宽象限相依样本下频率插值密度估计的收敛性质

潮学琳，胡学平

（安庆师范大学数理学院,安徽安庆 246133）

概率密度估计是数理统计中经典问题，其方法主要有直方图估计、频率多边形密度估计、核估计和最近邻估计，其频率多边形密度估计是由Scott[1]基于直方图技术提出，频率多边形密度估计不仅在相同计算量下比直方图估计收敛速度快，而且在计算二元数据集合比核密度估计更简单、便捷，所以对其进行进一步探究是具有理论价值和实际意义。

关于频率插值密度估计，已有很多研究成果。文[2]在φ混合样本下探究了频率插值密度估计的强相合性，梁丹[3]分别在α混合、φ混合、NA序列样本下讨论了频率插值密度估计的相合性以及相应的收敛速度。文[4-5]利用指数不等式，分别在NA 和宽象限相依样本下，研究了频率插值密度估计的强相合性。邓新[6]在广义负相依下研究边缘频率插值密度估计的相合性。

1 相关定义

文[7]在研究风险模型中提出了宽限相依（widely orthant dependence，简记为WOD）序列的定义：

定义1 设{Xn,n≥1} 是随机序列，若存在一个有限正实数列{gL(n),n≥1}，满足对每个n≥1 及x1,x2,…,xn∈R，都有

若存在一个有限正实数列{gU(n),n≥1}，满足对每个n≥1及x1,x2,…,xn∈R，都有

王学军[8]建立了WOD 列的Rosenthal 型不等式，并研究了完全收敛性及非参数回归模型估计的相合性。李永明[9]在WOD 随机样本下，讨论密度函数和失效率函数递归核估计的逐点相合性。文[10-11]在WOD 随机样本下分别探讨了核密度估计的收敛性与一致强相合性。

下面简要介绍频率多边形插值密度估计的定义：

设X是密度函数为f(x)的连续随机变量，并令X1,X2,…,Xn是从总体中抽取的一组样本。考虑在实轴上等距分割，…＜x-2＜x-1＜x0＜x1＜x2…，令第k个区间为Ik=[(k-1)bn,kbn)，bn是窗宽，考虑相邻的两个区间Ik0=[(k0-1)bn,k0bn)和Ik1=[k0bn,(k0+1)bn)，其中k1=k0+1，定义vk0和vk1分别为落在两个区间观测点的个数，则有：

于是密度函数f(x)在区间Ik0和Ik1上的直方图估计分别为：

受上述学者研究启发，在WOD 样本下，运用Rosenthal 不等式和截尾方法探讨了频率插值估计的强相合性和r 阶矩收敛。全文C 表示正常数，在不同地方可以取不同值，所有极限都是在n→∞时获得，g(n)表示WOD列的控制数。

2 假设条件及主要结果

首先给出需要的一些假设条件：

(A1){Xn,n≥1} 为同分布WOD 随机序列，其密度函数f(x)在R上有界；

(A2)窗宽bn→0；

(A3)g(n)=O(nλ)，(λ＞0)；

(A4)τn是正常数列，且满足τn→0，(nbnτn2)-1=o(n-α)，(α＞λ＞0)；

(A5)f(x)在x∈R上是可微的，且对于某个M＞0，有|f′(x)|≤M。

注：假设(A1)及(A2)为文[2]、[4]和[5]中的条件，对宽泛的WOD 样本，假设(A3)与文[9]-[10]定理中的条件类似，为得到强相合性增加了条件(A4)。

定理1 若假设条件(A1)-(A4)成立，且对p≥2，满足E|X1|p＜∞，当αp/2 -λ ＞2 时，对R 的紧子集D有

此外若还有条件(A5)成立，那么

定理2 若假设条件(A1)-(A4)成立，对某个T＞0有

此外若还有(A5)成立且E|X1|2/T＜∞，则有

3 定理的证明

3.1 主要引理

引理1[9]设随机变量X1,X2,…,Xn是WOD 序列，若f1,f2,…,fn均为非降函数或（非增函数），则随机变量f1(X1),f2(X2),…,fn(Xn)仍为WOD序列。

引理2[8]（Rosenthal 型不等式）设{Xn,n≥1} 是WOD 序列，当p≥1，有E|Xn|p＜∞(n≥1)。进一步假设当p≥2 时，EXn=0(n≥1)，那么存在正常数C1(p)和C2(p)仅依赖于p，使得

3.2 证明过程

于是，对任意ε＞0，有

对任意的x∈Dj时，有

对给定的j，令

由引理1 可得{ξi,1 ≤i≤n} 为WOD 的，且满足Eξi=0，|ξi|≤2，于是有

由f(x)的有界性可得

再由Markov 不等式和引理2，条件(A3)及条件(A4)得

可得

类似地，也有

联合（8）～（10）式，有

根据（7）式和nbn→∞，因此

当αp/2 -λ＞2时，从而有

由Borel-Cantelli引理可知(2)式成立。

下证(3)式，当x∈Dj时，令

对x∈Dj，将F(jbn)和F((j-1)bn)在x 处泰勒展开，可得

类似可得

因此，

于是可得

从而(3)式成立，结合(2)式，可得(4)式，定理1证毕。

定理2 的证明令An=(-∞,-nT)∪(nT,+∞)，T＞0，并定义Dj=[ (j-1/2)bn,(j+1/2)bn)，其 中，对任意的ε＞0，有

类似定理1的证明，可得（5）式及

进一步可得

结合（12）和（13）式，有

由（5）、（11）和（14）式，可得

（6）式得证，定理2证毕。

定理3的证明由Cr不等式和Jensen不等式可得

下面只需证I1→0，

由引理1可知，{Xi,1 ≤i≤n} 是WOD 的，{ξis,i≤n} (s=1,2,3)仍为同分布的WOD 随机序列，且Eξis=0(s=1,2,3)，|ξis|≤2，结合Cr不等式和引理2有

当α＞λ＞0 时，结合以上证明可得，从而结论得证。