关于一类带耗散发展方程收敛率估计的注记

樊 龙

（山西大同大学数学与统计学院，山西大同 037009）

在自然科学领域，有许多现象可以用带有耗散的非线性发展方程来模拟，具体参看文献[3-5]，该方程由Hsieh 在文献[1]中给出，具体方程如下

其 中，σ,α,β以 及ν为正常数，且满足σ＜α，0 ＜β＜1，初值为

Tang和Zhao在文献[2]中讨论了Cauchy问题（1）（2）化简形式解的全局存在性和收敛率估计，其中，α=β且σ=1。Zhu 和Wang 在文献[6]中证明了Cauchy 问题（1）（2）在σ=1 和α=β下的全局存在性，并给出了解的指数收敛估计。

研究的方程如下

其中，α,β以及ν为正常数，且满足σ＜α，0 ＜β＜1,初值为

相较于先前的研究工作，不同点在于方程（3）（4）中的非线性项(ψθ)x，这会带来更为复杂的计算。

安排如下，在第2 节中给出Cauchy 问题（3）（4）收敛率估计中一个重要的定理证明，在第3节中给出了该定理的一个具体应用，并给出具体能量积分过程。

1 主要结果及证明

在本节中首先给出主要定理。

定理1假设给定函数g(t) ≥0，并且g(t) ∈L1[0,∞]，g′(t) ∈L1[0,∞]，则有g(t) →0，当t→0。

证明：首先我们有由g′(t) ∈L1[0,∞]，当t1和t2足够接近时可得

当t1,t2→∞时，可知g(t)为常函数，即g(t)=a

再由g(t) ∈L1[0,∞]，若假设a≠0，有

其中，M为一足够大正数，易知I2为无穷大，与已知条件矛盾，故假设不成立，定理证毕。

2 应用

在关于方程（3）的能量估计中，首先引入如下矫正函数，关于具体计算过程在此省略，可参看文献[6]

其中，为G(x,t)为热核函，具体形式如下

m0(x)为有紧支集且连续满足条件

作如下变换

可将方程（3）化为如下形式

初值为

其中，

接下来问题转换为Cauchy问题（5）（6）解的衰减估计，首先需解决Cauchy问题（5）（6）解的存在性，通过将方程（5）简化为积分方程，再采取能量积分的方法，容易得到方程解的存在性，在此省略证明过程，具体过程可以参看文献[6]。

关键问题是衰减估计，为了得到解的衰减性质，需采用先验估计的方法。首先假设

其中，δ是一个很小的正数。

接下来问题分为三个步骤：

首先，在方程（5）的两端同乘2u以及2v，并关于x和t在ℝ和(0,t)上积分可得

通过计算上式右端每一项，可得

再由

以及Gronwall不等式可知

其次，在方程（5）的两端关于x求导一次，并且同乘2ux以及2vx，并关于x和t在ℝ和(0,t)上积分，同理可得

最后，在方程（5）的两端关于x求导两次，并且同乘2uxx以及2vxx，并关于x和t在ℝ和(0,t)上积分可得

证明过程类似于步骤1，在此省略。

注：在步骤2中不必对方程（5）求导，直接在方程两端同时乘以-2uxx和-2vxx，然后分部积分，再进行能量估计，同样可以得到相同的结论。

由于给出了条件δ和δ0充分小的条件，在此条件之下可知先验估计（7）是封闭的，因此先验估计成立，即（7）式成立。

综合以上结果可得：

其中，C是不依赖于时间t的正常数，所以取g(t)=，可 知g(t) ∈L1(0,∞)，再由分部积分可得

同理可得v的收敛性质。