、梯形的底和高有关系；

（3）能运用等积变换解决三角形、平行四边形、梯形及不规则图形的面积计算问题。

“说明关系”和“运用等积变换”等都是具体的行为，可以通过学生绘制思维导图的方式得以充分展现。

2.设计达成目标的学习任务及其评价量规

行为目标与标准明确之后，教师就需要设计表现性任务。对学生而言，表现性任务不仅可以是学习效果评估，还可以是学习经验。在完成任务的过程中，学生需要思考知识之间的关联，整理有关的证据，归纳结论并进行推理和证明。表现性任务所涉及的学习过程指向高阶思维，有助于学生达成行为目标。

本节课把“绘制平面图形及其面积知识的思维导图”作为学习任务。设计任务时，教师要对任务进行描述，指导语要清晰准确、简单明了，让学生清楚地知道要做什么、怎么做，如“请你整理学过的平面图形及其面积的相关知识，用思维导图把你的想法表达出来”。教师还要对完成任务的过程提出具体要求，以帮助学生了解完成任务时要达成的行为目标（标准），如“要求1：导图中包含的内容要尽可能地清晰和全面；要求2：哪些知识之间有联系？用线连起来”。

教师预设学生完成任务时的不同表现，基于SOLO理论对表现结果划分等级，描述不同等级的典型特征，如表1。

表1 “四边形及其面积”思维导图评价量规

量规分为两个维度，维度一用以评估学生“知识的覆盖面”，即知识是否全面、丰富，该维度可以充分展现学生对“图形与几何”的认识程度。维度一共划分为三个等级：达到等级1 的学生可以完成知识的简单罗列，包含了常见平面图形的特征和面积的计算方法；达到等级2 的学生补充了更多的信息，如组合图形及其面积的计算方法，如图2 所示，其中包含图形转化过程（割补）等内容，比简单地罗列平面图形知识思维水平更高；达到等级3 的学生则构建了更复杂的知识网络，如图3 所示，其中包含了边或角等图形组成元素的特征和平面图形之间的包含关系等内容，学生的知识覆盖面更广，他们对图形特征的理解更深刻。

图2

图3

第二个维度用以评估“知识的联结”，即是否理解平面图形之间的变化关系，而图形与图形之间的关系恰恰是本节复习课的重点内容。该维度分为两个等级：等级1 的学生只把平面图形的内容零散地分布在图中，没有建立图形之间的联系；等级2 的学生可以抓住底和高两个要素，在不同图形之间建立转化关系，如图4所示，“箭头”说明学生基于图形特征进行了推理，建构了不同图形面积公式之间的联系，该等级的学生具备了理解图形与图形关系的抽象能力。

图4

（三）应用量规促进学生思维进阶

开展基于表现性评价的课堂教学，促进学生思维进阶的关键是量规的使用。在课堂教学的实施中，汇报交流可分成全班分析和小组互评两个环节。在全班分析环节，教师根据巡视情况，按照水平等级分别展示学生的作品，在全班分析及评价的基础上，渗透量规的评价标准。在小组互评环节，因为有了评价的标准，学生就可以对同组成员的作品做出基于标准的客观评价。通过小组互评，学生可以获得反馈，从而修改自己的导图，在反思中促进思维的提升。

例如，当学生展示了图2，教师根据评价量规，判断出该学生处于维度一的等级2。此时，教师可以对学生进行适当的评价，引发学生思考。

师：我看到你的作品中不仅有平行四边形、梯形和三角形的内容，还提到了组合图形，以及组合图形面积的算法。能把这些知识串联起来，说明你进行了充分的思考。如果让你把这些图形分类，你会怎么分呢？仔细观察这些图形面积转化的方法和计算公式，你还有什么发现？

生：我可以用“边的数量”来分类，三角形是三条边，平行四边形和梯形都是四条边，那长方形和正方形也可以放到四边形里。计算面积时，我们都是先把其他图形变成平行四边形，比如，两个（完全相同的）三角形或梯形就可以拼成一个平行四边形，而且，我还想到平行四边形是从长方形（等积转化）得来的。

师：你的想法特别有意思，一下就帮助我们打开了思路。这里还有几份作品，大家看看能表达出他刚才的思考吗？

生（看过其他学生的作品后）：我发现他们都把图形进行了分类，比我的更全面。而且，我还发现，计算面积时都是先转化成长方形，所以，公式都可以用“a×b”表示，只不过计算不同图形的面积时要有调整。

上述教学过程说明了“判断表现”与“交流反思”的重要性。教师给学生提供与任务相匹配的评价量规，根据既定的量规来观察学生的行为表现，以此掌握学生的学习效果，然后给予有针对性的指导。同时，学生在完成任务的过程中比对量规进行自我评估，或者在汇报交流时给予同伴有效评价，让思维在碰撞中得以提升。

三、思考与启示

学生借助思维导图进行深度学习，既构建了比较完整的平面图形知识的体系，又发现了平面图形面积之间的转化关系，为发展空间观念提供了机会。课后，教师用同样的诊断题对班级同水平的学生进行了诊断，结果发现超过90%的学生选择“C.一样大”，大部分学生能基于“图形特征和图形之间的联系”解释其过程。（如图5、图6）

图5

图6

通过上述研究，笔者得到如下思考：

第一，“思维导图”是学生整理知识、展示思维的载体。

复习课更应该关注学生反思与质疑能力的提升。笔者经常听到学生说：“我不喜欢上复习课，都学过了，太没意思了。”而实际情况却是“以为会，但实际漏洞不少”。复习课的意义就在于帮助学生整理与反思，让知识重新梳理完整并建立知识之间的联系。在绘制思维导图的过程中，学生不断回忆零散的知识，并将知识进行归类整理，甚至构建联系，在面对复杂问题时，就能够产生联想，找到解决问题的突破口。

第二，用好表现性评价量规，能促进学生思维进阶。

学生思维进阶的关键是他人反馈和自我反思。基于表现性的学习活动使隐性的思维过程显性化，为交流和反馈提供了素材。指向目标的表现性评价量规为评价提供了标准，教师可以借助标准对学生进行评估，学生也可以进行自我评估和互相评估，明确前进的方向。教师根据学生的情况，恰当地选择切入点，引发学生自我反思，乃至实现全班不同观点的分享和讨论，为深度学习提供了素材，促进学生思维的进阶，发展其核心素养。